상호주의(전자기학)

이 페이지는 고전 전자석의 상호주의 이론에 관한 것이다. 관련 없는 상호주의 이론에 대해서는 상호주의 정리(동음이의)를, 용어의 더 일반적인 사용에 대해서는 상호주의(동음이의)를 참조한다.

고전적 전자석학에서 상호주의는 특정 제약조건 하에서 시간-고조 전류 밀도(소스)와 맥스웰 방정식의 시간-변동성 선형 매체에 대한 결과 전자기장의 교환을 포함하는 다양한 관련 이론들을 말한다. 상호주의는 전자기학에 적용되는 선형대수학으로부터의 대칭 연산자의 개념과 밀접한 관련이 있다.

아마도 가장 보편적이고 일반적인 그러한 정리는 로렌츠 상호주의(그리고 레일리-카슨 상호주의 같은 다양한 특수한 경우)로, 레일리 경의 소리와 헬름홀츠(Potton, 2004)의 빛에 관한 유사한 결과를 본받아 1896년 헨드릭 로렌츠가 작업한 이름을 딴 것이다. 느슨하게, 전류가 위치하는 지점과 전류가 측정되는 지점을 상호 교환하는 경우 진동 전류와 그에 따른 전기장 사이의 관계는 변하지 않는다고 기술한다. 전기 네트워크의 특정한 경우에, 네트워크 내 다른 지점의 전압과 전류를 상호 교환할 수 있다는 문장으로 표현되기도 한다. 보다 기술적으로, 1초에 의한 1회로의 상호 임피던스와 1초에 의한 2회로의 상호 임피던스가 동일하다는 것을 따른다.

상호주의는 광학에서 유용하다. 광학에서는 (양자 효과와는 별개로) 고전적인 전자자기학 측면에서도 표현될 수 있지만 방사선 측정 측면에서도 유용하다.

전위와 전하 밀도의 교환과 관련하여 그린의 상호주의로 알려진 전기학에도 유사한 정리가 있다.

상호주의 이론의 형태는 전기 네트워크와 안테나 시스템을 분석하는 것과 같은 많은 전자기 어플리케이션에서 사용된다. 예를 들어 상호주의는 안테나가 송신기나 수신기와 동등하게 잘 작동하며, 특히 안테나의 방사선과 수신 패턴이 동일하다는 것을 암시한다. 또한 상호주의는 임피던스 매트릭스 및 산란 매트릭스의 대칭성, 경계 요소 및 전달 매트릭스 계산법에 사용하기 위한 그린 함수의 대칭성, 도파관 시스템에서 고조파 모드의 직교성 특성 등 전자기 시스템에 대한 다른 이론들을 입증하는 데 사용되는 기본 보조정리법이다. (유전자의 대칭으로부터 직접 그러한 속성을 증명하는 대안으로).

로렌츠 상호주의

구체적으로, 한 개체가 전기장 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$ $\mathbf$ {$E} _{1$}를 생성하는$$ 전류$$ 밀도 J ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$displaystyle $\mathbf$${$E} _{1}$$$_{$1} 및 자기장 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$}을 가지고 있다고 가정해 보십시오$.$ 여기서 세 개 모두 각도 주파수 Ω, 특히 시간 주기적 함수인 경우. they have time-dependence ${\displaystyle \exp(-i\omega t)}$. Suppose that we similarly have a second current ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ at the same frequency ω which (by itself) produces fields ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}}$ and ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$$$로렌츠 상호주의 정리는 아래에 기술된 매체의 재료에 대한 특정한 단순한 조건 하에서 V 볼륨을 둘러싸고 있는 임의 표면 S에 대해 다음과 같이 기술한다.

${\displaystyle \int _{V}\왼쪽[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J}_{2}\right]d.V=\point _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\time \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\time \mathbf {H}_{1}\right]\cdot \mathbf {dS}.}}}$

균등하게 (분산 정리) 차등 형태로:

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right].}$

이 일반적인 형태는 많은 특별한 경우에 일반적으로 단순화된다. 특히 J ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$및 $J$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개가 국부화(즉, 지원이 콤팩트함)되어$$ 있으며, 무한히 먼 곳에서 들어오는 파동이 없다고 가정한다. 이 경우 공간 전체에 걸쳐 통합되는 경우 표면 통합 용어는 취소된다(아래 참조). 그리고 하나는 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}\,dV=\int \mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\dV.}$

이 결과(다음과 같은 단순화와 함께)는 때때로 레일리 경의 음파 및 존 R의 연장 작업 후에 레일리-카슨 상호주의 정리라고 불린다. 카슨(1924년; 1930년)은 무선 주파수 안테나 응용 프로그램이다. 흔히, 포인트와 같은 쌍극자 선원을 고려함으로써 이러한 관계를 더욱 단순화시킨다. 이 경우 통합은 사라지고 전류의 해당 쌍극자 모멘트가 있는 전기장의 산물이 된다. 또는 두께가 무시할 수 있는 와이어의 경우, 한 와이어에 인가된 전류를 다른 와이어에 걸쳐 결과 전압을 곱하고 그 반대로 전류를 얻는다(아래 참조).

로렌츠 상호주의 정리의 또 다른 특별한 경우는 볼륨 V가 지역화된 소스(또는 V가 두 소스 중 어느 것도 교차하지 않는 경우)를 모두 포함하는 경우에 적용된다. 이 경우:

${\displaystyle \oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})\cdot \mathbf {dS} =\oint _{S}(\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot \mathbf {dS} .}$

전기망 상호주의

위에서, 로렌츠 상호주의는 외부적으로 적용된 전류원과 결과의 필드 측면에서 표현되었다. 종종, 특히 전기 네트워크의 경우, 사람들은 대신 외부적으로 인가된 전압과 결과적인 전류에 대해 생각하는 것을 선호한다. 로렌츠 상호주의 정리는 아래 다른 조건들에 의해 암시되는 3×3 전도성 매트릭스 σ을 가진 허혈성 물질(즉, 적용된 장에 선형적으로 반응하는 전류)을 가정하여 이 사례도 설명한다. 이러한 상황을 적절히 설명하기 위해서는 (주행 전압과) 외부에서 가해지는 장과 그 결과 발생하는 총 장(King, 1963)을 주의 깊게 구별해야 한다.

보다 구체적으로, 위의$$ $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 맥스웰 방정식에 도입된 외부 "소스" 용어로만 구성되었다. 이제 이 값을 $J{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$( ${\displaystyle e^{}}$) ${\$에 의해 표시하여 외부$$ 소스 및 소재의 결과 전기장에 의해 생성된 총 전류와 구별한다. 이 외부 전류가 전도성 ${\displaystyle {\sigma }^{}}$이 있는 물질에 있는 경우, 외부적으로 적용된 전기장 $E{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$( e${\displaystyle {}^{}}$) ${\$에 해당하며, 여기서$$ σ의 정의에 따르면:

${\displaystyle \mathbf {J}^{(e)}=\sigma \mathbf {E}^{(e)}}}$

Moreover, the electric field ${\displaystyle \mathbf {E} }$ above only consisted of the response to this current, and did not include the "external" field ${\displaystyle \mathbf {E} ^{(e)}}$. Therefore, we now denote the field from before as ${\displaystyle \mathbf {E} ^{(r)}}$, where the total fi엘드는 $E{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle e^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle r^{}}$) ${\$에 의해 주어진다$.$

Now, the equation on the left-hand side of the Lorentz reciprocity theorem can be rewritten by moving the σ from the external current term ${\displaystyle \mathbf {J} ^{(e)}}$ to the response field terms ${\displaystyle \mathbf {E} ^{(r)}}$, and also adding and subtracting a ${\displaystyle \sigma {\mathbf{E}}_1^{(e)}{\mathbf{E}}_2^{}}$${\displaystyle {(}_{}^{}}$ ${\displaystyle e_{}^{}}$) ${\$2}^{e$$$}}}}$ 항에 총 전류 $J{\displaystyle \mathbf{}}$= ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E\mathbf{}}$ ${\$ $:}}}}}}}$ :}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}^{(e)}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(r)}-\mathbf {E} _{1}^{(r)}\cdot \mathbf {J} _{2}^{(e)}\right]dV\\={}&\int _{V}\left[\sigma \mathbf {E} _{1}^{(e)}\cdot \left(\mathbf {E} _{2}^{(r)}+\mathbf {E} _{2}^{(e)}\right)-\left(\mathbf {E} _{1}^{(r)}+\mathbf {E} _{1}^{(e)}\right)\cdot \sigma \mathbf {E} _{2}^{(e)}\right]dV\\\={}&\int _{V}\왼쪽[\mathbf {E}_{1}^{(e)}\cdot \mathbf {J} _{2}-\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}^{(e)\오른쪽]dV.\end{정렬}}}$

얇은 와이어의 한계에 대해, 이것은 외부적으로 인가된 전압(1)에 결과 총 전류(2)를 곱한 값과 그 반대로 곱한 값을 제공한다. 특히, 레일리-카슨 상호주의 정리는 다음과 같은 간단한 요약이 된다.

${\displaystyle \sum _{n}V_{1}^{(n)}I_{2}^{n}=\sum _{n}V_{2}^{n}}I_{1}^{(n)\!}$

여기서 V와 I는 가능한 두 세트의 전압 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle V_{}}$ 2${\$}}에 대해 각각 회로 요소 집합(n으로 색인)에서 AC 인가 전압과 결과 전류의 복잡한 진폭을 나타낸다$.$

가장 일반적으로 V ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle 1_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= V ${\displaystyle V_{1}^{{$1}^{($1)=V}$ 및 ${\displaystyle {\mathrm{V<img\; alt="V\_\{1\}^\{\{(1)\}\}=V"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5f6dd19fa6bfd2b5e8fd927f168277dc92f98fa6"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:9.136ex;\; height:3.676ex;"\; papago-attr-id="159">}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$( 2${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= V ${\displaystyle V_{2}^{(2)=V}$에서 각 시스템에 단일 전압 소스 V가 있는 경우로 더욱 단순화된다$.$ 그러면 정리가 단순해진다.

${\displaystyle I_{1}^{{1}^{(2)=I_{2}^{(1)}}$

또는 말로 다음과 같다.

(2)에서 전압의 위치(1)에서 전류는 (1)에서 동일한 전압에서 (2)에서 전류와 동일하다.

로렌츠 상호주의 조건과 증명

로렌츠 상호주의 정리는 $단순히{\displaystyle \mathbf{}}$ 선형 연산자 $O{\displaystyle \stackrel{}{}}$$$${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$\$mathbf {J}$과(와) E {\displaystyle$\mathbf${$E}$을(를) 고정$$$$주파수 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$에서 연관시킨 사실을 반영한 것이다.

${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {1}{i\omega }}\left[{\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-\;\omega ^{2}\varepsilon \right]\mathbf {E} \equiv {\hat {O}}\mathbf {E} }$

그"내적"(F, G)이 안 끝났요 보통 대칭 연산자)∫ F⋅ G진동계 측 V{\displaystyle(\mathbf{F},\mathbf{G})=\int \mathbf{F}\cdot\mathbf{G}\,dV}에 벡터 분야 F{\displaystyle \mathbf{F}}G{\displaystyle \mathbf{G}}.[1](엄밀히 따지면 이 짝이 아닌 형태가 아니다 진정한 내부 p.로드uct는 복잡한 가치의 필드에 대해 실제 가치가 있는 것은 아니지만, 여기서는 그것이 문제가 되지 않기 때문이다. 이런 의미에서 운용자는 진정한 에르미트인이 아니라 오히려 복합대칭이다.) 이는 주어진 Ω에서 자기투과성 μ와 자기투과성 μ가 대칭 3×3 행렬(대칭 순위-2 텐서)일 때마다 적용된다. 이는 물론 스칼라(동방성 매체의 경우)인 일반적인 경우를 포함한다. 그것들은 진짜일 필요는 없다. 복합 값은 유한 전도성 σ($\epsilon {\displaystyle }$ →$ε$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sigma }$/$Ω$을 통해 $ε에 포함$되는 도체들)과 같이 손실이 있는 물질에 해당하며,$$ 이러한 상호주의 정리 때문에 시간 역반전 불변성이 필요하지 않다. 대칭 μ 및 μ 행렬의 조건은 거의 항상 충족된다. 예외는 아래를 참조하십시오.

For any Hermitian operator ${\displaystyle {\hat {O}}}$ under an inner product ${\displaystyle (f,g)\!}$, we have ${\displaystyle (f,{\hat {O}}g)=({\hat {O}}f,g)}$ by definition, and the Rayleigh-Carson reciprocity theorem is merely the vectorial version of this statement for this particular operator ${\displaystyle \mathbf {J} ={\hat {O}}\mathbf {E} }$: that is, ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},{\hat {O}}\mathbf {E} _{2})=({\hat {O}}\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$. 여기서 운용자의 은둔적 속성은 부품별 통합에 의해 도출될 수 있다. 유한 통합 부피의 경우, 부품에 의한 이 통합에서 나오는 표면 항은 위의 보다 일반적인 표면-적분 정리를 산출한다. 특히 중요한 사실은 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ 필드$$F {\$displaystyle \mathbf {$F$$} $및{\displaystyle \mathbf{}}$G {\$displaystyle \mathbf$ {G$\}\}$에 대해 표면 S로 둘러싸인 볼륨 V에 대한 부품별 통합(또는 발산 정리)이 다음과 같은 ID를 제공한다는 것이다.

${\displaystyle \int _{V}\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} )\,dV\equiv \int _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \,dV-\oint _{S}(\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {dA} .}$

This identity is then applied twice to ${\displaystyle (\mathbf {E} _{1},{\hat {O}}\mathbf {E} _{2})}$ to yield ${\displaystyle ({\hat {O}}\mathbf {E} _{1},\mathbf {E} _{2})}$ plus the surface term, giving the Lorentz reciprocity relation.

맥스웰 방정식과 벡터 연산을 이용한 로렌츠 상호주의 조건 및 증명^[2]

We shall prove a general form of the electromagnetic reciprocity theorem due to Lorenz which states that fields ${\displaystyle \mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}}$ generated by two different sinusoidal current densities respectively ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$ and ${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$ of the same frequency, satisfy the condition ${\displaystyle \int _{V}\left[\mathbf {J} _{1}\cdot \math$$bf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\right]d$$V=\point _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\time \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\time \mathbf {H}_{1}\right]\cdot \mathbf {dS}.}}}$

유전 상수와 투과성이 위치의 기능일 수 있지만 시간의 기능이 아닌 영역을 선택하자. 맥스웰 방정식은 지역의 총장, 전류 및 전하 측면에서 그 지역의 전자기적 작용을 설명한다. 두 개의 컬 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.\end{array}}}$

일정한 주파수 조건 하에서 우리는 두 개의 컬 방정식에서 시간 주기적 사례에 대한 맥스웰 방정식을 얻는다.

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\nabla \time \mathbf {E} &=\\nabla \time \mathbf {H} &=&\mathbf {J} +j\omega \mathbf {D}\end{array}}}}}}}}}}}}$

이 글의 방정식에 있는 기호는 ${\displaystyle {ej}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ t ${\$ t$}}$의 복잡한 승수를 나타내며$,$ 선택한 참조와 관련하여 위상 내 및 위상 외 부품을 제공한다는 점을 인식해야 한다. ${\displaystyle {ej}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\displaystyle t^{}}$ ${\$의 복잡한 벡터 승수는 일반적으로 페이저라고 하는 복잡한 스칼라 수량에 비유하여 벡터 페이저라고 할 수 있다$$.

벡터 연산의 동등성은 다음을 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )-\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$ for every vectors ${\displaystyle \mathbf {E} }$ and ${\displaystyle \mathbf {H} }$.

$E{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}:

${\displaystyle \mathbf {H} _{2}\cdot (\nabla \times \mathbf {E} _{1})-\mathbf {E} _{1}\cdot (\nabla \times \mathbf {H} _{2})=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$.

만약 시간 주기 방정식의 제품이 마지막 등가성에 의해 지시된 대로 취해지고 추가된다면,

${\displaystyle -\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}-\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$.

이것은 이제 우려의 볼륨에 통합될 수 있다.

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\mathbf {J} _{2})dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\mathbf {E} _{1}\times \mat$$hbf {H} _{2}dV}$.

From the divergence theorem the volume integral of ${\displaystyle div(\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2})}$ equals the surface integral of ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}}$ over the boundary.

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mathbf {B} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \mathbf {D} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV=-\oint _{S}(\mathbf {E} _{1}\times$$\mathbf {H} _{2}\cdot {\widehat {dS$

이 형태는 일반 매체에 유효하지만, 일반적인 선형, 등방성, 시간변동성 물질의 경우, $ϵ{\displaystyle }$ ${\displaystyle \epsilon }$은 시간과$$ 무관한 스칼라이다. 그$$ 다음 일반적으로 $물리적{\displaystyle \mathbf{}}$ 크기 D${\displaystyle }$= ∆ ${\displaystyle E\mathbf{}}$ ${\$}${\displaystyle }및{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle B}$ = ${\displaystyle \mu \mathbf{}}$H {\$displaystyle \mathbf${B} =\$mathbf {H}$$}.$

마지막 방정식은 그 다음이 된다.

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{2}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{1}+\mathbf {E} _{1}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV=-\oint _{S}(\mathb$$f {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}\cdot${\$widehat{dS$ .

벡터 $E{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$1}에 대해 정확히 유사한 방법으로 다음$$ 식을 얻는다.

${\displaystyle \int _{V}(\mathbf {H} _{1}\cdot j\omega \mu \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot j\omega \epsilon \mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dV=-\oint _{S}(\mathb$$f {E} _{2}\time \mathbf {H} _{1}\cdot {\widehat{dS}}}$.

마지막 두 방정식을 멤버에 의해 빼면

${\displaystyle \int _{V}\왼쪽[\mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J}_{2}\right]d.V=\point _{S}\left[\mathbf {E} _{1}\time \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\time \mathbf {H}_{1}\right]\cdot \mathbf {dS}.}}}$

균등하게 차등 형태로

${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2}-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}=\nabla \cdot \left[\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}\right]}$ q.e.d.

표면기말취소

로렌츠 상호주의 정리의 우측에 있는 표면 용어들의 취소는, 모든 공간에 걸친 통합을 위해서, 완전히 명백하지는 않지만, 여러 가지 방법으로 도출될 수 있다.

또 다른 간단한 주장은 국부적인 선원의 경우 필드가 무한대로 간다는 것이지만, 무손실 매체의 경우, 흡수되지 않을 경우, 거리에 반하여 복사된 필드가 붕괴되지만, 적분의 표면적은 거리의 제곱과 함께 증가하기 때문에 두 비율이 서로 균형을 이루게 된다는 것이다. 적분의

그 대신, 매질이 충분히 멀리 떨어져 있고 균질하고 등방성이 있다고 가정하는 것이 일반적이다(예: King, 1963). In this case, the radiated field asymptotically takes the form of planewaves propagating radially outward (in the ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ direction) with ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} =0}$ and ${\displaystyle \mathbf {H} ={\hat$${\mathbf{r}}}}}}\time \mathbf {E}$ /$Z}$ 여기서 Z는 주변 매체의$$ $임피던스{\displaystyle \sqrt{}}$ μ$/{\$이다. Then it follows that ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}=\mathbf {E} _{1}\times {\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {E} _{2}/Z}$, which by a simple vector identity equals ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }$$}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {E} _{2})/Z}$. Similarly, ${\displaystyle \mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1}={\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {E} _{1})/Z}$ and the two terms cancel one another.

위의 주장은 표면 항이 취소될 수 있지만 일반성이 결여된 이유를 분명히 보여준다. 또는 제한 흡수 원리를 통해 부과된 방사선 경계 조건(손실(ε의 상상의 부분)이 0이 되는 경우)으로 무손실 주위 매체의 경우를 치료할 수 있다. 0이 아닌 손실의 경우, 매질이 균질한지 여부에 관계없이 거리와 함께 장은 기하급수적으로 부패하고 표면 적분은 사라진다. 로렌츠 상호주의 정리의 왼쪽은 0이 아닌 어떤 손실도 없이 모든 공간에 걸쳐 통합하기 위해 사라지기 때문에, 손실이 0으로 갈 때 한계에서도 사라져야 한다.(이 접근방식은 그렇지 않으면 극소수의 손실도 있기 때문에, 무한에서 들어오는 파동이 0이라는 소머펠트 방사선 조건을 암묵적으로 부과한다는 점에 유의한다. 유입되는 파동을 제거하고 한계는 무손실 해결책을 제공하지 않을 것이다.)

상호주의와 그린의 함수

The inverse of the operator ${\displaystyle {\hat {O}}}$, i.e. in ${\displaystyle \mathbf {E} ={\hat {O}}^{-1}\mathbf {J} }$ (which requires a specification of the boundary conditions at infinity in a lossless system), has the same symmetry as ${\displaystyle {\hat {O}}}$ and is esse그린의 기능적 경합 따라서 로렌츠 상호주의에 대한 또 다른 관점은 전자기 그린의 기능을 가진 콘볼루션은 μ와 μ에 대한 적절한 조건 하에서 복합대칭(또는 반헤르미티아, 이하) 선형 연산이라는 사실을 반영하는 것이다. More specifically, the Green's function can be written as ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$ giving the n-th component of ${\displaystyle \mathbf {E} }$ at ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ from a point dipole current in the m-th direction at ${\displaystyle \mathb$$f {x} }$ (essentially, ${\displaystyle G}$ gives the matrix elements of ${\displaystyle {\hat {O}}^{-1}}$), and Rayleigh-Carson reciprocity is equivalent to the statement that ${\displaystyle G_{nm}(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )=G_{mn}(\mathbf {x} ,\mathbf$${x} ')}.$$O{\displaystyle \hat{}}$ ${\$와는 달리$,$ 일반적으로 그린의 기능에 대한 명시적인 공식을 줄 수는 없지만(동질 매체와 같은 특수한 경우는 제외), 그것은 숫자의 방법에 의해 일상적으로 계산된다.

무손실 자기광학 소재

ε이 대칭 행렬이 아닌 한 가지 경우는 자기광학 물질에 대한 것으로, 이 경우 로렌츠 상호주의 통상적인 문장이 유지되지 않는다(그러나 일반화는 아래 참조). 만약 우리가 자기광학 물질을 허용하지만 물질 흡수가 미미한 상황까지 우리 자신을 제한한다면, μ와 μ는 일반적으로 3×3 복잡한 에르미트 행렬이다. In this case, the operator ${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}\left(\nabla \times \nabla \times \right)-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon }$ is Hermitian under the conjugated inner product ${\displaystyle (\mathbf {F} ,\mathbf {G} )=\int \mathbf$${F} ^{*}\cdot \mathbf {G} \,dV}$, 그리고 상호주의 정리의^{[citation needed]} 변형은 여전히 다음과 같이 유지된다.

${\displaystyle -\int _{V}\왼쪽[\mathbf {J} _{1}^{*}\cdot \mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{1}^}\cdot \mathbf {J}_{2}\right]d.d.V=\point _{S}\left[\mathbf {E} _{1}^{*}\time \mathbf {H} _{2}+\mathbf {E} _{1}^{*}\right]\cdot \mathbf {dA}}}}}}}}}}}}$

여기서 부호 변경은 위 $방정식$의${\displaystyle }$1/${\displaystyle i}$ Ω$${\$displaystyle$1/$i\omega$}에서 발생하며, 이는 연산자 $O{\displaystyle \hat{}}$ ${\$ 반-Hermitian$$(표면 항을 무시함)으로 만든다. For the special case of ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=\mathbf {J} _{2}}$, this gives a re-statement of conservation of energy or Poynting's theorem (since here we have assumed lossless materials, unlike above): the time-average rate of work done by the current (given by the real part of ${\dis$$Playstyle$ -$\mathbf {J}^{*}\cdot \mathbf {E}$ $\}$ )은 시간 평균 출력 외부 플럭스(Poynting 벡터의 정수)와 동일하다. 그러나 같은 토큰에 의해, 이 상호주의 변형에 대해 모든 공간에 걸쳐 통합된다면 표면 조건은 일반적으로 사라지지 않기 때문에, 레일리-카슨 양식은 추가적인 가정 없이 유지되지 않는다.

자기광학 물질이 레일리-카슨 상호주의를 깨뜨린다는 사실은 패러데이 아이솔레이터와 순환기 같은 장치의 핵심이다. 패러데이 아이솔레이터의 한 쪽에 전류가 흐르면 반대쪽에는 전류가 발생하지만 그 반대쪽에는 전류가 생성되지 않는다.

비대칭 재료에 대한 일반화

For a combination of lossy and magneto-optic materials, and in general when the ε and μ tensors are neither symmetric nor Hermitian matrices, one can still obtain a generalized version of Lorentz reciprocity by considering ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ and ${\di$$splaystyle(\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})$이(가) 서로 다른 시스템에 존재하도록 하십시오$$.

In particular, if ${\displaystyle (\mathbf {J} _{1},\mathbf {E} _{1})}$ satisfy Maxwell's equations at ω for a system with materials ${\displaystyle (\varepsilon _{1},\mu _{1})}$, and ${\displaystyle (\mathbf {J} _{2},\mathbf {E} _{2})}$ satisfy Maxwell's eq재료가 있는 시스템의 Ω으로 uiations (${\displaystyle \epsilon {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ T${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\$ 여기서 T는 전치(transpose)를 나타내며, 로렌츠 상호주의 방정식은 유지된다. 이는 전체 6×6 수용성 텐더를 전치함으로써 이등방성 물질로 더욱 일반화할 수 있다.^[3]

상호주의에 대한 예외

비선형 미디어의 경우 일반적으로 어떤 상호주의 정리가 유지되지 않는다. 상호주의 역시 일반적으로 시간변동("활성") 매체에는 적용되지 않는다. 예를 들어, ε이 어떤 외부 과정에 의해 시간변동(time-variation)으로 변조되는 경우. (이 두 경우 모두 주파수 Ω은 일반적으로 보존 수량이 아니다.)

펠드타이 상호주의

밀접하게 연관된 상호주의 정리는 Y. A. Feld와 C에 의해 독립적으로 표현되었다. 1992년 T. Tai는 Feld-Tai 상호주의 또는 Feld-Tai 보조정리자로 알려져 있다. 그것은 두 개의 시간 고조파 국소 전류원과 그에 따른 자기장을 포함한다.

${\displaystyle \int \mathbf {J} _{1}\cdot \mathbf {H} _{2}\,dV=\int \mathbf {H} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}\dV.}$

그러나 Feld-Tai 보조정리기는 로렌츠 상호주의보다 훨씬 더 제한적인 조건에서만 유효하다. 일반적으로 균질 임피던스(동방성 동위 임피던스)가 있는 시간 변화성 선형 매체(즉, 스칼라 μ/μs 비율)가 필요하며, 완벽하게 전도되는 물질의 영역을 예외로 한다.

보다 정확히 말하면 펠드-타이 상호주의에는 위와 같이 전자기 연산자의 은둔자(또는 오히려 복합대칭) 대칭성이 필요하지만, 또한 $운용자$가$$E {\$displaystyle \mathbf$ {$E{\displaystyle }$$}$및$$ ${\displaystyle i\Omega \mathbf{}}$J {\$displaystyle i\omega \mathbf {J}을($으)를$$ 연관시키는 것이 운용자의 일정한 스칼라배수치라는 가정에 의존하기도 한다. 관련 $H{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ β${\displaystyle \times }$ (${\displaystyle J\mathbf{}}$/ ${\displaystyle \epsilon }$)$${\$displaystyle \nabla \times$(\$mathbf {J}$ /\$varepsilon )},$which이 μ의 일정한 스칼라 배수(일반적으로 두 연산자는 μ와 μ의 교환으로 다르다). 위와 같이 유한한 부피에 걸친 통합을 위한 보다 일반적인 제형을 구축할 수도 있다.

광학적 상호주의(방사선학적 용어)

고전적 이론은 수량 효과와는 별개로, 임의의 시간 코스로 근거리, 중거리, 원거리 전기 및 자기장 현상을 다룬다. 광학(光學)은 거의 시누소이드에 가까운 원장의 진동 전자파 효과를 가리킨다. 전기변수와 자기변수가 쌍을 이루는 대신 광학적 상호주의를 포함한 광학들은 전통적으로 특정강도라고 불리는 스펙트럼 광도 같은 양극화가 손상된 방사선과 변수로 표현될 수 있다.

1856년 헤르만 폰 헬름홀츠는 다음과 같이 썼다.

이어 "A 지점에서 진행 중인 한 줄기 빛은 어느 정도의 수축과 반사, &c를 겪은 뒤 B 지점에 도달한다. A 지점에서 a의₂ 직각면 2개를₁ 광선 방향으로 가져가게 하고, 광선의 진동을 이들 평면에 각각 하나씩 두 부분으로 나누도록 한다. B 지점의 광선에 있는 b₁, b₂ 비행기처럼 취하라. 그러면 다음과 같은 명제가 증명될 수 있다. 만약 비행기에서 편광 J의 양이 주어진₁ 광선의 방향으로 A에서 진행되면, 그 부분 K의 b에서₁ 편광된 빛 J의 양이 B에서 진행된다면, 반대로, 만약₁ b에서 편광된 빛 J의 양이 B에서 진행된다면, a에서₁ 편광된 동일한 양의 K가 A에 도착할 것이다."^[4]

이것을 헬름홀츠 상호주의(또는 역전) 원리라고 부르기도 한다.^{[5][6][7][8][9][10]} 파동이 적용된 자기장에 의해 작용하는 물질을 통해 전파될 때 상호주의는 깨질 수 있으므로 이 원칙은 적용되지 않는다.^[4] 마찬가지로, 광선의 경로에 움직이는 물체가 있을 때, 그 원리는 완전히 적용되지 않을 수 있다. 역사적으로 1849년 조지 스톡스 경은 양극화에 관여하지 않고 자신의 광학적 역전 원리를 밝혔다.^[11][12][13]

열역학 원리처럼, 이 원칙은 실험이 제안된 법률의 시험인 일반적인 상황과 대조적으로 실험의 정확한 수행에 대한 점검으로 사용할 수 있을 만큼 충분히 신뢰할 수 있다.^[14][15]

그 원리에 대한 가장 간단한 진술은 '내가 너를 볼 수 있다면, 너는 나를 볼 수 있다'이다. 이 원리는 구스타프 키르흐호프가 열방사선 법칙을 도출할 때, 맥스 플랑크가 열방사선 법칙을 분석할 때 사용하였다.

레이트레이싱 글로벌 조명 알고리즘의 경우, 양방향 반사율 분포 함수(BRDF) 결과에 영향을 주지 않고 들어오는 빛과 나가는 빛을 서로 역방향으로 간주할 수 있다.^[15]

그린의 상호주의

위의 상호주의 이론들이 진동장을 위한 것이었던 반면에, 그린의 상호주의 이론은 전하의 고정된 분포를 가진 전기학자들에게 유사한 정리다(Panofsky와 Phillips, 1962).

특히 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$ $\_{\displaystyle {}_{}}$${1$}는 총 전하 ${\displaystyle {밀도\mathrm{}}_{}}$ density 1${\$}에서 발생하는 전위를 나타낸다$$$.$ 전위는 포아송의 방정식을 만족시키며, -${\displaystyle {\mathrm{}}^{2\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$1 = ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 /${\displaystyle {}_{}\epsilon {}_{}}$ 0 ${\$1$}/\$ 여기서 $\epsilon {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 0_{}}$은 진공 허용률이다. 마찬가지로 $\varphi {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}$$총 전하 밀도 ${\displaystyle {\rho \mathrm{}}_{}}$ 2${\$2}}: 만족 -${\displaystyle {\mathrm{}}^{}{2\mathrm{}}_{}}$ 2 =${\displaystyle {}_{}}$= 2 /${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ 0${\$-\$nabla ^{2}=\rho_{2}/\varepsilon$$_{0$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. 두 경우 모두 전하 분포가 국부적이므로 무한대로 0으로 가도록 전위를 선택할 수 있다고 가정한다. 그린의 상호주의 정리는 모든 공간에 걸친 통합에 대해 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle \int \rho _{1}\phi _{2}dV=\int \rho _{2}\phi _{1}dV.}$

이 정리는 그린의 두 번째 정체성에서 쉽게 증명된다. Equivalently, it is the statement that ${\displaystyle \int \phi _{2}(\nabla ^{2}\phi _{1})dV=\int \phi _{1}(\nabla ^{2}\phi _{2})dV}$, i.e. that ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ is a Hermitian operator (as follows by integrating by parts twice).

참고 항목

표면등가원리

참조

• L. D. 랜도와 E. M. 리프시츠, Continuous Media의 전자역학(Addison-Wesley: Reading, MA, 1960). §89.
• Ronold W. P. King, 기본 전자기 이론(Dover: 1963년 뉴욕). §IV.21.
• C. 알트먼과 K. 이와 같은 상호주의, 공간적 매핑 및 전자기에서의 시간역전(Kluwer: Dordrecht, 1991년).
• H. A. 로렌츠, "전자파장의 에너지에 관한 포린팅의 정리 및 빛의 전파에 관한 두 가지 일반적인 ^{[permanent dead link]}명제" 암스테르담머 아카데미에 데르 웨텐샤펜 4 페이지 176(1896).
• R. J. Potton, "광학에서의 리큐프로시티," 물리학의 진보에 관한 보고서 67, 717-754 (2004년) (이 항목의 역사에 대한 검토 기사)
• J. R. 카슨, "호혜적 정리의 일반화", 벨 시스템 기술 저널 3(3), 393-399(1924) 또한 J. R. Carson, "상호 에너지 정리", ibid. 9 (4), 325-331 (1930).
• 네, N. Feld "전기역학에서 2차 보조정리" 소브 Phys—Dokl. 37, 235-236 (1992년).
• C.-T. Tai, "전자파 이론의 보완적 상호주의 이론", IEEE Trans. 안테나 프로펠러 40(6), 675-681(1992)
• 볼프강 K. H. Panofsky와 Melba Phillips, Classic Electric and Magnetic (Addison-Wesley: Reading, MA, 1962)
• 비크타르 아사드치, 모하마드 S. 미르무사, 아나 디아즈루비오, 산후이 팬, 세르게이 A. Tretyakov, 전자파 비호환도시 및 그 기원에 대한 자습서, arXiv:2001.048 (202020)

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