앙리 르베그

Henri Lebesgue
숫자 이론가는 빅터-아메데 르베그(Victor-Amedée Lebesgue)를 참조한다.
프랑스의 궁예 작가 앙리 르베그와 혼동하지 말자.
앙리 르베그
Lebesgue 2.jpeg
태어난(1875-06-28)1875년 6월 28일
프랑스 오이세, 보바이스
죽은1941년 7월 26일 (1941-07-26) (66)
프랑스 파리
국적프랑스어
모교에콜 노르말 수페리우레
파리 대학교
로 알려져 있다.르베그 통합
르베그 측도
수상왕립학회 회원[1]
1914년[2] 폰셀레상
과학 경력
필드수학
기관렌스 대학교
푸아티에 대학교
파리 대학교
콜레지 드 프랑스
박사학위 자문위원에밀 보렐
박사과정 학생폴 몬텔
지그문트 야니스체프스키
조르주 드 람

앙리 레옹 르베그 포메르스[1](프랑스어: [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ]; 1875년 6월 28일 ~ 1941년 7월 26일)는 17세기 통합 개념을 일반화한 것으로 유명한 프랑스의 수학자로, 한 축에 대해 정의된 함수의 곡선과 축 사이의 영역을 요약한 것이다. 그의 이론은 원래 1902년 낸시 대학교의 인테그랄, 롱구르, aire("통합, 길이, 지역") 논문에서 발표되었다.[3][4]

사생활

앙리 르베게는 1875년 6월 28일 오이세 주의 보바이스에서 태어났다. 르베그의 아버지는 활자 세터였고 어머니는 학교 선생님이었다. 그의 부모는 어린 앙리가 사용할 수 있는 도서관을 집에 모았다. 그의 아버지는 르베게가 아직 매우 어렸고 그의 어머니가 혼자서 그를 부양해야만 했을 때 결핵으로 죽었다. 그가 초등학교에서 수학에 뛰어난 재능을 보이자, 그의 강사 중 한 명이 Collége de Beauvais에서, 그리고 나서 파리의 Lycée Saint-Louis와 Lycée Louis-le-Grand에서 그의 교육을 계속하기 위해 지역 사회의 지원을 주선했다.[5]

1894년 르베그는 에콜 노르말 수페리우레에 합격하여 1897년 졸업하면서 수학 공부에 계속 정력을 쏟았다. 졸업 후 그는 도서관에서 일하면서 2년 동안 에콜 노르말 수페리에 머물렀고, 그곳에서 그는 최근 이 학교를 졸업한 레네 루이스 바이어에 의해 당시 수행되었던 불연속 연구에 대해 알게 되었다. 동시에 소르본느에서 대학원 공부를 시작했는데, 그곳에서 그는 에밀 보렐의 초기 측정 이론 연구와 카밀 요르단의 요르단 측정에 관한 연구를 알게 되었다. 1899년 그는 박사학위를 계속 연구하면서 낸시의 Lycé Central의 교수직으로 자리를 옮겼다. 1902년, 그는 4살 연상인 보렐과 함께 고문으로 제출한 '통합, 길이, 면적'에 관한 정론 논문으로 소르본에서 박사학위를 받았다.[6]

르베그에는 동료 제자 중 한 명의 누이동생과 결혼했고, 그와 그의 아내에게는 스잔느와 자끄라는 두 아이가 있었다.

그의 논문을 발표한 후, 레베게는 1902년에 렌네즈 대학에서 강의를 제안받았고, 1906년까지 그곳에서 강의를 하였고, 그 때 푸아티에 대학교의 과학 교수진으로 옮겨갔다. 1910년 르베그는 1919년부터 교수로 승진하여 소르본느로 이주하였다. 1921년 그는 소르본 강을 떠나 콜레지 드 프랑스 대학의 수학 교수가 되었고, 그곳에서 강의와 연구를 하며 여생을 보냈다.[7] 1922년 그는 아카데미에 데스 사이언스의 일원으로 선출되었다. 앙리 르베게는 1941년 7월 26일 파리에서 사망했다.[6]

수학적 경력

Lesons sur l'integration et la recherche desces primitives, 1904년

레베게의 첫 번째 논문은 1898년에 출판되었고 "Sur l's aroundimation desference"라는 제목이 붙여졌다. 다항식들에 의한 연속함수에 대한 근사치에 대한 위어스트라스의 정리를 다루었다. 1899년 3월에서 1901년 4월 사이에 르베게는 콤프테스 렌두스에 6개의 노트를 발표했다. 이 중 첫 번째는 그의 르베그 통합의 발달과 무관하게 바이얼의 정리가 두 변수의 함수로 확장되는 것을 다뤘다. 다음 5개에서는 평면에 적용할 수 있는 표면, 스큐 폴리곤의 면적, 주어진 바운드로 최소 면적의 표면적 통합을 다루었고, 최종 주에서는 일부 함수 f(x)에 대해 Lebesgue 통합의 정의를 내렸다. 이 작품의 전모가 있는 르베그의 대논문인 인테그랄, 롱구르, aire는 1902년 안날리 디 마테마차(Annali di Matematica)에 등장하였다. 제1장은 측정 이론을 전개한다(보렐 측정 참조). 두 번째 장에서 그는 기하학적으로 그리고 분석적으로 일체감을 정의한다. 다음 장에서는 길이, 면적 및 해당 표면을 다루는 Competes Rendus 노트를 확장한다. 마지막 장은 고원의 문제를 주로 다룬다. 이 논문은 수학자가 쓴 가장 훌륭한 논문 중 하나로 여겨진다.[1]

1902년부터 1903년까지의 그의 강의는 "보렐 트랙" Lesons sur l'intégration et la recherche desponses primitives primitives. 원시적 기능을 찾는 것으로 간주되는 통합의 문제가 이 책의 기조다. 르베그는 아우구스틴-루이 카우치, 피터 구스타프 르주네 디리클레, 베른하르트 리만 등을 거론하며 역사적 맥락에서 통합의 문제를 제시한다. 르베그는은 적분을 만족시키는 것이 바람직하다 6조건을 제시하고 그 중 마지막은"한도를 f로 순서 2())인상(x=는 2적분(x)f(x)의 적분는 경향이 있다."르베그는 그의 조건 측정 및 측정이 가능한 기능의 이론과 및 기하학적 분석 definitio로 통한다 보여 준다.n일체형의 s

그는 1903년 논문 "Sur les séries trigonométrique"로 삼각함수 다음으로 방향을 틀었다. 그는 이 연구에서 세 가지 주요 이론들을 제시했다: 경계 함수를 나타내는 삼각형 시리즈가 푸리에 시리즈라는 것th, 푸리에 계수가 0이 되는 경향이 있다는 것(리만-르베그 보조정리), 푸리에 시리즈는 용어로 통합할 수 있다는 것. 1904년-1905년 르베그는 다시 한번 프랑스 콜로네게에서 삼각연재에 대해 강의했고 그는 계속해서 그의 강의를 "보렐 연작"에 게재했다. 이 방면에서 그는 다시 한번 그 문제를 역사적 맥락에서 다룬다. 그는 푸리에 시리즈, 칸토르-리만 이론, 포아송 적분, 디리클레 문제에 대해 자세히 설명한다.

1910년 논문에서 "Représentation trigonométrique properchée desfornes a une condition de Lipschitz"는 나머지 기간의 크기 순서에 대한 평가와 함께 Lipschitz 조건을 만족시키는 Fourier 시리즈 기능을 다룬다. 그는 또한 리만-르베그 보조정리기가 지속적인 기능에 가장 적합한 결과라는 것을 증명하고, 르베그 상수에게 어느 정도 치료를 해준다.

레베그는 "레두아테스 아 데스 세레랄레스, 레스 수학 식 세레미티크 세레엔트 엥벨레 산세누네"(일반 이론으로 줄인다면 수학은 내용 없는 아름다운 형태일 것이다.)라고 쓴 적이 있다.

측정이론적 분석과 수학의 관련 분야에서 레베그-스티엘트제스는 리만-스티엘트제스와 르베그 통합을 일반화하여 후자의 많은 장점을 보다 일반적인 측정이론적 틀에서 보존한다.

레베그는 그의 경력 동안, 또한 복잡한 분석과 위상의 영역으로 노력했다. 그는 또한 에밀 보렐과 더 일반적인 것에 대해 의견이 달랐다.[8][9][10][11] 그러나, 이러한 사소한 부분들은 실제 분석에 대한 그의 기여에 비해 창백하다; 이 분야에 대한 그의 기여는 오늘날 그 분야의 형태에 엄청난 영향을 미쳤고, 그의 방법은 현대 분석에서 필수적인 부분이 되었다. 이것들은 아래에 언급된 바와 같이 르베그가 완전히 알지 못했을 기초물리학에 대한 중요한 실제적 함의를 가지고 있다.

르베그 통합론

직사각형 영역에 의해 적분된 리만 근사치.
이것은 역사적 개요다. 기술적 수학적 처리에 대한 자세한 내용은 Lebesgue 통합을 참조하십시오.

통합은 함수의 그래프 아래 영역을 찾는 비공식적인 생각에 해당하는 수학 연산이다. 최초의 통합 이론은 기원전 3세기 아르키메데스가 사분법(四分法)으로 개발하였지만 이는 기하학적 대칭성이 높은 제한된 상황에서만 적용할 수 있었다. 17세기에 아이작 뉴턴과 고트프리드 빌헬름 라이프니즈는 통합이 본질적으로 분화와 연관되어 있다는 생각을 발견했는데, 후자는 그래프의 어느 특정 지점에서 함수가 얼마나 빨리 변하는지 측정하는 방법이다. 미적분학의 두 가지 주요 기하학적 연산, 분화와 통합 사이의 이 놀라운 관계는 이제 미적분학의 기본 정리라고 알려져 있다. 수학자들이 처음으로 광범위한 집단을 계산할 수 있도록 허용했다. 그러나 유클리드 기하학을 바탕으로 한 아르키메데스의 방법과는 달리 수학자들은 뉴턴과 라이프니츠의 적분학에는 엄격한 기초가 마련되어 있지 않다고 느꼈다.

19세기에 아우구스틴 카우치는 엡실론-델타 한계를 개발했고, 베른하르트 리만은 현재 리만 적분이라고 불리는 것을 공식화함으로써 이를 따라갔다. 이 적분을 정의하려면 그래프 아래 영역을 점점 더 작은 직사각형으로 채우고 각 단계에서 직사각형 영역의 합계를 제한한다. 그러나 일부 기능에서는 이러한 직사각형의 총 면적이 단일 숫자에 근접하지 않는다. 그런 만큼 리만 적자가 없다.

르베게는 이 문제를 해결하기 위해 새로운 통합 방법을 발명했다. 기능의 영역에 초점을 맞춘 직사각형의 영역을 사용하는 대신, 르베게는 자신의 근본적인 영역 단위를 위한 함수의 코도메인을 살펴보았다. 르베그의 아이디어는 먼저 그 세트와 기능 모두에 대한 측정을 정의하는 것이었다. 그리고 나서 그는 자신이 단순함수라고 부르는 것의 핵심을 구축하기 시작했다; 측정 가능한 함수는 아주 많은 값어치만 가져간다. 그런 다음 그는 더 복잡한 기능에 대해 해당 함수보다 작은 단순 함수의 모든 통합 중 최소 상한으로 정의했다.

르베그 통합은 리만 적분과의 경계된 간격에 걸쳐 정의되는 모든 기능에도 르베그 적분(Lebesgue integrity)이 있으며, 그러한 기능에 대해서는 두 통합자가 동의하는 속성을 갖는다. 더욱이, 폐쇄된 경계 간격의 모든 경계 함수는 르베그 적분을 가지고 있으며, 리만 적분을 가지고 있지 않은 르베그 적분을 가진 많은 함수가 있다.

르베그 통합의 개발의 일환으로 르베그에서는 측정의 개념을 발명하였는데, 이 개념은 측정 가능한 집합이라고 불리는 간격에서 매우 큰 집합으로 길이에 대한 개념을 확장시켰다(그러므로 더 정확히 말하면 단순한 함수는 한정된 수의 값을 취하는 함수로서 각 값은 측정 가능한 집합에 취한다). 레베그(Lebesgue)의 척도를 본질적인 일반화로 바꾸는 기술은 다른 많은 상황에 쉽게 적응하여 현대적인 척도 이론의 장을 이끌어 낸다.

르베그 적분은 한 가지 점에서 부족하다. Riemann 통합은 정의 영역이 닫힌 간격이 아닌 함수를 측정하기 위해 부적절한 Riemann 통합에 일반화한다. 르베그 적분은 이러한 기능들 중 많은 부분을 통합하지만(그 기능이 통합될 때 항상 같은 답을 재현한다), 모든 기능을 통합하지는 않는다. 실제 라인의 기능에서 헨스톡 적분은 르베그 통합과 부적절한 리만 통합을 모두 잠재우는 훨씬 더 일반적인 적분 개념(레베그 이론보다는 리만 이론에 근거한)이다. 그러나 Henstock 적분은 실제 라인의 특정 주문 특성에 따라 달라지므로 더 일반적인 공간(예: 다지관)에서 통합을 허용하도록 일반화하지 않는 반면, Lebesgue 적분은 그러한 공간에 자연스럽게 확장된다.

참고 항목

참조

  1. ^ a b c Burkill, J. C. (1944). "Henri Lebesgue. 1875-1941". Obituary Notices of Fellows of the Royal Society. 4 (13): 483–490. doi:10.1098/rsbm.1944.0001. JSTOR 768841. S2CID 122854745.
  2. ^ "Prizes Awarded by the Paris Academy of Sciences for 1914". Nature. 94 (2358): 518–519. 7 January 1915. doi:10.1038/094518a0.
  3. ^ 수학 계보 프로젝트 앙리 르베그
  4. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Henri Lebesgue", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
  5. ^ Hawking, Stephen W. (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Running Press. pp. 1041–87. ISBN 978-0-7624-1922-7.
  6. ^ a b McElroy, Tucker (2005). A to Z of mathematicians. Infobase Publishing. pp. 164. ISBN 978-0-8160-5338-4.
  7. ^ Perrin, Louis (2004). "Henri Lebesgue: Renewer of Modern Analysis". In Le Lionnais, François (ed.). Great Currents of Mathematical Thought. Vol. 1 (2nd ed.). Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49578-1.
  8. ^ Pesin, Ivan N. (2014). Birnbaum, Z. W.; Lukacs, E. (eds.). Classical and Modern Integration Theories. Academic Press. p. 94. ISBN 9781483268699. Borel's assertion that his integral was more general compared to Lebesgue's integral was the cause of the dispute between Borel and Lebesgue in the pages of Annales de l'École Supérieure 35 (1918), 36 (1919), 37 (1920)
  9. ^ Lebesgue, Henri (1918). "Remarques sur les théories de la mesure et de l'intégration" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 35: 191–250. doi:10.24033/asens.707.
  10. ^ Borel, Émile (1919). "L'intégration des fonctions non bornées" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 36: 71–92. doi:10.24033/asens.713.
  11. ^ Lebesgue, Henri (1920). "Sur une définition due à M. Borel (lettre à M. le Directeur des Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure)" (PDF). Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 37: 255–257. doi:10.24033/asens.725.

외부 링크