단종구분

연속 함수는 수학, 함수 및 응용 분야에서 가장 중요합니다.그러나 모든 기능이 연속적인 것은 아닙니다.어떤 함수가 도메인의 한 점에서 연속적이지 않다면, 그 함수는 그 부분에 불연속성이 있다고 말할 수 있다.함수의 모든 불연속점 집합은 이산 집합, 조밀한 집합 또는 함수의 전체 도메인일 수 있습니다.이 글은 실수값을 취하는 단일 실수변수 함수의 가장 단순한 경우에서의 불연속성의 분류를 설명한다.

한 지점에서 함수의 진동은 이러한 불연속성을 다음과 같이 수량화합니다.

• 분리 가능한 불연속성에서는 함수 값이 꺼지는 거리가 진동이다.
• 점프 불연속에서 점프 크기는 진동이다(점프의 값이 양쪽 한계 사이에 있다고 가정).
• 본질적인 불연속성에서는 발진은 존재하는 한계의 실패를 측정합니다. 한계는 일정합니다.

함수가 무한대 또는 마이너스 무한대로 분산되는 특수한 경우로, 이 경우 진동이 정의되지 않습니다(확장 실수의 경우 이는 제거 가능한 불연속성입니다).

분류

다음 각 항목에 대해 f$\displaystyle$f가$$ 불연속인 $점{\displaystyle }$ x$$ $부근$에 정의된 $실수{\displaystyle }$ 변수$x$의 $실수$ $함수{\displaystyle }$f\$displaystyle$ $x,\displaystyle$ f를$$고려합니다.

분리 가능한 불연속성

분할 함수를 고려합니다.

$점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 $=$ {$style x_{0}=1$}은$$ 분리 가능한 불연속부입니다.이러한 종류의 중단의 경우:

음수 방향의 단측 한계:

및 양의 방향에서 단측 한계: ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$({$에서 둘 다 존재하며 $유한$하며 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {=}^{}}$ L${\displaystyle {}^{}}$+$$. { { $displaystyle$ L$$$= L$= { - } = L$^$ { + } } 즉, 두 단변 한계가 존재하며 동일하므로 f$x$) { $displaystyle$ f$($$x$ )의 $L{\displaystyle }$$${ displaystyle f${\displaystyle (}$x$$$$} }$isplaystyle x_{0}$이(가) 존재하며 동일한 값과 같습니다.f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$0$$) {$displaystyle$ f$\left(x_{0}\right)}$의 실제 값이 L$(\displaystyle$ L$)$과 $같지{\displaystyle }$ 않은 경우 x 0$(\$})은 분리형 불연속이라고 불립니다.이러한 불연속성을 제거하여 f ${\displaystyle$ f$}$를 x${\displaystyle {}_{}}$0 $,\displaystyle x_{0}$에서 연속적으로 함수로 $만들{\displaystyle }$ 수 있습니다.는 x ${\displaystyle =}$ x${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$ 으로 연속됩니다$.$ {{$displaystyle$ x$=x_{0}}$$}$

이동식 불연속이라는 용어는 때때로 분리 가능한 특이점을 포함하도록 확장됩니다. 이 경우, ${\displaystyle {함수}_{}}$는 x${\displaystyle {}_{}}$0에서 정의되지 않은 반면, 양방향의 한계가 존재하며 $동일합니다.$ {\$style x_{$0}.} 함수의$$^[a] 연속성과 불연속성은 함수의 영역에 있는 점에만 정의되어 있는 개념이기 때문에 이는 용어 남용이다$.$

점프 불연속성

기능을 고려하다

$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음, 점 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 $=$({$displaystyle x_{0$}=$1$$})$은 점프 불연속이다.

이 경우 L${\displaystyle {}^{}}$-$${\$displaystyle$ L$^{-}$ 및 $L{\displaystyle {}^{}}$+ {\$displaystyle$ L$^{+}}$은(는) 존재하며 유한하지만$$L -${\displaystyle {}^{}}$L$$+ , \$displaystyle$$$L$^{-}\neq$ L$^{+},$ $L{\displaystyle }$ - $style$ l L - l $style$ l$$ style L + } } } } } } } } } } } } } } } } } } } } l l } l l l } } } }${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$({$은 점프 불연속, 스텝 불연속 또는 제1종 불연속이라고 불립니다.이러한 유형의 불연속성에서는 $함수{\displaystyle }$f\$displaystyle$${\displaystyle f_{}}$는 x 0$.\displaystyle x_{0}$의 값을$$ 가질 수 있습니다.$}$

필수 불연속성

본질적인 불연속성의 경우$,$ R {\$displaystyle \mathbb${R$\}\}$에는 2개의 단측 한계 중 적어도1개가 존재하지 않습니다.(일부 또는 양쪽의 단측 한계치는 ±$displaystyle \pm \infty$}).$$

기능을 고려하다

$그러면{\displaystyle {}_{}}$ 점 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 $=$ {$displaystyle x_{0$}=1}이$($가) 필수 불연속입니다.

이 예에서는 L${\displaystyle {}^{}}$-$${\$displaystyle$ L$^{-}$와${\displaystyle {}^{}}$L$$+ {\$displaystyle$ L$^{+}}$이 모두 R$${\$displaystyle \mathbb {R$에 존재하지 않으므로 필수 불연속 조건을 만족합니다.${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ x 0$({$은 두 번째 유형의 필수 불연속, 무한 불연속 또는 불연속입니다.(이것은 복잡한 변수의 함수를 연구할 때 자주 사용되는 필수 특이점과는 다릅니다.)

f$${\$displaystyle$ f$}$가 $구간{\displaystyle }$ I${\displaystyle r\mathbb{}}$ R$,$ {\$displaystyle$ I$\subseteq \mathbb {R}$에 정의되어 있는 함수라고${\displaystyle }$가정하면$$$I$의 f {\$displaystyle$ f$$$}$의 모든 불연속성$집합을$$$D로 나타내며$,$ R {\$displaystyle$ 0$}$이 의미하는 것은 $다음$과 같습니다$.$${\displaystyle {}_{}①}$ f { $display$ $style$$$x$$$_$ {$$$0$ } $x$ f { $display$ $style$x $_$$${ 0$$ }${\displaystyle {}_{}}$x f $style$ $f$의 분리 가능한 $불연속성$을 가지도록$$$I$$${ $display$$style$$$x$$$$$_$ {$0$ } \ in$$I$$$all$ x${\displaystyle {}_{}}$0 으로 $구성$된 집합을$$ $나타냅니다{\displaystyle }$${\displaystyle .}$$display$$$$$ ${displaystyle$x_$$${0}$이(${\displaystyle {가\mathrm{}}_{}}$) x$$0에서 필수 불연속부를 ${\displaystyle {갖는\mathrm{}}_{}}$ $모든$ $x{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}i}$I$(\$$displaystyle$ x_$$${0})$의 집합은 E$.(\displaystyle$$E$.)로 표시됩니다. 이때 $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \}}$ R ${\displaystyle \}}$ D = R } $.$ {\$displaystyle$ D =$$R.\$cup$ J$.$

함수의 불연속성 카운트

$세트{\displaystyle }$D의 다음 두 가지 특성(\$displaystyle$ D$)$은 문헌과 관련이 있습니다.

• $(\displaystyle$ D$)$ 세트는$$ F$(\$}) 세트입니다.함수가 연속되는 포인트 세트는 항상 G$$(\$displaystyle G_{\delta$})입니다( 참조^[2]).

• $I간격$에서$$f${displaystyle$ I$}$가 단조라면 D${displaystyle$ D$}$는 기껏해야 셀 수 있고 $.{displaystyle$ D$=J.}$ 이것이$$ Froda의 정리이다.

Tom^[3] Apostol은 부분적으로 제거와 점프 불연속만을 고려함으로써 위의 분류를 따른다.그의 목표는 주로 프로다의 정리를 증명하는 단조 함수의 불연속성을 연구하는 것이다.같은 목적을 가진^[4] 월터 루딘과 칼 R.Stromberg는^[5] 또한 다른 용어를 사용하여 불연속성을 제거하고 점프한다.단, 두 저자 모두 R${\displaystyle j}$J(\$displaystyle R\cup$ J$)$는 항상 카운트 가능한 세트라고 기술하고 있습니다( 참조^[6][7]).

필수 불연속이라는 용어는 존 클리퍼트에 ^[8]의해 도입된 것으로 보인다.$또한$ $E$를 다음과$$ 같은 세 가지 세트로 세분하여 본질적 불연속성을 분류했습니다.

$물론{\displaystyle }$ E ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {E1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {E2\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {E3\mathrm{}}_{}}$ { { $displaystyle$ E=$E_{1}$ \ $cup$ E_${3}$} ${\displaystyle x_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {E\_\mathrm{}}_{}}$ 1 $\$ $displaystyle$ $x_{0}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$$$e$${\displaystyle {}_{}}$ $E_{$1} x 0$$\ displaystyle $x_0}$은 필수 불연속이라고 불립니다.${\displaystyle {E\_\mathrm{}}_{}}${$2}\cup$ E_{3}의$$ 임의의 x 0 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E2\mathrm{}}_{}{}_{}}$ $(\$0}\$in$ E_{$3})$은 제2종류의 필수 불연속이라고 불립니다.따라서 다음과 같이 카운트 가능한 특성을 잃지 않고 세트 R ${\displaystyle r}$ J$$\ $displaystyle$R \ $cup$J 를 확대합니다$$.

• $세트{\displaystyle }$ R${\displaystyle j}$ J${\displaystyle {eE\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}{eE\mathrm{}}_{}}$3 \ $displaystyle$R \ $cup$J \ $cup$ E _ {$2}$ \ $cup$ E _ {3$}$은 카운트 가능합니다$$.

르베그 정리 다시 쓰기

I ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle }$a , $]$ { $displaystyle$ I = [$a$ , $b$} ,$f$ { $displaystyle$ f$$} 가$$ 유계 $함수$인 경우 f$$. { $displaystyle$$$f$$ .$$}의 리만 적분성 $측면$에서 집합$D$의 $중요성$에 대해 잘 알려져 있습니다. 사실, 르베그 정리(Levigalg)$aystyle$ f$}$는 D$${\$displaystyle$ D$}$이(가) 르베그의 측정값이 0인 집합인 $경우$에만 I $=$ [$]$ {$displaystyle$ I=[$a,b]}$에 통합할 수 있는 리만입니다.

이 정리에서는 모든 유형의 불연속성에는${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}{\displaystyle }$.$${$displaystyle [a,b]$에서 $경계함수{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$ f$}$가 적분할 수 있는 장애물에 동일한 가중치가 있는 것으로 보인다.} 카운터블$$ 집합은 르베그 측정값 0의 집합이고, 카운터블 집합과 르베그 측정값 0의 집합은 여전히 르베그 측정값 0의 집합이기 때문에, 우리는 이것이 사실이 아님을 알게 되었다$.$실제로 집합 $R{\displaystyle j}$ J${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {E2\mathrm{}}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {E3\mathrm{}}_{}}$（ \ $style R$\ $cup$J \ $cup$ E _ {2} \$cup$ E _ {3$}$）의$$ 불연속은 f$.\$ $displaystyle$ f$$.의 리만 적분성과 관련하여 완전히 중립이며, 그 목적을 위한 주요 불연속은 본질적으로 최초의 불연속이다.em은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

• f$,$ {\$displaystyle$ f$,}$의 제1종$f$의 $모든{\displaystyle }$ 필수 불연속 중 $(\$$$$E_{1$})에 르베그의 측정값이 0인 경우에만 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \{\backslash }$displaystyle f,}는 [$a,$b$]$ {$displaystyle$ [a,$b}$에 통합할 수 있다.

${\displaystyle {E1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$ { \ $displaystyle E_{1$} → \ $varnothing }$인 $경우{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle \mathrm{유계}}$ $함수{\displaystyle }$f : [ a , b${\displaystyle }$] ${\displaystyle \to }$ { \ $displaystyle$ f : [$a$, $b$] \ $to$\$mathbb${$R }$} :

• ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$ f$}$의${\displaystyle }$각 지점에 오른쪽 제한이 있는 $경우{\displaystyle }$ $[\$$displaystyle$[$a{\displaystyle }$$,b$$]$ {\$displaystyle$ f$}$는 [$]$ {displaystyle $[a,b]}$ $displaystyle$ f}에 통합할 수 있습니다( 참조^[9]).
• $(\displaystyle$f)의${\displaystyle }$각$포인트$에${\displaystyle }$왼쪽$$이 있는 $경우$ f$(\$$displaystyle$ f$)$는${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$에${\displaystyle }$Riemann이 통합되어 $있습니다{\displaystyle }$$.\displaystyle [a,$$b$$].$$}$
• f$${\$displaystyle$ f$}$가 [${\displaystyle a,}$ b$]$ $displaystyle [a,b]$의 조절된 함수인 $경우{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$}$는 ${\displaystyle [a,}$b${\displaystyle ]}$ $.{\displaystyle }${$displaystyle [a,b]$에 통합 가능한 리만입니다.$}$

예

Thomae의 함수는 0이 아닌 모든 유리점에서 불연속적이지만 모든 비합리적인 점에서는 연속적입니다.이러한 불연속성이 모두 첫 번째 종류의 필수임을 쉽게 알 수 있다. $즉{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {E1\mathrm{}}_{}}$ $=$ $.\style$ E_${1$}=\$mathbb {Q }$ 첫$$ 번째 단락에서는 모든 유리점에서 연속적인 함수는 존재하지 않지만 모든 비합리적인 점에서 불연속적인 함수는 존재한다.

디리클레 함수로도 알려진 유리수의 지시 함수는 어디에서나 불연속적이다.이 불연속성들은 모두 첫번째 종류의 필수품이다.

이제 3진수 칸토어 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$ C ${\displaystyle \subset }$ [${\displaystyle }$0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$] { $displaystyle$\$mathcal${ $C}$ \$subset$[ 0 , 1$$] $및$ 해당 표시기(또는 특성) 함수를 살펴보겠습니다.

Cantor $집합{\displaystyle \mathcal{}}$ C$(\$를 $구성$하는 한 가지 방법은 C$:$$=$⋂ $\underset{}{\overset{}{n}}$ $\underset{}{\overset{}{=}}$ $\underset{}{\overset{}{0}}{}_{}$ $C_{}$ n$${ $textstyle {$C}):=\$bigcap$ _${n=0}^{\infty$}$C_{n$}입니다$$$$. 여기서 집합 ${\displaystyle {Cn}_{}}$${$$style$ C_${n}$은 반복됩니다.

$함수{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{\mathcal{}}}$ (${\displaystyle x}$)$$, {\$displaystyle \mathbf {$1$}$ $_{\mathcal {C}}(x})$의 불연속성을 고려하여 $점{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}C\mathcal{}}$. {\$displaystyle x_{0}\in \mathcal {C}$이 아니라고 가정합니다.$}$

따라서 C$${\$displaystyle {C$의 공식에 사용되는 ${\displaystyle {집합}_{}}$Cn$,$ {\$displaystyle C_{$n}이$$ 존재하며, 여기에는 x${\displaystyle {}_{}{0}_{}}$을 포함하지 $.$ 즉, $x{\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle x_{0$})은$$$$ ${\displaystyle C_{}}$n {\displaystyle x_{0$}$의 구조에서 삭제된 열린 간격 중 하나에 속합니다$.$$\$$displaystyle$ $C_{n}$ 이렇게$$$$ ${\displaystyle {하면\mathrm{}}_{}}$ x$$0(\$displaystyle x_{0})$에는 C$.(\$$displaystyle {C$$})$의 $포인트$가 없습니다.(다른 방법으로$,$ C$.\$displaystyle {C$}}$는 닫힌 집합이므로 $]$에 대해 보완적입니다)$splaystyle [0,1]}$이(가) 열려 있습니다).$따라서{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ $(\$1$} _{\mathcal {C}})$는 x${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$. {\$displaystyle x_{0}$의 $일부{\displaystyle {}_{}}$ 인근에서만 값이 0으로 간주됩니다.} ${\displaystyle {}_{}}$ $1C$$displaystyle$\$mathbf {1}$ _${\$$mathcal$ {$C$$}}$은(는$)$ x 0 으로 $연속$됩니다$.$$}$

즉$,{\displaystyle }$ 간격 [$]({displaystyle$$$$[$$0,1])$의$1C$의 $모든{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 불연속부 집합$$D$(\displaystyle$ \$mathbf {$1$}_{\mathcal$${C$$})$가 C$.$의 서브셋임을 의미합니다.$C$. {\displaystyle ${C}$은 설정 불가하기 $때문$입니다.u measure, $또한{\displaystyle }$D {\$displaystyle$ D$}$는 null Lebegue 측정 집합이므로 Lebegue-Vitali $정리{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ C$${\$displaystyle \mathbf {1}$ _${\mathcal {C}}}$와 관련하여 리만 적분 가능 함수이다.

더$$ 정확히는 D ${\displaystyle =C\mathcal{}}$ 입니다$.$ ({$displaystyle$ D = {$C}$ ). $실제로$C(\displaystyle ${C})$는 희귀(빈 내부 닫힘) $집합$이므로 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}}$ $(\$$})$에 인접$({\displaystyle {x0\mathrm{}}_{}}$ - 0${\displaystyle )}$이 없습니다.${0}+\varepsilon \right}/$x 0$,$ {\$displaystyle$$x_{$0$$}은${\displaystyle (}$는) C .$${displaystyle ${C}}$에 $포함$할 수 있습니다.이렇게 하면 x $†$ $C{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle x_{0}\in$\mathcal$$${C}}$의 모든 근방에 C$${\$displaystyle$ {$C}$의 $점$이 포함되지만, {${\displaystyle C\mathcal{}}$$}$의 점이 $포함$되지 않습니다.$tyle {mathcal {C}}$ $함수$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}${\$displaystyle \mathbf {1}$ $_{\mathcal$ ${$$C}}$에서 이는 $\underset{}{lim}$ x $\underset{}{\to }$ $\underset{}{{}_{0\mathrm{}}^{}}$ - $1{}_{\mathcal{}}$ ($$x$$) { $textstyle \lim$_ {$x\to x_{0}^{-}}}$ \$mathbf {$1$}$ _{\$mathcal$ {$C}}}$ $\underset{}{\to }$ $\underset{}{lim}$}의 의미입니다.($x)}$이(가) 존재하지 않습니다$.$즉, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$1$$, {\$displaystyle$ D$=E_{1}$ 입니다$$. ${\displaystyle {여기}_{}}$서 E${\displaystyle {}_{}}$1 ,$${\$displaystyle E_{1$} 에서는 1${\displaystyle {}_{}}$의 첫 번째 종류의 $함수$에 대한 모든 필수 불연속성의 집합을 나타냅니다$.$ ${\displaystyle \mathbf${C}$_$ {\$mathcal$ {$C$$}$ } $）{}_{}^{}$ $1$ 0 x$$1 C${}_{}$。$f {1} _{\mathcal {C}}(x)dx=0.$$}$

파생상품의 불연속성

${\displaystyle 이제\mathbb{}}$ R$${\$style$ I$\subseteq \mathbb {R}$을$($를) ${\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$${\displaystyle \mathrm{함수<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; f:I\backslash to\; \backslash mathbb\; \{R\}\; \}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/d0048c7d78f42a3cd038906db745c64ff1ed6aa6"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:9.68ex;\; height:2.509ex;">}}$ $F{\displaystyle }$: I ${\displaystyle \to }$ \$display style$F :의 도함수 I$\to$ \$mathbb {R}$$I\to \mathbb {R$ $($$\displaystyle$ I$\backslash$$displaystyle$ I\displaystyle I$\backslash$displaystyle I\$in$ I$\displaystyle F'($))입니다.

Darboux의 정리에 따르면, ${\displaystyle \mathrm{미분}}함수{\displaystyle }$ f:${\displaystyle I\mathbb{}}$ $→$ R {\$display$ style f$:}$는 잘 알려져 있다.$I\to$ \$mathbb {R} }$에는 중간값 특성을 만족시키는 제한이 있습니다.

${\displaystyle f}${\$displaystyle$ f$}$는$물론{\displaystyle }$ 간격 I {\$displaystyle$ I$\}$에 연속될 수 있습니다. Bolzano의 정리에 따르면 연속 함수는 중간 값 속성을 만족합니다.

한편, 중간값 속성으로 인해$f$가 $인터벌{\displaystyle }$ I$($$디스플레이$ $스타일$$$I$)$에서 불연속되는 것을 $막을{\displaystyle }$ 수는 없습니다.그러나 Darbous의 정리는$f$가 가질 수 있는 불연속 유형의 영향을 즉시 받습니다.$실제로{\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}i}$I {\$displaystyle x_{0}\in$I가$$f {\$displaystyle$ f$\}$의 불연속점이라면 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 f$${\$displaystyle$ f$\}$^[10]의 $필수{\displaystyle }$ 불연속점입니다.

이는 특히 다음 두 가지 상황이 발생할 수 없음을 의미합니다.

또한 다음 두 가지 상황을 제외해야 합니다(John Klippert^[11] 참조).

(i), (ii), (iii${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \mathrm{iii}}$) 또는 (iv) 중 $하나$의 ${\displaystyle {조건}_{}}$이 충족될 때마다 (\$displaystyle$ $x_{0}\in$I$$$)$ $간격$에서 $(\$$displaystyle$ F$)$가 반파생성 F$(\$$displaystyle$ F$)$를 소유하지 못한다는 $결론$을 내릴 수 있습니다.

한편, 함수 $f{\displaystyle :}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$f:}에 관한 새로운 유형의 불연속성.$I\to$ \$mathbb {R}$을$($를) 도입할 수 있습니다.f$${\$displaystyle$ f$\}$ $함수$의 필수 불연속 x ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle x_{0}\in$ I$\}$는 다음과 같은 $경우$ f {\$displaystyle$ f$}$의 기본 불연속이라고 합니다.

그리고.

${\displaystyle {따라서\mathrm{}}_{}}$ x 0${\displaystyle {}_{}i}$I {\$style$ x_${0}\in$ I$}$가 미분 $함수{\displaystyle f}$ : I ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$I에서 \mathbb {R$까지는 $반드시{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0$(\$이 f$\backslash$$displaystyle$f의 $기본적$인 불연속입니다.

또한 I ${\displaystyle =}$ [${\displaystyle a}$ , $]$ {$displaystyle$ I → [$a$ , $b$] } $및$ f : ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \to }$ {$display$ f$:$$I\to \mathbb {R}$은 유계함수이며, 르베그 정리 가정에서는 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle }$µ (${\displaystyle a}$, b$$)\$displaystyle x_{0}\in ($a ${\displaystyle ,}$ $b$에 대해 다음과 같이 합니다.

그리고.따라서 f$\displaystyle$f의$$ $모든{\displaystyle }$ 본질적인 불연속성은 근본적인 것입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 분리 가능한 특이점 – 정규화할 수 있는 홀모픽 함수의 정의되지 않은 점
• 수학적 특이점
• 연속성에 의한 확장
• 평활도 – 함수의 도함수(수학)
  • 기하학적 연속성
  • 파라메트릭 연속성

메모들

레퍼런스

원천

• Malik, S.C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 0-470-21858-4.

외부 링크

• "Discontinuous". PlanetMath.
• Ed Pegg, Jr.의 "Discontinuity", 울프람 데모 프로젝트, 2007.
• Weisstein, Eric W. "Discontinuity". MathWorld.
• Kudryavtsev, L.D. (2001) [1994]. "Discontinuity point". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.