루신의 정리

실제 분석의 수학 분야에서는 루신의 정리(혹은 루진의 정리, 니콜라이 루진의 이름을 딴 것)나 루신의 기준은 거의 모든 영역에서 연속적인 함수일 경우에만 거의 모든 곳에서 유한함수를 측정할 수 있다고 기술하고 있다.J. E. 리틀우드의 비공식 공식화에서, "모든 측정 가능한 기능은 거의 연속적이다".

고전적 진술

간격 [a, b]에 대해 다음을 수행하십시오.

f:[a,b]\오른쪽 화살표 \mathb {C}

측량할 수 있는 기능이다그 후, 매 ε > 0에 대해, E로 제한되는 f가 연속적으로 존재하는 컴팩트 E ⊆ [a, b]가 존재한다.

\displaystyle \mu (E)]b-a-\varepsilon.}

E는 [a, b]에서 서브공간 위상을 계승한다는 점에 유의하십시오. E로 제한된 f의 연속성은 이 위상을 사용하여 정의된다.

또한 [a, b]와 거의 모든 유한한 간격으로 정의되는 함수 f에 대해, 만약 어떤 ε > 0에 대해 함수 ϕ이 존재한다면, 집합의 측정과 같이 [a, b]에 연속되는 함수 ϕ이 있다.

\{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi(x)\}

ε보다 작으면 f를 측정할 수 있다.^[1]

일반형식

$(X,\Sigma ,\mu )$ X , $(X,\Sigma ,\mu )$ , $(X,\Sigma ,\mu )$ ) $(X,\Sigma ,\mu )$ 은 라돈 측정 공간이고 $(X,\Sigma ,\mu )$ Y는 보렐 대수학을 갖춘 제2의 카운트 가능한 위상학적 공간이며, let let ( $(X,\Sigma ,\mu )$ , $(X,\Sigma ,\mu )$ , μs)은 let, let lets.

f:X\오른쪽 화살표 Y

측량할 수 있는 기능이다;0{\displaystyle \varepsilon>0}, 한정된 조치의 모든 A∈Σ{A\in \Sigma\displaystyle}에 ε 을 감안할 때에는μ(A∖ E)<>와 밀폐된 집합 E{E\displaystyle};ε가 f{\displaystyle f}E{E\displaystyle}로 제한되어 conti은{\displaystyle \mu(A\setminus E)<, \varepsilon} 있다.nuous. $A$ $A$ 이(가) 로컬로 $A$ 압축된 경우 $E$ $E$ $E$ 을(를) 선택하고 $f_{\varepsilon }:X\rightarrow Y$ ${\displaystyle$ $f_{\parebsilon }:$ $X$ $\$ 오른쪽 $화살표 Y}$ 을 $f_{\varepsilon }:X\rightarrow Y$ (를) 찾으면서 E {\displaystystyle $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ 의 $f$ $E$ ${\p와 일치$ 하는 압축함수를 $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ 수 있다. $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ ( x ) $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ ( x $\ \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leq \sup _{x\in X}|f(x)|$ ) $displaystyle \sup$ \sup $_{x\in$ X} $f_{\varepsilon }(x) \leq \sup _{x\in X} f(x)$ .

비공식적으로 계산 가능한 기초가 있는 공간에 대한 측정 가능한 함수는 해당 영역의 임의로 큰 부분에 대한 연속 함수로 근사치를 구할 수 있다.

증명서상

루신 정리의 증거는 많은 고전 서적에서 찾을 수 있다.직감적으로 에고로프의 정리와 매끄러운 기능의 밀도의 결과로 기대한다.에고로프의 정리는 포인트와이즈 융합이 거의 균일하며, 균일한 융합은 연속성을 보존한다고 기술하고 있다.

참조

원천

N. 루신.Sur les elseétés des ponsibles mesurables, Comptes rendus de l'Academie des Science de Paris 154(1912), 1688–1690.
G. 폴랜드.실제 분석: 현대 기법과 응용, 제2편.7장
W. 지그문트.스콜자-드래곤리 재산(폴란드), UMCS, Lublin, 1990년
M. B. 펠드만, "루신의 정리 증명", 미국 수학.월 88 (1981), 191-2
로렌스 C.에반스, 로널드 F.가리피, "함수의 측정 이론과 미세한 특성", CRC 프레스 테일러 & 프랜시스 그룹, 수학 교과서, 정리 1.14

인용구

^ "Luzin criterion - Encyclopedia of Mathematics".

[1] "Luzin criterion - Encyclopedia of Mathematics".

[1]

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