헤르츠 벡터

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헤르츠 벡터 또는 헤르츠 벡터 전위는 전자기 전위의 대체 공식이다. 전자파 이론 교과서에 학생들이 풀 수 있는 연습 문제로서 가장 많이 소개된다.^[1] 안테나^[2], 도파관 등 실용성을 갖춘 사례가 다수 존재한다.^[3] 비록 그것들이 때때로 그러한 연습 문제에서 사용되기는 하지만, 그것들은 여전히 대부분의 전자기 이론 과정에서는 거의 언급되지 않으며, 그것들이 언제 그것들이 더 일반적으로 연습된 방법보다 더 간단한 문제 해결 방법을 제공할 수 있는지 증명하는 방식으로 연습되지 않는 경우가 많다.^{[citation needed]}

개요

헤르츠 벡터는 스칼라 전위 ${\displaystyle \phi }$과(와$$) $전위{\displaystyle \mathbf{}}$ { ${\$을(를) 정의하는 대체 방법을 제공하므로 특정 시나리오에서 전기장과 자기장에 대해 해결할 때 유리할 수 있다.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A}{\partial t}}}}}$$

(1)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}}$$

(2)

단순성을 위해 전기와 자기 양극화 사례를 별도로 고려해 각각 스칼라 및 벡터 전위 측면에서 정의하면 전기장과 자기장이 발견될 수 있다. 단지 전기 양극화의 경우 다음과 같은 관계가 사용된다.

$${\displaystyle \phi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}}}$$

(3)

$${\displaystyle \mathbf {A} =\mu \엡실론 {\frac {\partial \mathbf {\Pi} _{e}{\partial t}}}}$$

(4)

그리고 오로지 자기 분극의 경우에 대해서는 다음과 같이 정의된다.

$$\displaystyle \phi =0}$$

(5)

$${\displaystyle \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } _{m}}}$$

(6)

이를 적용하기 위해서는 헤르츠 벡터의 형태를 얻을 수 있도록 편광화를 정의할 필요가 있다. 단순한 전기 양극화의 경우를 생각해 보면 파동 방정식을 통해 이러한 형태를 찾을 수 있는 경로를 제공한다. Assuming the space is uniform and non-conducting, and the charge and current distributions are given by ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t),\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$, define a vector ${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)}$ such that ${\d$$isplaystyle \rho =-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ and ${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}}$. Using these to solve for the ${\displaystyle \mathbf {\Pi } }$ vectors is similar to how the auxiliary fields ${\displaystyle \mathbf {D} }$ and ${\displaystyle \m$$atsbf {H} }$을(를) 찾을 수 있지만$$, 여기서 헤르츠 벡터는 전기와 자기 분극을 소스로 취급한다. 이러한 소스에서 나오는 헤르츠 벡터 전위, 전기 헤르츠 전위$$ ${\displaystyle {}_{}}$ e$${\$displaystyle \mathbf${\$Pi _{e},$ 자기 헤르츠 전위$$ $\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 각각의 파동 방정식을 사용하여 도출할 수 있다.

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {\pi} _{e}-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\pi }}}{e}{\partial t^{2}}=-{\frac {\mathbf}{{pi}}}}}}}}}}}{{{\epsilon}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

(7)

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {\pi } _{m}-\mu \epsilon {\frac {\pi ^{2}\m}{\partial t^{2}}=-\mu \mathbf {M}}}}}}}}}}}}$$

(8)

This is simply done by applying the d'Alembert operator ${\displaystyle \Box =\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)}$ to both vectors, keeping in mind that ${\displaystyle c^{2}=\left(\mu \epsilon \right)$$^{-1}$, 그리고 그 결과는 존재하는 편광으로 인해 0이 아니다. 이것은 현재 밀도 $J{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$과 같은 쉽게 결정된 특성들과 헤르츠 벡터를 통한 필드로의$$ 그것들의 스칼라 및 벡터 전위와의 관계 사이의 직접적인 경로를 제공한다. 이러한 파동 방정식은 헤르츠 벡터에 대해 다음과 같은 해답을 산출한다.

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {P} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}d^{3}\mathbf {r} }$$

(9)

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu }{4\pi }}\int \limits _{V}{\frac {\left[\mathbf {M} \left(\mathbf {r} '\right)\right]}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}d^{3}\mathbf {r} }$$

(10)

어디[P(r′)]{\displaystyle \left[\mathbf{P}\left(\mathbf{r}'\right)\right]}과[M(r′)]{\displaystyle \left[\mathbf{M}\left(\mathbf{r}'\right)\right]}r− r′/v{\displaystyle \mathbf{r}-\mathbf{r'}/v}.[1]그 elec이 발달이 늦은 시간에 평가되어야 한다.트라이c와 자기장은 헤르츠 벡터를 사용하여 찾을 수 있다. 양극화, 헤르츠 벡터, 장 사이의 관계를 단순하게 관찰하기 위해, 한 번에 하나의 양극화(전기 또는 자기) 발생원만 고려하게 된다. $자기{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ 양극화가 없는 경우 in ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$}$_{e}$ 벡터를$$ 사용하여 다음과 같은 필드를 찾는다.

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {\Pi }_{e}\pi \mu \epsilon {\frac {\pi }{e}}{e}{\pi}}}}}}}}}}}:{\partial t^2}}:$$

(11)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \epsilon {\frac {\partial t}}\왼쪽(\nabla \times \mathbf {\Pi } _{e}\right)}$$

(12)

마찬가지로 자기 양극화만 존재하는 경우, 이전에 언급한 스칼라 및 벡터 전위와의 관계를 통해 장을 결정한다.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial t}{\partial t}\left(\nabla \times \mathbf {} _{m}\right)}}}$$

(13)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi} _{m}}}}}$$

(14)

전기와 자석의 양극화가 모두 존재하는 경우, 그 장은

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times \mathbf {\Pi} _{m}{\pi}}}}$$

(15)

$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \nabla \matbf {\Pi} _{e}{\pi}}}}$$

(16)

예

진동 쌍극자

1차원 균일 진동 전류를 고려하십시오. 전류는 진동 주파수$\Omega$으로 전도 물질 l의 어느 정도 길이에 z축을 따라 정렬된다$.$ 양극화 $벡터$를 정의한다$.$

$${\displaystyle \mathbf {P} =(-Il/\omega )\cos \left[\omega t\right]_{t'}\mathbf {\z}}}}}}}}$$

(17)

여기서 t는 지연 시간 t${\displaystyle {}^{}t}$= t${\displaystyle }$- ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}{}^{}}$/ ${\displaystyle v}$ $[\displaystyle t'=t- \mathbf {r}$ -$\mathbf {r}$ ' $/v}.$ 이것을 전기 헤르츠 벡터 방정식에 삽입하면 l 길이가 작고 편극이 한 차원임을 알 수 있으므로 다음과 같이 구면 좌표로 근사치를 계산할 수 있다$.$

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {\left(-Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{ \mathbf {r} -\mathbf {r} ' }}\left[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} -\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(18)

${\displaystyle difference}$를 직접 취하는 것은 ${\displaystyle r\mathbf{}}$- r ${\displaystyle {\prime }^{}}$ $displaystyle \mathbf {r}$ -$\mathbf {r'}$분모로$$ 인해 빠르게 지저분해진다. $이$는 1${\displaystyle }$/ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1/r}$ 전위를$$ 확장하는 데 Legendre Polyomials를 사용하여 쉽게 해결된다.

$${\displaystyle {\frac{1}{\mathbf {x} -\mathbf {x} '}}}}}}}{{l=0}^{\frac {r'^{l}{r^{l+1}}}}}}}}}P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽)}$$

(19)

$위$의 방정식에서 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ $\$$mathbf {x}$과(와) $display$ {\displaystyle \$mathbf {x} '}$은(는$$) 벡터이고$$r {\$displaystyle$ r$}$과(와$)$ $r{\displaystyle {}^{}}$display {\$displaystystyle r'$은 벡터의 길이라는 점에 유의해야 한다. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma$}은$($는) $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$과(와) $x{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 사이의 각도 입니다$.$ 헤르츠 벡터는 지금 다음과 같이 쓰여 있다.

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\frac(-Il/\omega \rift)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}}}}}{l=0}^{r^{r^{l+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.P_{l}\왼쪽(코스\감마 \오른쪽)\왼쪽[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\r} -\sin(\theta \right)\mathbf {\\hattea \}\right]}$$

(20)

발산하는 것을 택하기

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}={\frac {\left(Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}\cos \left(\theta \right)}{4\pi \epsilon }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}\left(l+1\right)}{r^{l+2}}}P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽)}$$

(21)

그런 다음 결과의 그라데이션

$${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)={\frac {\left(-Il/\omega \right)\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi \epsilon }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}\left(l+1\right)P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽){r^{l+3}}\왼쪽[\왼쪽(l+2\오른쪽)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\r}+\sin(\theta \right)\matbf {\\\\}$$

(22)

마침내 시간과 관련된 두 번째 부분 찾기

$${\displaystyle \mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {\mu Il\omega \cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\왼쪽(코스\감마 \오른쪽)\왼쪽[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\r} -\sin(\theta \right)\mathbf {\\hattea \}\right]}$$

(23)

전기장 찾기 허용

$${\displaystyle \mathbf {E} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {\Pi } _{e}\right)-\mu \epsilon {\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } _{e}}{\partial t^{2}}}={\frac {Il\cos \left[\omega t\right]_{t'}}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}P_{l}\left(\cos \left(\gamma \right)\right)}{r^{l+1}}}\left[\left({\frac {-\left(l+1\right)\left(l+2\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}-\mu \omega \right)\cos \left(\theta \right)\mathbf {\hat {r}} +\left({\frac {-\left(l+1\right)}{r^{2}\epsilon \omega }}+\mu \omega \right)\sin \left(\theta \right)\mathbf {\hat {\theta }} \right]}$$

(24)

시뮬레이션

적절한 데카르트 좌표 변환을 사용하여 이 필드를 3D 그리드에서 시뮬레이션할 수 있다. 원점에서 X-Y 평면을 보면 우리가 쌍극자로부터 기대하는 한 평면의 두 개의 사랑으로 이루어진 장이 나타나며, 그것은 제때에 진동한다. 아래 이미지는 이 필드의 모양과 코사인 용어로 인해 극성이 시간 내에 어떻게 반전되는지를 보여주지만, 현재 전류의 강도에 따라 시간 변화로 인한 진폭 변화를 보여주지 않는다. 그럼에도 불구하고 그것의 모양만으로도 이 시나리오에서 전기 헤르츠 벡터 사용의 효과를 알 수 있다. 이 접근방식은 특히 시간에 따라 달라지기 때문에 무한히 얇은 전선 내의 전하 측면에서 전기장을 찾는 것보다 훨씬 더 간단하다. 이것은 헤르츠 벡터의 사용이 더 일반적인 방법에 비해 유리할 때 몇 가지 예시 중 하나에 불과하다.

전류 루프

시간 변화 전류 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t}$) ${\$ I$\sin \left(\omega t\right)}$을 포함하는$$ $영역{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$의 작은 루프를 생각해 보십시오$.$ 전류 흐름과 함께 오른손 법칙의 결과로서 흐름의 방향에 수직인 자기장이 존재할 것이다. 이 필드가 루프에서 생성되기 때문에 전기 쌍극자처럼 보일 것으로 예상된다. 이것은 헤르츠 벡터를 사용하여 빠르게 증명될 수 있다. First the magnetic polarization is determined by its relation to magnetic moment ${\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {m} }{dV}}}$. The magnetic moment of a current loop is defined as ${\displaystyle \mathbf {m} =IA\mathbf {\hat {n}} }$, so if the loop lies in the x-y plane and has the previously defined time-varying current, the magnetic moment is ${\displaystyle \mathbf {m} =IA\sin \left(\omega t\right)\mathbf {\hat {z}} }$. Inserting this into ${\displaystyle \mathbf {M} }$, and then into Equation (10), the magnetic Hertz vector is found in a simple form.

$${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{m}={\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi \mathbf {r} -\mathbf {r}'}}}}}}}}}}}"}$$

(25)

전기 쌍극자 예에서와 같이, 레전드레 다항식을 $사용$하여$$E {\$displaystyle \mathbf$ {$E}$ $및{\displaystyle \mathbf{}}$B {\$displaystyle \mathbf$ {B$$$}}$을(를$)$ 얻는 데 필요한 파생상품을 단순화할 수 있다$.$ 그런 다음 전기장을 통해 전기장을 찾을 수 있다.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽)\mathbf {\hat{z}}}$$

(26)

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r$에 대한 의존성 때문에, 유일한 $z{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$ 성분$$ 벡터에서 $r{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$ $및$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{^}}}$ ${\$$}$로 변환하여 구면 좌표로 헤르츠 벡터를 표현하는 것이 훨씬 간단하다.$eta }}$ 구성 요소$$.

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\frac {\mu IA\sin \left(\omega t\right)}{4\pi }}\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r'^{l}}{r^{l+1}}}P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽)\왼쪽[\cos \left(\theta \right)\mathbf {\r}\sin(\theta \right)\mathbf {\\\hatta \}\right]\right)}}$$

(27)

$${\displaystyle \mathbf{E} ={\frac {-\mu AI\오메가 \cos \left(\omega t\right)}{4\pi }}}}}{l=0}^{l'{r^{r^{l+2}}:}}P_{l}\왼쪽(\cos \gamma \오른쪽)\왼쪽(1-l\오른쪽)\mathbf {\hat {\phi }}}}$$

(28)

시뮬레이션

이 필드는 구면 구성요소를 x와 y 구성요소로 변환하여 Python을 사용하여 시뮬레이션하였다. 결과는 예상대로다. 변화하는 전류로 인해 전기장을 유도하는 시간 의존적인 자기장이 존재한다. 모양 때문에 들판이 쌍극자처럼 나타난다.

참고 항목

• 쌍극 안테나

참조