조력 텐서

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뉴턴의 중력 이론과 일반 상대성 이론과 같은 다양한 상대론적 중력 고전 이론에서 조력 텐서는 대표적이다.

1. (중립, 비피닝) 시험 입자 구름의 조력 가속,
2. 주변 중력장에 잠긴 작은 물체에서의 조석 응력

조력 텐서는 최소 거리로 분리된 두 시험 질량의 중력에 의한 상대 가속도를 나타낸다. ${\displaystyle {구성}_{}}$ 요소 ${\displaystyle {\phi }_{}}$ a b$${\$displaystyle \Phi$ _${a}{b}}$은(는) $b$ ^ {\$displaystyle$ ${\hat {b}$ 방향으로$$ 변위를 생성하는${\displaystyle \stackrel{}{}}$^ ${\$$displaysty$} 방향의 상대 $가속도$를 나타낸다$.$

구형 몸체에 대한 조력 텐서

조수의 가장 흔한 예는 구면체(예: 행성이나 달) 주위의 조력이다. 여기서 우리는 고립된 대칭의 거대한 물체 바깥의 중력장에 대한 조력 텐서를 계산한다. 뉴턴의 중력 법칙에 따르면 중심 질량 m에서 r 거리에서의 가속도는

${\displaystyle a=-gm/r^{2}}$

(수학을 단순화하기 위해, 다음의 파생에서 우리는 중력 상수 G를 1로 설정하는 관례를 사용한다. 차동 가속도를 계산하려면 결과를 G로 곱해야 한다.)

Let us adopt the frame in polar coordinates for our three-dimensional Euclidean space, and consider infinitesimal displacements in the radial and azimuthal directions, ${\displaystyle \partial _{r},\partial _{\theta },}$ and ${\displaystyle \partial _{\phi }}$, which are given the subscripts 1, 2, and 3 respe얄밉게

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

우리는 이 틀에서 표현된 조력 텐서의 각 구성요소를 직접 계산할 것이다. 첫째, 중심체로부터 거리 h로 다른 거리에서 동일한 방사선에 놓여 있는 두 개의 주변 물체에 대한 중력을 비교한다.

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

다변형 대수를 논할 때, 우리는 첫 번째 순서 용어만을 보유하기 때문에, $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}{11}_{}}$= - ${\displaystyle 2}$m / ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ ${\$$\theta {\displaystyle }$$$${\displaystystyle \theta}$ 또는 $or$ ${\displaystysty \phi$} 방향에 가속이 없기 때문이다.e 다른 방사형 항은 0: $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {12}_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ ${\displaystyle {13}_{}}$= 0 ${\displaystyle \Phi _{12}=\$$Phi _{13}=0}$.

마찬가지로, 동일한 반경 $r{\displaystyle }$= ${\displaystyle {r\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$에 누워 있지만$$ $but{\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ 또는 $or$ ${\displaysty \phi}$ 방향으로 (적외선) 거리 h에 의해 이동된 두 근방의 관찰자에 대한 중력을 비교할 수 있다. 약간의 기초 삼각법과 작은 각도 근사치를 사용하여, 우리는 힘 벡터가 크기를 가진 구에 접하는 벡터에 의해 다르다는 것을 발견한다.

${\displaystyle {\frac {r_{0}^{2}}\,\sin(\theta )\약 {\frac {m}{r_{0}^{2}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\m}{0}}}}}}}}}},},}$

작은 각도 근사치를 사용함으로써, 우리는 모든 순서 $O{\displaystyle }$( ${\displaystyle {h\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle O(h^{2$의 항을 무시하였으므로 접선성분은 ${\displaystyle {22}_{}}$22 = ${\displaystyle {33}_{}}$33 = ${\displaystyle m}$/ ${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle 3{}^{}}$ ${\$displaystystyle \$Phi _{33}=m/r^{3$ 다시 방위 방향 중 어느 한 방향으로의 변위 때문에 방사형 방향에서 가속이 없으므로 다른 방위각 용어는 0: : ${\displaystyle {21}_{}}$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {31}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Phi _{21}=\pi _{31}=0$

Combining this information, we find that the tidal tensor is diagonal with frame components ${\displaystyle \Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)}$ This is the Coulomb form characteristic of spherically symmetric central force fields in New톤물리학

헤시안 공식화

질량이 단일한 수직 대칭 중심 물체가 아닌 더 일반적인 경우, 조력 텐서는 포아송 방정식을 따르는 중력 전위 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에서 도출될 수 있다$.$

${\displaystyle \Delta U=4\pi \,\mu }$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 존재하는 물질의 질량 밀도이고$$, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 라플라스 연산자다. 이 방정식은 진공 용액에서 전위는 단순히 고조파 함수에 불과하다는 것을 의미한다는 점에 유의하십시오.

조수 텐서는 흔적도 없는 부분에 의해 주어진다.

${\displaystyle \Phi _{ab}-{\frac {1}{1}{3}\,{J^{m}}\,\eta _{ab}}}$

헤센 사람

${\displaystyle J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}}}}}}}$

여기서 우리는 E에³ 대한 표준 카르테시안 차트를 유클리드 미터법 텐셔너와 함께 사용한다.

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;\-\inflt <x,y,z<\inflt }}$

벡터 미적분학에서 표준 결과를 사용하면 이는 극구형 차트와 같은 다른 좌표 차트에서 유효한 표현으로 쉽게 변환된다.

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\좌측(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

$########################################################################$

spheric 대칭

예를 들어 헤시안(Hessian)을 이용하여 구면체의 조력 텐서를 계산할 수 있다. 다음으로 중력전위 $U{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$ /${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U=-m/\rho }$을(를) 헤시안(Hessian)에$$ 꽂아 보자. 위의 표현을 극구형 좌표에서 유효한 것으로 변환하거나, 연결하기 전에 전위를 데카르트 좌표로 변환할 수 있다. 두 번째 코스를 채택하여 $U{\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$/ x ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{y\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}{}^{}}}$+ z ${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$ ${\$}$}}}}$을$($를) 주므로

${\displaystyle \Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]}$

극구형 좌표에 적응한 우리의 프레임을 회전시킨 후, 이 표현은 이전의 결과와 일치한다. 이를 가장 쉽게 볼 수 있는 방법은 ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle y,z}$을(를) 0으로$$ 설정하여 비대각 항이 소멸되고 ${\displaystyle \rho }$= x ${\displaystyle \rho =x$ , 그리고 나서 구형 대칭을 호출하는 것이다.

일반상대성이론

일반 상대성에서는 조력 텐서가 리만 곡률 텐서(Riemann 곡률 텐서)에 의해 일반화된다. 약한 자기장 한계에서 조력 텐서는 곡률 텐서의 성분$$ ${\displaystyle {ii}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{R}}_{}}$ i 0 ${\displaystyle {\mathrm{j}}_{}}${\$displaystyle \Phi _{ij}={R}_{i0j0}}}}$에 의해 주어진다.

참고 항목

• 조력

참조

외부 링크

• Sperhake, Ulrich. "Part II General Relativity Lecture Notes" (PDF): 19. Retrieved 13 January 2018. {{cite journal}}: Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
• Renaud, F.; Boily, C. M.; Naab, T.; Theis, Ch. (20 November 2009). "Fully Compressive Tides in Galaxy Mergers". The Astrophysical Journal. 706 (1): 68. arXiv:0910.0196. Bibcode:2009ApJ...706...67R. doi:10.1088/0004-637X/706/1/67. S2CID 15831572.
• Duc, Pierre-Alain; Renaud, Florent. "Gravitational potential and tidal tensor". ned.ipac.caltech.edu. Caltech. Retrieved 13 January 2018.