알렉산드로프 위상

위상에서 알렉산드로프 위상은 열린 집합의 모든 패밀리의 교차점이 열려 있는 위상이다.열린 집합의 어떤 유한 집단의 교차점이 열려 있다는 것은 위상의 공리인데, 알렉산드로프 토폴로지에서는 유한한 제한이 삭제된다.

알렉산드로프 위상과 함께 설정된 공간은 알렉산드로프 분리 공간 또는 미세하게 생성된 공간으로 알려져 있다.

알렉산드로프 토폴로지는 그들의 전문화 사전 주문에 의해 독특하게 결정된다.실제로, 세트 X에 대한 사전 주문 given을 고려할 때, X에는 전문화 사전 순서가 ≤인 독특한 알렉산드로프 위상이 있다.오픈 세트는 ≤에 관한 상위 세트일 뿐이다.따라서 X의 알렉산드로프 토폴로지는 X의 예약 주문과 일대일 일치한다.

알렉산드로프-분해 공간은 위상이 모든 유한 서브 스페이스의 패밀리에 의해 고유하게 결정되기 때문에 정밀하게 생성된 공간이라고도 불린다.따라서 알렉산드로프-분해 공간은 유한 위상 공간의 일반화로 볼 수 있다.

역영상은 임의의 조합과 교차로로 통한다는 사실 때문에 알렉산드로프-분해된 공간이라는 속성이 인용문 아래 보존된다.

알렉산드로프-분해된 공간은 러시아의 탑학자 파벨 알렉산드로프의 이름을 따서 명명되었다.이들은 러시아 수학자 알렉산드로프(Alexandr 다닐 로비치 알렉산드 로프)알렉산드로프가 도입한 기하학적 공간과 혼동해서는 안 된다.

알렉산드로프 토폴로지의 특성

알렉산드로프 토폴로지는 수많은 특성화를 가지고 있다.X = <X, T>를 위상학적 공간으로 두자.그 후 다음과 같다.

열림 및 닫힘 집합 특성:
- 오픈 세트.X에서 열린 집합의 임의 교차점이 열려 있다.
- 클로즈드 세트.X에서 폐쇄된 집합의 임의 조합은 폐쇄된다.
인접 지역 특성:
- 가장 작은 이웃.X의 모든 지점에는 작은 이웃이 있다.
- 인접 필터.X의 모든 점의 인접 필터는 임의 교차점에서 닫힌다.
내부 및 폐쇄 대수 특성:
- 인테리어 운영자.X의 내부 운영자는 서브셋의 임의 교차점에 분산된다.
- 폐쇄 연산자.X의 폐쇄 운영자는 임의의 서브셋 조합에 분배한다.
사전 주문 특성:
- 전문화 사전 주문.T는 X의 전문화 사전 순서와 일치하는 가장 좋은 위상이다. 즉, x가 X에서 {y}의 닫힘에 있는 경우에만 사전 순서가 x satisfying y를 만족시키는 가장 좋은 위상이다.
- 오픈 업셋.X의 오픈 세트가 정확히 위쪽으로 닫힌 세트가 되도록 사전 주문 ≤이 있다. 즉, x가 세트에 있고 x가 y가 세트에 있으면 y가 세트에 있다. (이 사전 주문은 정확히 전문화 사전 주문이다.)
- 다운셋을 닫았다.X의 닫힌 세트가 정확히 아래로 닫힌 세트로, 즉 x가 세트에 있고 y가 세트에 있으면 y가 세트에 있도록 사전 주문 ≤이 있다(이 사전 주문은 정확히 전문화 사전 주문이다).
- 하향 마감.점 x는 점 y가 특수화 사전 순서인 경우, 즉 점 x가 {y}의 닫힘에 있는 경우 X의 부분 집합 S의 닫힘에 있다.
유한 생성 및 범주 구성 특성:
- 유한 폐쇄.점 x는 X의 부분집합 S의 부분집합 F가 있는 경우에만 X의 부분집합 S의 부분집합 안에 위치한다(이 유한집합은 항상 단일톤으로 선택될 수 있다).
- 유한 하위 공간.T는 X의 유한 서브 스페이스와 일관성이 있다.
- 유한포함도.X의 유한 서브스페이스의 포함 맵 f_i : X → X는_i 최종 싱크를 형성한다.
- 유한 세대.X는 미세하게 생성된다. 즉, 유한한 공간의 최종 선체에 있다.(이것은_i 각 X가 유한 위상학적 공간인 최종_i 싱크 f_i : X → X가 있다는 것을 의미한다.)

위의 등가 특성화를 만족하는 위상학적 공간을 정밀하게 생성된 공간 또는 알렉산드로프-분해 공간이라고 하며, 그 위상 T를 알렉산드로프 위상이라고 한다.

사전 정렬된 집합과 동등성

사전 주문된 세트의 알렉산드로프 위상

사전 정렬된 집합 $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ = $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ , $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ \ $\$ \ $displaystyle \mathbf$ {X} =\ $langle$ X,\ $leq \rangle }}$ 을(를) 지정하면 오픈 $\mathbf {X} =\langle X,\leq \rangle$ 집합을 상위 집합으로 선택하여 X에서 $\tau$ 알렉산드로프 위상 $\tau$ ${\displaystyle \tau$ }을 정의할 수 있다.

\tau =\\,G\subseteq X:\forall x,y\in X\\\\(x\in G\land \x\leq y)\\\rightarrow \ \in G\,\

따라서 위상학적 $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ ) $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ = $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ X $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ , $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$ { { $\mathbf {T}(\mathbf {X} )=\langle X,\tau \angle }$ 을 얻는다 $\mathbf {T} (\mathbf {X} )=\langle X,\tau \rangle$

해당하는 닫힌 세트는 하위 세트:

\{\,S\s\subseteq X:\all x,y\in X\(x\in S\\\land \ y\leq x)\\\rightarrow \\in S\,\

위상학적 공간에 대한 전문화 사전 순서

위상학적 공간 X = <X, T>에 주어진 X에 대한 전문화 사전 순서는 다음과 같이 정의된다.

x ≤ y(x가 {y}의 폐쇄에 있는 경우에만 해당).

따라서 사전 주문 집합 W(X) = <X, ≤>을 얻는다.

사전 주문과 알렉산드로프 위상 간의 동등성

사전 주문된 모든 집합 X = <X, ≤>에 대해 우리는 항상 W(T(X) = X, 즉 X의 사전 주문은 위상학적 공간 T(X)에서 전문화 사전 주문으로 회수된다.게다가 모든 알렉산드로프-분해 공간 X에 대해 우리는 T(W(X)) = X, 즉 전문화 사전 순서에 의해 유도된 위상으로서 X의 알렉산드로프 위상이 회복된다.

그러나 일반적으로 위상학적 공간에는 T(W(X) = X가 없다. 오히려 T(W)는 X의 위상보다 더 미세한 위상(즉, 더 많은 오픈 세트를 가질 것이다)을 가진 세트 X가 될 것이다.T(W(X)의 토폴로지는 공간 X의 원래 토폴로지와 동일한 전문화 사전 순서를 유도하며, 사실 그 속성을 가진 X의 가장 훌륭한 토폴로지다.

단조성과 연속성 사이의 동등성

단조함수 부여

f : X→Y

사전 주문된 두 세트 사이(즉, 함수)

f : X→Y

X에서 x ≤ y가 f(x) ≤ f(y)를 의미하도록 기본 세트 사이에,

T(f) : T(X)→T(Y)

해당 알렉산드로프 공간 사이의 지도로 간주되는 f와 같은 지도다.그렇다면 T(f)는 연속 지도다.

반대로 연속 지도가 주어진다.

g: X→Y

두 개의 위상학적 공간 사이에, 두 개의 위상학적 공간 사이에.

W(g) : W(X)→W(Y)

해당 사전 정렬된 세트 사이의 맵으로 간주되는 f와 동일한 맵이다.그렇다면 W(g)는 단조함수다.

따라서 사전 정렬된 두 세트 사이의 지도는 해당 알렉산드로프-분해된 공간 사이의 연속적인 지도일 경우에만 모노톤이다.반대로 알렉산드로프-분해된 두 공간 사이의 지도는 해당 사전 정렬된 세트 사이의 단조함수인 경우에만 연속된다.

그러나 알렉산드로프 위상 이외의 위상의 경우, 연속적이지는 않지만 그럼에도 불구하고 해당 사전 정렬된 세트 사이의 단조함수인 두 위상학적 공간 사이에 지도를 가질 수 있다는 점에 유의하십시오. (이를 보기 위해 비알렉산드로프-분산 공간 X를 고려하고 ID 맵 i : X→T(W(X)를 고려한다.)

동등성에 대한 범주 이론적 설명

Let Set는 세트와 맵의 범주를 나타낸다.Let Top은 위상적 공간과 연속적 맵의 범주를 나타내고, Pro는 사전 정렬된 세트와 단조함수의 범주를 나타낸다.그러면

T : Pro→Top 및

W : 상단→프로

각각 왼쪽과 오른쪽 맞춤의 세트 위에 있는 콘크리트 공법이다.

Alx는 알렉산드로프-분산공간으로 구성된 탑의 완전한 하위범주를 나타내도록 한다.그럼 제한은

T : Pro→Alx 및

W : Alx→Pro

세트보다 역 콘크리트 이형성.

Alx는 사실 Bico 반사기 T tW : Top→Alx와 함께 Top의 바이코 반사 하위 카테고리다.이는 위상학적 공간 X를 주어진 ID 맵을 의미한다.

i : T(W(X))→X

연속형이며 모든 연속형 지도에 대해

f : Y→X

여기서 Y는 알렉산드로프-분해된 공간이며, 구성은

i ⁻¹◦f : Y→T(W(X))

연속적이다.

모달프레임에서 모달알제브라구축과의 관계

사전 주문된 X 세트가 주어지면 T(X)의 내부 운영자와 폐쇄 운영자는 다음을 통해 주어진다.

Int(S) = { x ∈ X : 모든 y ∈ X에 대해 x ≤ y는 y ∈ S }을 의미하며,

Cl(S) = { x ∈ X : x ≤ y }을(를) 가진 y ∈ S가 있음

모든 S ⊆ X에 대하여.

X의 동력 집합 부울 대수에서 내부 운영자와 폐쇄 운영자가 모달 연산자가 되는 것을 고려하면, 이 구조는 모달 프레임에서 모달 대수(즉, 단일 이항 관계를 갖는 집합에서)를 구성하는 특수한 경우다.(후자 구조는 그 자체로 관계 구조로부터 복잡한 대수학의 보다 일반적인 구성의 특별한 경우, 즉 그것에 정의된 관계를 갖는 집합)우리가 미리 주문된 집합의 경우에 얻는 모달 알헤브라의 등급은 위상학적 공간의 대수적 추상화인 내부 알헤브라의 등급이다.

역사

알렉산드로프 공간은 1937년 P. S. 알렉산드로프에 의해 이산 공간이라는 이름으로 처음 소개되었는데, 그곳에서 그는 세트와 이웃의 측면에서 특징을 제공하였다.^[1]별개의 공간이라는 명칭은 나중에 모든 부분집합이 열려 있고 원래의 개념이 위상학 문헌에서 잊혀져 있는 위상학 공간에 쓰이게 되었다.반면에 알렉산드로프 공간은 외이스테인 오레가 폐쇄 시스템과 격자 이론과 위상과의 관계에 대한 선구적인 연구에 관련된 역할을 했다.^[2]

1980년대 범주형 위상이 발전하면서 유한 생성 개념을 일반 위상에 적용하고 이를 위해 미세하게 생성된 공간이라는 명칭을 채택하면서 알렉산드로프 공간이 재발견되었다.알렉산드로프 공간도 컴퓨터 과학에서 변혁적 의미론과 도메인 이론에서 비롯되는 위상의 맥락에서 거의 동시에 재발견되었다.

1966년 마이클 C.McCord와 A. K. Steiner는 각각 알렉산드로프가 소개한 공간의₀ T 버전인 부분 순서 집합과 공간 사이의 동등성을 독립적으로 관찰했다.^[3]^[4]P. T. Johnstone은 알렉산드로프 토폴로지를 언급하였다.^[5]F. G. 아레나스는 이러한 토폴로지의 일반 버전을 위해 이 이름을 독립적으로 제안했다.^[6]또한 McCord는 이러한 공간들이 부분적으로 주문된 세트의 주문 콤플렉스에 상당하는 약한 호모토피라는 것을 보여주었다.슈타이너는 등가성이 임의의 만남과 결합을 보존하는 역행성 격자 이형성(travariant lattice isomphinism)이며, 보완성이라는 것을 증명했다.

유한 위상학적 공간과 유한 집합(모달 논리 S4에 대한 유한 모달 프레임)의 사전 순서 사이에 등가성이 존재한다는 것도 모달 논리학 분야에서 잘 알려진 결과였다.A. Grzegorczyk은 이것이 그가 말하는 완전한 분배 공간과 사전 주문 사이의 동등성으로 확장된다고 보았다.C. 나투르만은 이러한 공간들이 알렉산드로프-분해된 공간이라는 것을 관찰하고 그 결과를 알렉산드로프-분해된 공간과 (열린) 연속 지도 사이의 범주-이론적 동등성, 그리고 사전 주문 특성 및 (경계된) 단조지도의 범주-이론적 등가성으로 확장하여 내부와 폐쇄뿐만 아니라 사전 주문 특성도 제공하였다. 대수적 ^[7]특성

알렉산드로프가 원서부터 소홀히 했던 일반적인 위상의 관점에서 이들 공간에 대한 체계적인 조사는 F. G. 아레나스가 맡았다.^[6]

참고 항목

P-공간, 오픈 세트의 계수 가능한 교차점이 열려 있다는 약한 조건을 만족하는 공간

참조

^ Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Mat. Sb. New Series (in German). 2: 501–518.
^ O. O. Ore, 폐쇄 관계에 대한 일부 연구, Duke Math. J. 10 (1943), 761–785.Frédéric Mynard, Elliot Pearl (편집자), Beyond Topology, Commodity 수학 vol. 486, American Matheical Society, 2009, p.170ff에서 Marcel Erné, Closure, P.170ff를 참조하십시오.
^ McCord, M. C. (1966). "Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces". Duke Mathematical Journal. 33 (3): 465–474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.
^ Steiner, A. K. (1966). "The Lattice of Topologies: Structure and Complementation". Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 379–398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947. JSTOR 1994555.
^ Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.
^ ^a ^b Arenas, F. G. (1999). "Alexandroff spaces" (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae. 68 (1): 17–25.
^ Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics.

[Ale37-1] Alexandroff, P. (1937). "Diskrete Räume". Mat. Sb. New Series (in German). 2: 501–518.

[2] O. O. Ore, 폐쇄 관계에 대한 일부 연구, Duke Math. J. 10 (1943), 761–785.Frédéric Mynard, Elliot Pearl (편집자), Beyond Topology, Commodity 수학 vol. 486, American Matheical Society, 2009, p.170ff에서 Marcel Erné, Closure, P.170ff를 참조하십시오.

[McC66-3] McCord, M. C. (1966). "Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces". Duke Mathematical Journal. 33 (3): 465–474. doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7.

[Ste66-4] Steiner, A. K. (1966). "The Lattice of Topologies: Structure and Complementation". Transactions of the American Mathematical Society. 122 (2): 379–398. doi:10.2307/1994555. ISSN 0002-9947. JSTOR 1994555.

[Joh82-5] Johnstone, P. T. (1986). Stone spaces (1st paperback ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-33779-3.

[Are99-6] Arenas, F. G. (1999). "Alexandroff spaces" (PDF). Acta Math. Univ. Comenianae. 68 (1): 17–25.

[Nat91-7] Naturman, C. A. (1991). Interior Algebras and Topology. Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics.

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