궤도 초상화

수학에서 궤도 초상화는 복잡한 역학에서 1복제 입체 2차원의 지도의 동작을 이해하기 위해 사용되는 결합 도구다.

간단히 말하면 다음과 같이 말할 수 있다.

광선이 그 궤도의 지점에 착륙하는 외부 각도의 목록
그래프 위 목록

정의

f_{c:z\to z^{2}+c.

복잡한 평면에서 그 자체로

\\displaystyle f_{c}\mathb {\mathb {C} \to \mathb {\mathb {C}} }}

and a repelling or parabolic periodic orbit ${\mathcal {O}}=\{z_{1},\ldots z_{n}\}$ of $f$ , so that $f(z_{j})=z_{j+1}$ (where subscripts are taken 1 + modulo $n$ ), let ${\displaystyle A$ $_{j}}$ 는 해당하는 외부 광선이 $z_{j}$ j ${\$ 에 착륙하는 각도의 집합이다 $A_{j}$ $z_{j}$

그러면 집합 ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ = ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ( O ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ) ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ = ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ { ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ , ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ … A ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ${\displaystyle {\mathcal{P}={\mathcal{P}}}={\$ mathcal ${O}}=\{{\$ }}}}}=\{}}}} $A_{1},\ldots A_{n}\}\}}}$ 은(는) 주기 궤도 ${\mathcal {O}}$ ${\$ 의 궤도 초상화라고 불린다 ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {O}})=\{A_{1},\ldots A_{n}\}$ ${\mathcal {O}}$

$A_{j}$ $A_{j}$ j ${\$ 세트에는 동일한 수의 원소가 있어야 하며 $A_{j}$ , 이를 초상화의 valence라고 한다.

예

주기 3 궤도에 외부 광선을 착륙시킨 줄리아

줄리아는 2주기 포물선 궤도를 설정했다.관련 궤도 초상화에는 특징적인 호 I = (22/63, 25/63)와 Valence v = 궤도 포인트당 3개의 광선이 있다.

포물선 또는 역회전 궤도 초상화

용맹2길

${\mathcal{P}=\좌측\{\\좌측({\frac {1}{1}{3},{\frac {2}{3}\우측)\우측\rbrace }}$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {3}{7}},{\frac {4}{7}}\right),\left({\frac {6}{7}},{\frac {1}{7}}\right),\left({\frac {5}{7}},{\frac {2}{7}}\right)\right\rbrace$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {4}{9}},{\frac {5}{9}}\right),\left({\frac {8}{9}},{\frac {1}{9}}\right),\left({\frac {7}{9}},{\frac {2}{9}}\right)\right\rbrace$

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {11}{31}},{\frac {12}{31}}\right),\left({\frac {22}{31}},{\frac {24}{31}}\right),\left({\frac {13}{31}},{\frac {17}{31}}\right),\left({\frac {26}{31}},{\frac {3}{31}}\right),\left({\frac {21}{31}},{\frac {6}{31}}\right)\right\rbrace$

용맹 3

발랑스는 3개의 광선이 각 궤도 지점에 착륙한다.

3 external rays of period 3 cycle :

{\mathcal {R}}_{\frac {1}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {2}{7}},{\mathcal {R}}_{\frac {4}{7}}\,

, which land on fixed point

z=\alpha _{c}\,

${\mathcal{P}=\왼쪽\{\frac {1}{7},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{7}\오른쪽)\오른쪽\rbrace }}$

c= -0.03111+0.79111*i가 포물선 3주기 궤도의 복잡한 2차 다항식의 경우:^[1]

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {74}{511}},{\frac {81}{511}},{\frac {137}{511}}\right),\left({\frac {148}{511}},{\frac {162}{511}},{\frac {274}{511}}\right),\left({\frac {296}{511}},{\frac {324}{511}},{\frac {37}{511}}\right)\right\rbrace$

위 각도에 대한 광선은 그 궤도의 지점에 착륙한다. 매개변수 c는 만델브로트 집합의 9주기 쌍곡성분의 중심이다.

포물선 줄리아 집합 c = -1.1255 + 0.21650635094611*i.만델브로트 세트의 2주기 성분과 6주기 성분 사이의 루트 포인트다.valence 3이 있는 주기 2의 궤도 초상화는 다음과 같다.^[2]

${\mathcal {P}}=\left\{\left({\frac {22}{63}},{\frac {25}{63}},{\frac {37}{63}}\right),\left({\frac {11}{63}},{\frac {44}{63}},{\frac {50}{63}}\right)\right\rbrace$

valence 4

${\mathcal{P}=\왼쪽\{\frac {1}{15},{\frac {2}{15},{\frac {4}{15},{\frac {8}}}}\right\rbrace }}}$

공식 궤도 초상화

모든 궤도 초상 ${\mathcal {P}}$ ${\$ 에는 다음과 같은 속성이 있다 ${\mathcal {P}}$ .

각 $A_{j}$ $A_{j}$ ${\$ 은 $A_{j}$ (는) ${\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ / Z ${\$ 의 유한 부분 집합이다.
원의 더블링 맵은 $A_{j}$ $A_{j+1}$ ${\$ 에서 $A_{j+1}$ j $A_{j+1}$ + $A_{j+1}$ ${\$ 까지의 $A_{j}$ 바이어스를 제공하며 $A_{j+1}$ 각도의 주기적인 순서를 보존한다.^[3]
$모든$ 세트 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $A_{1},\ldots ,A_{n}$ , $A_{1},\ldots ,A_{n}$ …의 모든 각도는 원의 더블링 맵에 $따라 주기적이며$ 각도의 정확한 주기를 가진다 $.$ 이 기간은 $n$ ${\displaystyle n$ 의 배수여야 하므로 기간은 r $n$ $rn$ 형식이며 $rn$ 여기서 $r$ $r$ 을(를) 반복 레이 기간이라고 한다 $r$ .
$A_{j}$ $A_{j}$ ${\$ 는 쌍으로 연결되지 않음으로 $A_{j}$ , 즉, 세트 쌍을 지정하면 ${\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ ${\$ 의 분리 구간이 두 개 있으며, 각 ${\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ 구간에는 세트 중 하나가 포함되어 있다.

위의 네 가지 특성을 만족하는 원의 하위 집합 $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ { $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ , $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ , A $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ } ${\displaystyle$ \{ $A_{1},\ldots ,A_{n}\}}}}$ 을 $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ (를) 수집하면 형식 궤도 초상화라고 한다.모든 형식적인 궤도 초상화는 어떤 2차원의 복잡한 1차원 지도의 주기적인 궤도의 실제 궤도 초상화에 의해 실현된다는 것이 존 밀너(John Milnor)의 정리다.궤도 초상화는 외부 광선과 그들의 착륙 지점이 어떻게 평면 내에 지도화되는지에 대한 역동적인 정보를 담고 있지만, 공식적인 궤도 초상화는 결합 물체에 지나지 않는다.밀노르의 정리에는 사실 둘 사이에는 아무런 구분이 없다고 되어 있다.

사소한 궤도 초상화

$A_{j}$ 초상화 A ${\$ 세트 $A_{j}$ 단 하나의 원소만 가지고 $A_{j}$ 있는 것을 사소하다고 하는데, 궤도 ${0}$ 는 0 ${\$ 를 제외하고 ${0}$ 또 다른 정의는 궤도 초상화가 최대일 경우 최대일 경우 비교가 되지 않는다는 것인데, 이 경우에는 그것을 엄격히 포함하는 궤도 초상화가 없다는 것을 의미한다(i.e. there does not exist an orbit portrait $\{A_{1}^{\prime },\ldots ,A_{n}^{\prime }\}$ such that $A_{j}\subsetneq A_{j}^{\prime }$ ).이 지도의 모든 외부 광선이 착륙하고 모두 줄리아 집합의 뚜렷한 지점에 착륙하기 때문에 모든 사소한 공식 궤도 초상화가 지도 $f_{0}(z)=z^{2}$ $f_{0}(z)=z^{2}$ ( $f_{0}(z)=z^{2}$ ) $f_{0}(z)=z^{2}$ = z $f_{0}(z)=z^{2}$ ${\$ 의 궤도 초상화로서 실현되는 것을 쉽게 알 수 있다 $f_{0}(z)=z^{2}$ 사소한 궤도 초상화는 어떤 면에서는 병적인 것이고, 속편에서는 비궤도 초상화만을 언급할 것이다.

아크스

In an orbit portrait $\{A_{1},\ldots ,A_{n}\}$ , each $A_{j}$ is a finite subset of the circle $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ , so each $A_{j}$ divides the circle into a number of disjoint intervals, called comple $z_{j}$ $z_{j}$ j $z_{j}$ {\ $displaystyle z_{j}$ 에 기반한 멘타리 호 $z_{j}$ 각 구간의 길이를 각 폭이라고 한다.각 $z_{j}$ ${\$ 에는 그 위에 고유한 가장 큰 호가 있는데 $z_{j}$ , 이를 임계 호라고 한다.임계 호는 항상 ${\frac {1}{2}}$ 가 1 ${\frac {1}{2}}$ ${\$ 보다 큼

이들 호는 임계 호를 제외하고 $z_{j}$ ${\$ 에 기반을 둔 모든 호가 서로 다른 방식으로 $z_{j+1}$ j + $z_{j+1}$ {\ $displaystyle z_{j+1}$ 에 매핑되는 특성을 가지고 있으며 $z_{j+1}$ 임계 호는 단일 $z_{j+1}$ 를 $z_{j+1}$ 하고 $z_{j+1}$ z + ${\$ 에 한 번 $z_{j+1}$ 기초하는 모든 호를 커버한다.두 번 덮는 호를 $z_{j+1}$ j $z_{j+1}$ + $z_{j+1}$ ${\$ 의 임계 값 호라고 한다 $z_{j+1}$ 이것은 반드시 중요한 호와 구별되는 것은 아니다.

$f_{c}$ $c$ 이 $f_{c}$ 가) f ${\$ 의 반복 아래 무한대로 탈출하거나 $c$ $c$ ${\displaystyle$ c $}$ 이(가) 줄리아 집합에 있을 $c$ 때 $c$ ${\displaystyle$ c $}$ 은(가) 외부 각도가 잘 정의되어 있다 $c$ .이 각도를 $\theta _{c}$ $\theta _{c}$ ${\$ }라고 부르십시오. $\theta _{c}$ θ $\theta _{c}$ ${\$ 는 모든 $\theta _{c}$ 임계 값 호 안에 있습니다. $또한$ ${\frac {\theta _{c}}{2}}$ 더블링 맵( ${\frac {\theta _{c}}{2}}$ ${\frac {\theta _{c}}{2}}$ 2{\ $displaystyle$ ${\frac$ {\ $frac {\fraca _$ { $c$ $}{2}}:})$ ${\frac {\theta _{c}+1}{2}}$ ${\$ 의 $c$ 반전 이미지 두 개가 모든 임계 호에 모두 있다.

모든 $A_{j}$ $A_{j}$ ${\$ s에 대한 모든 임계 값 호 중에서 다른 모든 임계 값 호 안에 엄격히 포함되는 특성 호라고 불리는 고유한 최소 임계 값 호 I ${\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}$ ${\$ 가 있다 ${\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}$ 특징 호는 두 개의 궤도 초상화가 동일한 특성 호를 가진 경우에만 동일하다는 의미에서 궤도 초상화의 완전한 불변성이다.

섹터

궤도에 착륙하는 광선이 원을 나누는 것과 마찬가지로 복잡한 평면을 나누는 것이다.궤도의 모든 $z_{j}$ 지점 $z_{j}$ $z_{j}$ ${\$ 에 착륙하는 외부 광선은 $z_{j}$ $z_{j}$ ${\$ 에 근거한 섹터라 불리는 $v$ $v$ 오픈 $v$ 세트로 평면을 분할한다 $z_{j}$ $z_{j}$ 섹터는 같은 지점에서 자연스럽게 보완 호를 식별한다.섹터의 각도 폭은 해당 보완 호의 길이로 정의된다.해당 호가 각각 임계 호와 임계 호일 경우 섹터를 임계 섹터 또는 임계 값 섹터라고 한다.^[4]

섹터에는 $또한$ 0{\ $displaystyle$ 0}이(가) 모든 포인트의 임계 섹터에 $0$ $있고$ , c{\ $displaystyle c$ 의 임계 $f_{c}$ 인 f $f_{c}$ {\ $displaystyle f_{c}$ 이(가 $f_{c}$ 임계 값 섹터에 있다는 흥미로운 속성이 있다.

매개 변수 웨이크

$t_{-}$ - ${\$ 및 t $t_{+}$ + ${\$ 의 $t_{-}$ 각도가 있는 두 파라미터 광선은 궤도 세로 ${\mathcal {P}}$ $displaystyle$ {P}이 ${\mathcal {P}}$ ( $)$ 있는 $[t_{-},t_{+}]$ 경우에만 파라미터 공간에 설정된 동일한 지점에 $착륙한다$ 특색 호모든 궤도 초상화 ${\mathcal {P}}$ ${\$ {\ $mathcal {P}$ 에 대해 $r_{\mathcal {P}}$ $r_{\mathcal {P}}$ ${\$ 을(를) ${\mathcal {P}}$ ${\$ 의 특성 호에 해당하는 매개변수 공간에 있는 두 외부 각도의 공통 착지점이 되도록 ${\mathcal {P}}$ $r_{\mathcal {P}}$ 한다 ${\mathcal {P}}$ g 점, 매개변수 공간을 두 개의 열린 구성요소로 분할한다.Let the component that does not contain the point $0$ be called the ${\mathcal {P}}$ -wake and denoted as ${\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}$ . A quadratic polynomial $f_{c}(z)=z^{2}+c$ realizes the orbit portrait ${\mathcal {P}}$ ${\mathcal {P}}$ with a repelling orbit exactly when $c\in {\mathcal {W}}_{\mathcal {P}}$ . ${\mathcal {P}}$ is realized with a parabolic orbit only for the single value $c=r_{\mathcal {P}}$ for about

원시 및 위성 궤도 초상화

제로 초상화 외에 두 가지 종류의 궤도 초상화가 있는데, 원시상과 위성사진이다.v $v$ 이 $v$ (가) 궤도 ${\mathcal {P}}$ P ${\$ 의 ${\mathcal {P}}$ 발란스이고 r $r$ 이(가) 반복 광선 기간인 $r$ 경우 이 두 가지 유형을 다음과 같이 특성화할 수 있다.

원시 궤도 초상화는 $r=1$ = $r=1$ ${\displaystyle r=1},$ $v=2$ = $v=2$ ${\displaystyle v=$ 2 $v=2$ 초상화 속의 모든 $f^{n}$ 은 f $f^{n}$ {\ $displaystyle$ f $^{n}}$ 에 의해 스스로 매핑된다 $f^{n}$ $A_{j}$ $A_{j}$ j $A_{j}$ {\ $displaystystyle A_{j}}$ 는 각도가 $A_{j}$ 2배각도로 구분되는 한 쌍이다.이 경우 $r_{\mathcal {P}}$ $r_{\mathcal {P}}$ ${\$ 는 매개 변수 공간에 설정된 아기 맨델브로트의 기준점이다 $r_{\mathcal {P}}$ .
위성 궤도 초상화에는 $r=v\geq 2$ = $r=v\geq 2$ 2 $r=v\geq 2$ {\ $displaystyle$ r $=v\geq$ 2 $}$ 이 있다 $r=v\geq 2$ 이 경우 모든 각도는 이중화 지도 아래 하나의 궤도를 이룬다.또한 r $r_{\mathcal {P}}$ ${\$ 은(는) 매개변수 공간의 포물선 분기점의 기준점이다 $r_{\mathcal {P}}$ .

일반화

궤도 초상화는 다른 지도 가족의 역학 공간과 매개변수 공간 사이의 연관성을 연구하는데 유용한 결합 물체로 판명되었다.특히 이들은 단수 반고형 다항식의 주기적 사이클에서 모든 주기적 동적선이 착륙하는 패턴을 연구하는 데 이용되어 왔다.^[5]

참고 항목

라미네이션

참조

^ Flek, Ross; Keen, Linda (2010). "Boundaries of Bounded Fatou Components of Quadratic Maps" (PDF). Journal of Difference Equations and Applications. 16 (5–6): 555–572. doi:10.1080/10236190903205080. S2CID 54997658.
^ Milnor, John W. (1999). "Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account". Preprint. arXiv:math/9905169. Bibcode:1999math......5169M.
^ Evgeny Demidov의 혼돈 1D 지도
^ 에브게니 데미도프의 주기적 궤도 및 외부 광선
^ Mukherjee, Sabyasachi (2015). "Orbit portraits of unicritical antiholomorphic polynomials". Conformal Geometry and Dynamics of the American Mathematical Society. 19 (3): 35–50. doi:10.1090/S1088-4173-2015-00276-3.

[1] Flek, Ross; Keen, Linda (2010). "Boundaries of Bounded Fatou Components of Quadratic Maps" (PDF). Journal of Difference Equations and Applications. 16 (5–6): 555–572. doi:10.1080/10236190903205080. S2CID 54997658.

[2] Milnor, John W. (1999). "Periodic Orbits, Externals Rays and the Mandelbrot Set: An Expository Account". Preprint. arXiv:math/9905169. Bibcode:1999math......5169M.

[3] Evgeny Demidov의 혼돈 1D 지도

[4] 에브게니 데미도프의 주기적 궤도 및 외부 광선

[5] Mukherjee, Sabyasachi (2015). "Orbit portraits of unicritical antiholomorphic polynomials". Conformal Geometry and Dynamics of the American Mathematical Society. 19 (3): 35–50. doi:10.1090/S1088-4173-2015-00276-3.

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