4각 미러 필터

디지털 신호 처리에서 4중 미러 필터는 크기 응답으로 다른 필터의 $of$${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle 주변}$의 미러 이미지인 필터다.Croisier 외 연구진이 처음 도입한 이 필터들을 함께 4중 미러 필터 쌍으로 알려져 있다.

$H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle H_{1}(z)}$ $필터$는 ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ $0{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle H_{0}(z)$의 4각 미러 필터가 된다$$. H 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= H ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle z}$) ${\displaystysty H_{1}(z)=$$H_{0}(-z)}$

필터 응답은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega =\pi /2}$에 대해 대칭임

${\displaystyle H_{1}(e^{j\Oomega }) = H_{0}(e^{j(\pi -\Oomega )}}$

오디오/음성 코덱에서는 입력 신호를 두 개의 대역으로 분할하는 필터 뱅크를 구현하기 위해 4각 미러 필터 쌍을 사용하는 경우가 많다.그 결과 하이패스 및 로우패스 신호는 종종 2배수로 감소하여 원래의 신호를 비판적으로 샘플링한 2채널 표현을 제공한다.분석 필터는 종종 4중 거울 속성에 추가하여 다음과 같은 공식에 의해 관련된다.

${\displaystyle H_{0}(e^{j\Omega }) ^{2}+ H_{1}(e^{j\Omega }) ^{2}=1}$ where ${\displaystyle \Omega }$ is the frequency, and the sampling rate is normalized to ${\displaystyle 2\pi }$.

이것은 전력 보완적 특성이라고 알려져 있다.즉, 하이패스 필터와 로우패스 필터의 전력 합계는 1과 같다.

직교 파동 - Har wavelets와 관련 Daubechies 파동, Coiflets 및 Mallat가 개발한 일부는 파동과 함께 4각 미러 필터 관계를 만족시키는 스케일링 기능에 의해 생성된다.

다른 필터 뱅크와의 관계

초기의 파도는 직사각형 단계인 하르 파장의 측면에서 함수를 확장하는 것에 기초하였다.이것은 보통 빈약한 근사치인 반면, Daubechies wavelet은 가장 단순하지만 가장 중요한 파동류 가족들 중 하나이다.$N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 포인트$$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$의 기록이 주어진 "매끄러운" 신호에 대해 0인 선형 필터는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle y_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}b_{i}x_{n-i}}}}$

$상수$에 대해서는 소멸시키도록 하는 것이 바람직하므로, m =${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle m$=4$}$을(를$$) 예로 들면 다음과 같다.

${\displaystyle b_{0}\중앙도트 1+b_{1}}\centerdot 1+b_{2}}\centerdot 1+b_{3}\centerdot 1=0}$

그리고 선형 램프를 위해 사라지게 하기 위해 다음과 같이 한다.

${\displaystyle b_{0}\centerdot 0+b_{1}\centerdot 1+b_{2}}\centerdot 2+b_{3}\centerdot 3=0}$

선형 필터는 모든 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\alpha n}}$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x=\alpha$ n$+\beta$ $\}$에 대해 사라지며, 이것이 네 번째 순서 파장으로 할 수 있는 전부다.2차 곡선 등을 없애려면 6개 항이 필요하다.다음에 수반되는 필터는 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle z_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}x_{n-i}}}}$

이 필터는 매끄러운 신호의 경우 크고 매끄럽지 않은 신호의 경우 작은 필터는 정반대의 방식으로 반응한다.선형 필터는 필터 계수와 신호의 합성에 불과하므로 계수의 시리즈는 필터가 최대적으로 반응하는 신호다.따라서 첫 번째 필터의 계수를 입력하면 두 번째 필터의 출력이 사라진다.목적은 다음과 같다.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}c_{i}b_{i}=0}$

선형 필터는 콘볼루션이기 때문에 관련 시계열이 계수의 순서를 건너뛰고, 따라서 이 합에서 둘 다 동일한 색인을 가진다.이 속성을 가진 필터 쌍은 4각 미러 필터로 정의된다.^[1]두 결과 밴드를 2배수로 하위 샘플링했더라도 필터 사이의 관계는 대략 완벽한 재구성이 가능하다는 것을 의미한다.즉, 두 밴드를 업샘플링하여 동일한 필터로 다시 필터링하고 함께 추가할 수 있어 (그러나 약간의 지연으로) 원래 신호를 정확하게 재현할 수 있다.(실용 구현에서는 부동 소수점 산술의 수치 정밀도 문제가 재구성의 완성도에 영향을 미칠 수 있다.)

추가 읽기

• A.크로이시에, D.에스테반, C.Galand: 보간/ 소멸 트리 분해 기법을 사용하여 완벽한 채널 분할.1976년 8월 제1차 국제 과학 및 시스템 회의, Patras, pp.443-446.
• Johnston, JD, A 필터 제품군은 4중 미러 필터 뱅크에서 사용하도록 설계되었다.[1],^{[permanent dead link]} 음향, 음성 및 신호 처리,IEEE 국제 회의, 1980년 4월 5,291-294.
• 이항 QMF(Daubechies wavelet filter)라고도 한다.
• NJIT Subbands and Wavelets 1990, 1992, 1994, 1997.
• Mohlenkamp, M. J, Wavelets 및 그 적용에 대한 자습서.[2], 콜로라도 대학교 볼더, 응용 수학 학부, 2004.
• Polikar, R, Multiresolution Analysis:이산 웨이브릿 변환.[3], 로완 대학교, NJ, 전기 및 컴퓨터 엔지니어링 학부

참조