필터 뱅크

신호 처리에서 필터 뱅크(또는 필터 뱅크)는 입력 신호를 여러 구성 요소로 분리하는 대역 통과 필터의 배열로, 각각은 원래 신호의 단일 주파수 서브밴드를 가지고 있다.^[1][2] 필터 뱅크의 한 가지 적용은 그래픽 이퀄라이저로 구성부품을 다르게 감쇠시켜 원래 신호의 수정된 버전으로 재결합시킬 수 있다. 필터 뱅크가 수행하는 분해 과정을 분석(각 서브밴드 내 그 성분에 관한 신호의 분석을 의미)이라고 하며, 분석의 출력을 필터 뱅크에 필터가 있는 만큼 많은 서브밴드를 가진 서브밴드 신호라고 한다. 재구성 과정을 합성이라고 하는데, 필터링 과정에서 발생하는 완전한 신호의 재구성을 의미한다.

디지털 신호 처리에서 필터 뱅크라는 용어는 수신기 뱅크에도 일반적으로 적용된다. 차이점은 수신기가 서브밴드도 낮은 중심 주파수로 하향 변환해 감소된 속도로 재샘플링할 수 있다는 점이다. 같은 결과는 때때로 밴드패스 서브밴드를 과소표본하여 얻을 수 있다.

필터 뱅크의 또 다른 적용은 일부 주파수가 다른 주파수보다 더 중요할 때 신호 압축이다. 분해 후 중요한 주파수는 미세한 분해능으로 코딩할 수 있다. 이러한 주파수에서 작은 차이는 유의하며 이러한 차이를 보존하는 코드화 방법을 사용해야 한다. 반면에 덜 중요한 주파수는 정확할 필요가 없다. 더 미세한(그러나 덜 중요한) 세부사항 중 일부는 코딩에서 손실되더라도, 더 엄격한 코딩 방식을 사용할 수 있다.

보코더는 필터 뱅크를 사용하여 변조기 신호(음성 등)의 서브밴드의 진폭 정보를 결정하고 이를 사용하여 반송파 신호의 서브밴드(기타나 신디사이저 출력 등)의 진폭을 제어함으로써 변조기의 동적 특성을 반송파에 부과한다.

일부 필터 뱅크는 신호를 더 작은 대역으로 나누기 위해 4각 미러 필터나 괴르첼 알고리즘과 같은 일련의 필터를 사용하여 거의 전적으로 시간 영역에서 작동한다. 다른 필터 뱅크는 빠른 FFT(Fast Fourier Transform)를 사용한다.

FFT 필터 뱅크

입력 데이터 스트림의 중복된 세그먼트에서 일련의 FFT를 수행함으로써 수신기 뱅크를 생성할 수 있다. 필터의 주파수 응답 형태를 제어하기 위해 각 세그먼트에 가중 함수(창 함수라고 함)를 적용한다. 형상이 넓을수록 나이키스트 표본 추출 기준을 만족시키기 위해 FFT를 더 자주 수행해야 한다.^[A] 고정 세그먼트 길이의 경우 겹치는 양은 FFT의 수행 빈도를 결정한다(그리고 그 반대의 경우도 마찬가지). 또한 필터의 모양이 넓을수록 입력 대역폭을 넓히는 데 필요한 필터 수가 줄어든다. 불필요한 필터 제거(즉, 주파수 소멸)는 가중된 각 세그먼트를 더 작은 블록의 시퀀스로 처리하여 효율적으로 수행되며, FFT는 블록의 합에 대해서만 수행된다. 이를 중량 오버랩 추가(WOLA) 및 가중 프리섬 FFT라고 한다(§ 샘플링 the DTFT 참조).

설계상 블록 길이가 FFT 간격의 정수 배수인 경우 특별한 경우가 발생한다. 그런 다음 FFT 필터 뱅크를 간단한 합계가 아닌 FFT에 의해 위상이 재결합되는 하나 이상의 다상 필터 구조로 설명할 수 있다. 세그먼트당 블록 수는 각 필터의 임펄스 응답 길이(또는 깊이)이다. 범용 프로세서에서 FFT와 다상 구조의 계산 효율성은 동일하다.

합성(즉, 복수의 수신기의 출력을 재조합하는 것)은 기본적으로 생성될 총 대역폭에 비례하는 비율로 각 수신기를 업샘플링하고, 각 채널을 새로운 중심 주파수로 변환하며, 샘플 스트림을 합계하는 일이다. 그런 맥락에서 업샘플링과 관련된 보간 필터를 합성 필터라고 한다. 각 채널의 순 주파수 응답은 필터 뱅크(분석 필터)의 주파수 응답을 가진 합성 필터의 산물이다. 이상적으로는 인접 채널의 주파수 응답은 채널 중심 사이의 모든 주파수에서 상수 값에 합치한다. 그 상태는 완벽한 재건이라고 알려져 있다.

시간 빈도 분포로 뱅크 필터링

시간-주파수 신호 처리에서 필터 뱅크는 합동 시간-주파수 영역에서 신호를 나타내는 특수 2차 시간-주파수 분포(TFD)이다. 2차(또는 이선형) 시간-주파수 분포의 등급을 정의하는 2차원 필터링에 의한 위그너-빌 분포와 관련이 있다.^[4] 필터 뱅크와 스펙트로그램은 2차 TFD를 생산하는 가장 간단한 방법이며, 시간 영역을 슬라이스로 나눈 다음 푸리에 변환을 취함으로써 (스펙트로그램)을 얻는 것과 본질적으로 유사하며, 다른 (필터 뱅크)는 슬라이스에서 밴드패스 필터 t를 형성하는 주파수 영역을 분할하여 얻는다.모자는 분석중인 신호에 흥분했다.

멀티레이트 필터 뱅크

멀티테이트 필터 뱅크는 신호를 여러 개의 서브밴드로 나누어 주파수 대역의 대역폭에 해당하는 다른 속도로 분석할 수 있다. 이 구현에서는 다운샘플링(결정)과 업샘플링(확장)을 사용한다. 변환 도메인에서 해당 작업의 영향에 대한 자세한 내용은 이산 시간 푸리에 변환 § 속성 및 Z 변환 § 속성을 참조하십시오.

좁은 저역 통과 필터

좁은 로우패스 필터를 좁은 패스밴드를 가진 로우패스 필터로 정의할 수 있다. 다변형 좁은 저역 통과 FIR 필터를 만들기 위해 인터폴레이터, 저역 통과 안티이미징 필터와 함께 시간 내 퍼 필터를 저역 통과 안티앨리어싱 필터와 디시메이터로 교체할 수 있다. 이러한 방식으로 결과 다변량 시스템은 디시메이터와 보간기를 통한 시간 분산 선형 위상 필터다. 저역 통과 필터는 디시메이터용과 보간기용 1개 등 2개의 다상 필터로 구성된다.^[5]

$필터$ 뱅크는 입력 신호 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle n}$${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle$ $x\left(n\right)}$을$(를)$ $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle }$) ,${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$($n$)${\displaystyle }$, x $3$ (${\displaystyle {}_{}}$)$$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. .$$. . . . . . . . . . . . . .$.$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$\}\}$ ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 방식으로 생성된 각 신호는 $x{\displaystyle }$( n$)[\$ x$\left(n\right)}$의 스펙트럼에서 다른 영역에 해당된다$.$ 이 과정에서 해당 영역이 중복(또는 애플리케이션에 따라 중복되지 않음)될 수 있다.

생성된 신호 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$, x ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . .$$. . . . . . . .$x_{$1}(n), x_${2}(n), x_{3}(n$), $...$${}$은(는) 대역폭이 B W ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\mathrm{B}}$ W ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle {W\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, .${\displaystyle }$.$${\$displaystyle {\rm {BW_{1},BW_{2},BW_{3}$인 밴드패스 필터 집합을 통해 생성될$$ 수 있다.$}}}$과(와) $중심{\displaystyle {}_{}}$ 주파수 f ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. ${\displaystyle f_{c1},f_{c2},f_{c3$으). 멀티레이트 필터 뱅크는 단일 입력 신호를 사용한 다음 필터링 및 하위 샘플링으로 여러 개의 신호 출력을 생성한다. 입력 신호를 둘 이상의 신호로 분할하기 위해 분석-합성 시스템을 사용할 수 있다.

$신호$는 4개의 필터 ${\displaystyle H}$k ( z ) ${\displaystyle H_{k}(z)$의 도움으로 k =0,1,2,3을 동일한 대역폭의 4개 대역(분석 뱅크에서)으로 분할한 다음 각 하위 신호는 4배수로 소멸된다. 각 대역의 신호를 나누어 각 대역에서 우리는 서로 다른 신호 특성을 가질 것이다.

합성 섹션에서 필터는 원래 신호를 재구성한다. 먼저 처리 장치의 출력에서 4개의 서브 시그널을 4의 인수로 상향표본한 다음 k = 0,1,2,${\displaystyle 3}$에 대해 4개의 합성 $필터{\displaystyle {}_{}}$ F ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle }$z ) ${\displaystyle F_{k}(z)}$로 필터링한다. 마지막으로 이 4개의 필터의 출력이 추가된다.

다차원 필터 뱅크

다차원 필터링, 다운샘플링, 업샘플링은 다차원 시스템과 필터 뱅크의 주요 부분이다.

완전한 필터 뱅크는 분석과 합성 측면으로 구성된다. 분석 필터 뱅크는 입력 신호를 주파수 스펙트럼이 다른 여러 하위 대역으로 나눈다. 합성 부분은 다른 서브밴드 신호를 재조립하고 재구성된 신호를 생성한다. 기본적인 건물 블록 중 두 개는 디시메이터와 익스팬더다. 예를 들어, 입력은 각각 쐐기 모양의 주파수 영역 중 하나를 포함하는 4개의 방향 하위 대역으로 나뉜다. 1D 시스템에서 M-폴드 디시메이터는 M의 배수인 샘플만 보관하고 나머지는 폐기한다. 다차원 시스템에서 해독기는 D × D 비정수 정수 행렬이다. 디시메이터에 의해 생성된 격자에 있는 샘플만 고려한다. 일반적으로 사용되는 데시메이터는 Quincunx 데시메이터로 이 데시메이터는 [- ${\$에 의해 정의된 Quincunx 매트릭스에서 생성된다.

Quincunx 매트릭스에 의해 생성된 Quincunx 격자는 그림과 같다; 합성 부분은 분석 부분에 이중이다. 필터 뱅크는 서브밴드 분해 및 재구성의 관점에서 주파수 영역 관점에서 분석할 수 있다. 그러나 마찬가지로 중요한 것은 기하학적 신호 표현에 핵심적인 역할을 하는 필터 뱅크의 힐버트-공간 해석이다. For generic K-channel filter bank, with analysis filters ${\displaystyle \left\{h_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$, synthesis filters ${\displaystyle \left\{g_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K}}$, and sampling matrices ${\displaystyle \left$$\{M_{k}[n]\right\}_{k=1}^{K$ 분석측에서 $\ell {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} ^{d})$에 벡터를 다음과 같이$$ 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\phi k}_{}}$, m${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle n]\stackrel{}{}}$ = ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{d}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{}}}$ f ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{h}}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ [${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$m - ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}${\$displaystyle \varphi _{k,m}{\rm$ {def$}{\rm{def}}}{=}}^{*}[M_{k}m-n$

각 인덱스에 두 파라미터: 1${\displaystyle \mathrm{parameters}}$ k : $K{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq K}$ 및$$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\$m\$in$ \mathbf ${Z} ^{2$

Similarly, for the synthesis filters ${\displaystyle g_{k}[n]}$ we can define ${\displaystyle \psi _{k,m}[n]{\stackrel {\rm {def}}{=}}g_{k}^{*}[M_{k}m-n]}$.

분석/합성 측면의 정의를 고려하여 c ${\displaystyle k_{}}$[ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle =}$ x${\displaystyle }$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ,${\displaystyle {\phi }_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$, ${\displaystyle m}$ [${\displaystyle {}_{}]}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle c_{k}[m]=\langle x[n],\varphi _{k,m}[n]\$angle $}$ 및 재구성$$ 부분에 대해 다음을 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\hat {x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \mathbf {Z} ^{2}}c_{k}[m]\psi _{k,m}[n]}$.

즉, 분석 필터 뱅크는 입력 신호의 내부 생산물과 분석 세트로부터 벡터를 계산한다. 더욱이 합성 집합의 벡터 조합에서 재구성된 신호와 계산된 내부 생산물의 조합 계수, 즉 다음과 같은 의미를 갖는다.

${\displaystyle {\x}}[n]=\sum _{1\leq k\leq K,m\in \m\in \mathbf {Z}^{2}}\langle x[n],\varphi _{k,m]\ranglepsi _{k,m},n]}$

분해와 그에 따른 재구성에 손실이 없다면 필터뱅크를 완벽한 재구축이라고 한다. ($이{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ x${\displaystyle }$[ n ${\displaystyle ]}$= x${\displaystyle \stackrel{}{}}$[ ${\displaystyle \stackrel{}{n}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{]}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$^[7] 그림은 N 채널이 있는 일반 다차원 필터 뱅크와 공통 샘플링 매트릭스 M을 보여준다. 분석 파트는 입력 $신호{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$[${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle x[n]}$을(를) N 여과 및 다운샘플링 ${\displaystyle \mathrm{출력}}$ y j [${\displaystyle {}_{}],}$ ${\displaystyle y_{j}[n],}$ $j$${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$. ,${\displaystyle N}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle j=0, ..., N-1}$로 변환한다$.$ 합성 부분은 업샘플링과 필터링을 $통해$ y ${\displaystyle j_{}}$[ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle y_{j}[n]}$로부터 원래 신호를 복구한다. 이러한 종류의 설정은 서브밴드 코딩, 멀티채널 획득, 이산파울렛 변환과 같은 많은 어플리케이션에서 사용된다.

완벽한 재구성 필터 뱅크

We can use polyphase representation, so input signal ${\displaystyle x[n]}$ can be represented by a vector of its polyphase components ${\displaystyle x(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}(X_{0}(z),...,X_{ M -1}(z))^{T}}$. Denote ${\displaystyle y(z)\stackrel{}{=}}$$displaystyle$
$따라서{\displaystyle }$ y (${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$= H (${\displaystyle z}$ )${\displaystyle x}$ ( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle x}$ $(\displaystyle y(z)=H(z)x(z)}$가 있을 것이다$.$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Hi}}_{}}$, j${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle z}$${\displaystyle }$) ${\$$displaystyle H_{i,$$j}($$z)$는 필터 $H{\displaystyle {}_{}}$ $($z${\displaystyle }$)의 j번째 다상 성분을 나타낸다$$$.$

Similarly, for the output signal we would have ${\displaystyle {\hat {x}}(z)=G(z)y(z)}$, where ${\displaystyle {\hat {x}}(z){\stackrel {\rm {def}}{=}}({\hat {X}}_{0}(z),...,{\hat {X}}_{ M -1}(z$$))^{T$ 또 G는 ${\displaystyle {Gi}_{}}$, ${\displaystyle j{}_{}}$( z${\displaystyle }$) ${\displaystyle G_{i,j}(z)}$가 j번째 합성 필터 Gj(z)의 ith 다상 성분을 나타내는$$ 행렬이다.

The filter bank has perfect reconstruction if ${\displaystyle x(z)={\hat {x}}(z)}$ for any input, or equivalently ${\displaystyle I_{ M }=G(z)H(z)}$ which means that G(z) is a left inverse of H(z).

다차원 필터 설계

1-D 필터 뱅크는 오늘까지 잘 개발되었다. 그러나 이미지, 비디오, 3D 사운드, 레이더, 음파나 같은 많은 신호는 다차원적이라 다차원 필터 뱅크의 설계가 필요하다.

통신 기술의 빠른 발전으로 신호 처리 시스템은 처리, 전송, 수신 중에 데이터를 저장할 수 있는 공간이 더 필요하다. 처리할 데이터를 줄이고, 스토리지를 절약하고, 복잡성을 줄이기 위해, 이러한 목표를 달성하기 위해 다항 샘플링 기법이 도입되었다. 필터 뱅크는 영상 부호화, 음성 부호화, 레이더 등 다양한 영역에서 사용할 수 있다.

많은 1D 필터 문제가 잘 연구되었고 연구원들은 많은 1D 필터 뱅크 설계 접근법을 제안했다. 그러나 여전히 해결해야 할 다차원 필터 뱅크 설계 문제가 많다.^[8] 어떤 방법은 신호를 잘 재구성하지 못할 수 있으며, 어떤 방법은 복잡하고 실행하기 어렵다.

다차원 필터 뱅크를 설계하는 가장 간단한 방법은 소멸 행렬이 대각선이고 데이터가 각 차원에서 별도로 처리되는 트리 구조의 형태로 1D 필터 뱅크를 계단식으로 배열하는 것이다. 그러한 시스템을 분리 가능한 시스템이라고 한다. 그러나 필터 뱅크에 대한 지원 영역은 분리할 수 없을 수 있다. 그럴 경우 필터 뱅크의 설계는 복잡해진다. 대부분의 경우 우리는 분리할 수 없는 시스템을 다룬다.

필터 뱅크는 분석 단계와 합성 단계로 구성된다. 각 단계는 병렬로 필터 세트로 구성된다. 필터 뱅크 설계는 분석 및 합성 단계에서 필터를 설계하는 것이다. 분석 필터는 응용 프로그램 요건에 따라 신호를 겹치거나 겹치지 않는 하위 대역으로 나눈다. 합성 필터는 이러한 필터의 출력이 함께 결합될 때 하위 대역에서 입력 신호를 다시 재구성하도록 설계되어야 한다. 처리는 일반적으로 분석 단계 이후에 수행된다. 이러한 필터 뱅크는 무한충동반응(IIIR) 또는 유한충동반응(FIR)으로 설계할 수 있다. 데이터 속도를 줄이기 위해 다운샘플링과 업샘플링을 각각 분석과 합성 단계에서 실시한다.

기존 접근 방식

아래는 다차원 필터 뱅크 설계에 대한 몇 가지 접근법이다. 자세한 내용은 원본 참조를 참조하십시오.

다차원 완전 재구축 필터 뱅크

분할된 신호를 원래 신호로 다시 재구성할 필요가 있을 때에는 완벽한 재구축(PR) 필터 뱅크를 사용할 수 있다.

H(z)를 필터의 전송 기능이 되도록 한다. 필터의 크기는 모든 차원에 해당하는 다항식의 순서로 정의된다. 다항식의 대칭 또는 반대칭은 해당 필터의 선형 위상 특성을 결정하며 그 크기와 관련이 있다. 1D 사례와 마찬가지로 2채널 필터 뱅크의 앨리어싱 용어 A(z)와 전송 함수 T(z)는 다음과 같다.^[9]

A(z)=1/2(H₀(-z) F₀(z)+H₁(-z) F₁(z); T(z)=1/2(H₀(z) F₀(z)+H₁(z) F₁(z); 여기서 H와₀ H는₁ 분해 필터, F와₀ F는₁ 재구성 필터다.

입력 신호는 별칭 항이 취소되고 T(z)가 단항과 같을 경우 완벽하게 재구성할 수 있다. 따라서 필요한 조건은 T'(z)가 일반적으로 대칭이며 홀수 기준 크기라는 것이다.

선형 위상 PR 필터는 이미지 처리에 매우 유용하다. 이 2채널 필터 뱅크는 비교적 구현이 용이하다. 그러나 때때로 두 개의 채널이 충분하지 않다. 2채널 필터 뱅크는 다중 채널 필터 뱅크를 생성하기 위해 계단식으로 설치할 수 있다.

다차원 방향 필터 뱅크 및 지표면

M차원 방향 필터 뱅크(MDFB)는 단순하고 효율적인 나무 구조로 임의의 M차원 신호의 방향 분해를 달성할 수 있는 필터 뱅크 계열이다. 그것은 방향 분해, 효율적인 나무 구조, 각질 분해능, 완벽한 재건과 같은 많은 독특한 특성을 가지고 있다. 일반적인 M-차원 사례에서 MDFB의 이상적인 주파수 지원은 하이퍼큐브 기반 하이퍼피라미드다. MDFB에 대한 첫 번째 분해 수준은 N-채널 미추정 필터 뱅크에 의해 달성되며, N-채널의 구성요소 필터는 각각₁ w,...,w_M 축에 맞춰 정렬된 M-D " 모래시계" 모양의 필터다. 그 후, 입력 신호는 일련의 2-D 반복적으로 재샘플링된 체커보드 필터 뱅크 IRC_li^(Li)(i=2,3, ..., M)에 의해 추가로 분해된다. 여기서 IRC는 치수 쌍(n₁,n_i)으로 대표되는 입력 신호의 2-D 슬라이스에서 작동하며_li^(Li), 위첨자(Li)는 ih 레벨 필터 뱅크의 분해 수준을 의미한다. 2단계부터 각 출력 채널에 IRC 필터 뱅크를 이전 레벨부터 부착하여 전체 필터는 총 2개의^{(L₁+...+L_N)} 출력 채널로 구성됨을 참고하십시오.^[10]

다차원 과표본 필터 뱅크

과표본 필터 뱅크는 분석 단계에서 출력 샘플 수가 입력 샘플 수보다 큰 다중 필터 뱅크다. 그것은 강력한 응용을 위해 제안되었다. 과표본 필터 뱅크의 특정 등급은 다운샘플링 또는 업샘플링이 없는 비표본 필터 뱅크다. 과표본 필터 뱅크의 완벽한 재구성 조건은 다상 영역의 행렬 역문제로 명시될 수 있다.^[11]

IIR 과표본 필터 뱅크의 경우, 제어 이론의 맥락에서 Wallovich와^[12] Kailath에서 완벽한 재구성이 연구되었다.^[13] FER 과표본 필터 뱅크의 경우 1-D와 M-D.FER 필터는 구현이 용이하기 때문에 더 인기가 있다. 1-D 과표본된 FIR 필터 뱅크의 경우 유클리드 알고리즘은 행렬 역문제의 핵심 역할을 한다.^[14] 그러나 다차원(MD) 필터에 대해서는 유클리드 알고리즘이 실패한다. MD 필터의 경우 FIR 표현을 다항식 표현으로 변환할 수 있다.^[15] 그리고 대수 기하학 및 그뢰브너 기지를 사용하여 다차원 과표본 필터 뱅크의 골격과 재구성 조건을 얻는다.^[11]

다차원 비복사 FIR 필터 뱅크

비흡수 필터 뱅크는 다운샘플링 또는 업샘플링이 없는 필터 뱅크가 특히 과흡수된다. 비복제 FIR 필터 뱅크의 완벽한 재구성 조건은 벡터 역 문제로 이어진다: 분석 필터${\displaystyle }${ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{H_{1},...,$$H_{N}\}}$과(와) FIR이 주어지며$$, 목표는 만족스러운$$ FIR 합성 필터 세트$\{{\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . ${\displaystyle {GN}_{}}$}{\$displaystyle$\{$G_{$1},$G_{N}\}$을(를) 찾는 것이다.^[11]

그뢰브너 베이스 사용

다차원 필터 뱅크는 다변량 합리 매트릭스로 대표할 수 있기 때문에 이 방법은 다차원 필터 뱅크를 다루는 데 사용할 수 있는 매우 효과적인 도구다.^[15]

Charo에서는 다변량 다항 행렬-요인화 알고리즘을 도입하여 논의한다.^[15] 가장 흔한 문제는 완벽한 재건을 위한 다차원 필터 뱅크다. 이 논문은 선형상이라는 제약조건을 만족시키는 이 목표를 달성하기 위한 방법에 대해 논한다.

논문의 설명에 따르면, 인자화에 있어서의 몇 가지 새로운 결과가 논의되어 다차원 선형상완전재구축 유한임팩트 대응 필터 뱅크의 문제에 적용되고 있다. 그뢰브너 기지의 기본 개념은 아담스에 제시되어 있다.^[16]

다변량 행렬 인자화에 기초한 이 접근방식은 다양한 영역에서 사용될 수 있다. 다항 이상과 모듈의 알고리즘 이론을 수정하여 다차원 신호의 처리, 압축, 전송 및 디코딩 문제를 해결할 수 있다.

The general multidimensional filter bank (Figure 7) can be represented by a pair of analysis and synthesis polyphase matrices ${\displaystyle H(z)}$ and ${\displaystyle G(z)}$ of size ${\displaystyle N\times M}$ and ${\displaystyle M\times N}$, where N is the number of channels and ${\displaystyle M\stackrel{}{=}}$${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{d}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{e}}}$ f ${\displaystyle M\stackrel{}{}}$ $displaystyle M{\stackrel {\rm{def}{=}M$ }은$$ 샘플링 매트릭스 결정요인의 절대값이다$.$ 또한 $H{\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle H(z)}$ 및$$ $G{\displaystyle (z)}$ ${\displaystyle G(z)}$은 분석 및 합성 필터의 다상 성분의 z 변환이다$$. 따라서 다변량 Laurent 다항식(다변량 Laurent 다항식)으로, 다음과 같은 일반적인 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle F(z)=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k]z^{k}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{d}}f[k_{1},...,k_{d}]z_{1}^{k_{1}}...$$z_{d}^{k_{d}}}$.

완벽한 재구성 필터 뱅크를 설계하려면 Laurent 다항식 행렬 방정식을 해결해야 한다.

$displaystyle G(z)H(z)=$$I_{M$ $\}\}$ .

다변량 다항식이 있는 다차원 사례에서는 그뢰브너 베이스의 이론과 알고리즘을 사용할 필요가 있다.^[17]

그뢰브너 베이스는 완벽한 재구성 다차원 필터 뱅크 특성화에 사용할 수 있지만, 우선 다항식 행렬에서 Laurent 다항식 행렬로 확장해야 한다.^[18][19]

Gröbner-basis 계산은 다항 ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$ 방정식 G${\displaystyle }$( ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle H}$(${\displaystyle }$z )${\displaystyle }$= ${\displaystyle I_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $displaystyle G(z)H(z)=$를 풀기 위한 가우스 제거로서 동등하게 간주할 수 있다.$I_{$M $\}\}.$ 다항 벡터 세트가 있으면

${\displaystyle \mathrm {module} \left\{h_{1}{1}(z), ..., h_{N}\right\}{\rm {def}{def}}}}}{c_{1}h_{1}(z)+...+c_{N}(z)h_{N}(z)\}}$

여기서 c ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle z}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$. . c ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}z}$) ${\displaystyle c_{1}(z$), $...,c_{N}(z)}$은 다항식이다.

이 모듈은 선형 대수학에서 벡터 집합의 범위와 유사하다. 그뢰브너 베이스 이론은 모듈이 다항식의 주어진 동력제품 순서에 대해 독특한 감소된 그뢰브너 기초를 가지고 있음을 암시한다.

If we define the Gröbner basis as ${\displaystyle \left\{b_{1}(z),...,b_{N}(z)\right\}}$, it can be obtained from ${\displaystyle \left\{h_{1}(z),...,h_{N}(z)\right\}}$ by a finite sequence of reduction (division) steps.

역 엔지니어링을 사용하여 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h_$${j$$}($$z$)을$$ 통해$$ 원래 벡터 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle }$)$${\$displaystyle$ $h_{$j}(z$)$의 관점에서$$ 기본 $벡터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}z}$) ${\displaystyle W_{ij}(z)$를 다음과$$ 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle b_{i}(z)=\sum _{j=1}^{{n}W_{ij}h_{j}(z),i=1,...,K}$

매핑 기반 다차원 필터 뱅크

주파수 반응이 좋은 필터를 설계하는 것은 그뢰브너 베이스 접근법을 통해 어려운 일이다.
빈도 반응이 좋은 비분리 다차원 필터 뱅크를 설계하기 위해 일반적으로 사용되는 매핑 기반 설계.^[20][21]

매핑 접근방식은 필터의 종류에 일정한 제한이 있지만 리프팅/사다리 구조를 통한 효율적인 구현과 같은 많은 중요한 이점을 제공한다. 여기서 샘플링 매트릭스와 함께 2D로 된 2채널 필터 뱅크의 예를 제공한다.
D1컵[2001]{\displaystyle D_{1}[{\begin{배열}{cc}2&, 0\\0&, 1\end{배열}}\right]}우리는}.( 다른 두 filte습니다 채널 필터의 이상적인 주파수 반응의 여러 가능성 있는 선택 H 0(ξ){\displaystyle H_{0}(\xi)}G0(ξ){\displaystyle G_{0}(\xi)을 것이다.개발 ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\xi }$) ${\displaystyle H_{1}(\xi )}$ 및$$ $G{\displaystyle {}_{}}$ 1 (${\displaystyle 1{}_{}}${\$displaystyle G_{1}(\xi )}$은(는) 보완 영역에서 지원된다$$.)
그림의 모든 주파수 영역은 D ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에 의해 확장된 직사각형 격자로 비판적으로 샘플링할 수 있다$.$
따라서 필터 뱅크가 FIR 필터로 완벽한 재구성을 달성한다고 상상해 보십시오. 그런 다음 다상 영역 특성화에서 필터 H1(z)과 G1(z)이 각각 H0(z)과 G0(z)에 의해 완전히 지정되는 것을 따른다. 따라서 원하는 주파수 응답을 가지고 다상 영역 조건을 만족시키는 H0(x)과 G0(z)을 설계할 필요가 있다. ${\displaystyle H_{0}(z_{1},z_{2})$$G_{0}(z_{1},z_{2})+$$H_{0}(-z_{1},z_{2})$$G_{0}(-z_{1},z_{2}=2}$
결과 이상의 것을 얻기 위해 사용할 수 있는 다른 매핑 기법이 있다.^[22]

주파수 영역의 필터 뱅크 설계

완벽한 재구성이 필요하지 않을 때는 FIR 필터를 사용하는 대신 주파수 영역에서 작업함으로써 설계 문제를 단순화할 수 있다.^[23][24]
주파수 영역 방법은 비흡수 필터 뱅크(읽기)의 설계에 국한되지 않는다는 점에 유의하십시오.

직접 주파수 영역 최적화

기존의 2채널 필터 뱅크 설계 방법 중 다수는 가변 기법의 변형을 기반으로 한다. 예를 들어, McClellan 변환을 사용하여 1-D 2채널 필터 뱅크를 설계할 수 있다. 2-D 필터 뱅크는 1-D 프로토타입과 비슷한 속성이 많지만 2채널 이상 케이스로 확장하기는 어렵다.^[26]

응우옌에서는 저자들이 주파수 영역에서 직접 최적화에 의한 다차원 필터 뱅크의 설계에 대해 이야기한다.^[26] 여기서 제안하는 방법은 주로 M채널 2D 필터 뱅크 설계에 초점이 맞춰져 있다. 이 방법은 주파수 지원 구성에 대해 유연하다. 주파수 영역의 최적화에 의해 설계된 2D 필터 뱅크가 Wei와^[27] Lu에서 사용되어 왔다.^[28] Nguyen의 논문에서 제안된 방법은 2채널 2D 필터 뱅크 설계에 국한되지 않으며, 접근방식은 중요한 서브샘플링 매트릭스를 가진 M채널 필터 뱅크에 일반화된다.^[26] 논문 구현에 따라 최대 8채널 2D 필터 뱅크 설계 달성에 활용할 수 있다.

(6)역자켓 매트릭스^[29]

이씨의 1999년 논문에서 저자들은 리버스 재킷 매트릭스를 이용한 다차원 필터 뱅크 디자인에 대해 이야기한다.^[29] H를 순서 n의 Hadamard 행렬로 하자, H의 전치는 그것의 역행과 밀접한 관계가 있다. 올바른 공식: $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ H ${\displaystyle T^{}}$= I ${\displaystyle n_{}}$ ${\$ 여기서 나는_n n×n ID 매트릭스이고 H는^T H의 전치형이다. 1999년 논문에서 저자들은 Hadamard 행렬과 가중치 있는 Hadamard 행렬을 사용하여 역 재킷 행렬[RJ]_N을 일반화했다.^[29][30][31]

이 논문에서 저자들은 128개의 탭이 있는 FIR 필터를 기본 필터로 사용하고 소멸 계수는 RJ 매트릭스에 대해 연산할 것을 제안했다. 그들은 다른 매개변수에 기초하여 시뮬레이션을 했고 낮은 소멸 계수에서 좋은 품질의 성과를 달성했다.

방향 필터 뱅크

뱀버거와 스미스는 2D 방향 필터 뱅크(DFB)를 제안했다.^[32] DFB는 l-레벨 트리 구조 분해로 효율적으로 구현되며, 쐐기 모양의 주파수 분할이 ${\displaystyle {있는}^{}}$ 2 l ${\$ 2$^{l}$ 서브밴드로$$ 이어진다(그림 참조). DFB의 원래 구조는 입력 신호를 조절하고 다이아몬드 모양의 필터를 사용하는 것을 포함한다. 더욱이 원하는 주파수 분할을 얻기 위해서는 복잡한 트리 확장 규칙을 따라야 한다.^[33] 결과적으로, 결과 서브밴드의 주파수 영역은 채널 지수에 기초하여 그림 9와 같이 단순한 순서를 따르지 않는다.

DFB의 첫 번째 장점은 중복 변형이 아닌 완벽한 재구성을 제공한다는 점이다. DFB의 또 다른 장점은 방향 선택성과 효율적인 구조다. 이러한 이점은 DFB를 많은 신호 및 이미지 처리 용도에 적합한 접근법으로 만든다. (예: 라플라시아 피라미드, 윤곽선 구성,^[34] 희박한 영상 표현, 의료 영상 등)^[35]

방향 필터 뱅크는 더 높은 차원으로 개발될 수 있다. 3-D로 주파수 구획을 달성할 수 있다.

필터-뱅크 송수신기

필터 뱅크는 광대역 무선 통신에서 물리 계층의 중요한 요소로서, 문제는 복수의 채널의 효율적인 베이스밴드 처리다. 필터 뱅크 기반의 송수신기 아키텍처는 연속성이 없는 채널의 경우 이전 계획에 의해 관찰된 확장성 및 효율성 문제를 제거한다. 필터 뱅크에 의한 성능 저하를 줄이려면 적절한 필터 설계가 필요하다. 보편적으로 적용할 수 있는 설계를 얻기 위해 파형 형식, 채널 통계 및 코딩/디코딩 방식에 대해 가벼운 가정을 할 수 있다. 경험적 접근법과 최적 설계 방법론을 모두 사용할 수 있으며, 송수신기가 상당히 큰 오버샘플링 계수를 가지고 작동한다면 낮은 복잡도로 우수한 성능이 가능하다. 실용적 적용은 OFDM 전송으로, 약간의 추가 복잡성과 함께 매우 우수한 성능을 제공한다.^[36]

메모들

참조

추가 읽기

• Harris, Fredric J. (2004). Multirate signal processing for communication systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. ISBN 0-13-146511-2.