빠른 웨이브릿 변환

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빠른 파장 변환은 시간영역의 파형이나 신호를 작은 유한파, 즉 파장의 직교 기준에 기초한 계수 시퀀스로 변환하기 위해 고안된 수학 알고리즘이다.변환은 시간 영역이 공간 영역으로 대체되는 영상과 같은 다차원 신호로 쉽게 확장될 수 있다.이 알고리즘은 1989년 스테판 말랏에 의해 도입되었다.^[1]

그것은 이론적 기초로서 정밀하게 생성된 직교 다층 분석(MRA)의 장치를 가지고 있다.거기서 주어진 조건에서는 단위 간격 당 2의^J 샘플링 속도로 샘플링 스케일 ${\displaystyle J_{}}$를 선택하고, 스칼라 제품을 계산하여 이론적으로 주어진 신호 f를 V $J{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 공간에 투영한다$.$

${\displaystyle s_{n}^{{n}^{(J)}:=2^{J}\langle f(t),\phi(2^{J}t-n)\angle ,}$

여기서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi }$은(는) 선택한 파월렛 변환의 스케일링 함수로서, 실제로 신호가 매우 과대 샘플링된 조건에서 적절한 샘플링 절차에 의해 수행된다.

${\displaystyle P_{J}[f](x):=\sum _{n\in \mathb {Z}s_{n}^{(J)}\,\phi(2^{J}x-n)}$

직교 투영 또는 $V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle J_{}}$ ${\$의 원래 신호에 대한 좋은 근사치$.$

MRA는 스케일링 순서에 따라 특성이 결정된다.

${\displaystyle a=(a_{-N},\dots ,a_{0},\dots ,a_{N})}$ or, as Z-transform, ${\displaystyle a(z)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}z^{-n}}$

그리고 그 웨이블렛 시퀀스

${\displaystyle b=(b_{-N},\dots ,b_{0},\dots ,b_{N})}$ or ${\displaystyle b(z)=\sum _{n=-N}^{N}b_{n}z^{-n}}$

(일부 계수는 0일 수 있음).이 경우 해당 스칼라 제품의 통합에 근사치 없이 파장 계수 ${\displaystyle {dn}_{}^{}}$(${\displaystyle k_{}^{}}$) ${\$ 적어도 어떤 범위 k=M, ...,J-1을 계산할 수 있다.대신, 콘볼루션과 소멸 연산자의 도움을 받아 첫 번째 근사치 $s{\displaystyle {}^{}}$($){\$ s$^{(J)}}$로부터 직접 계수를 계산할 수 있다$.$

포워드 DWT

이산형 파장 변환(DWT)의 경우 계수 시퀀스 $s{\displaystyle {}^{(J}}$ )${\$부터 k = J - 1에서 일부 M < J,

${\displaystyle s_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}a_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}$ or ${\displaystyle s^{(k)}(z):=(\downarrow 2)(a^{*}(z)\cdot s^{(k+1)}(z))}$

그리고

${\displaystyle d_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}b_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}$ or ${\displaystyle d^{(k)}(z):=(\downarrow 2)(b^{*}(z)\cdot s^{(k+1)}(z))}$,

${\displaystyle k\mathbb{}}$=J-1,J-2,...,M 및 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$에 대한 .$$Z 변환 표기법:

• The downsampling operator ${\displaystyle (\downarrow 2)}$ reduces an infinite sequence, given by its Z-transform, which is simply a Laurent series, to the sequence of the coefficients with even indices, ${\displaystyle (\downarrow 2)(c(z))=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{2k}z^{$$-k$
• The starred Laurent-polynomial ${\displaystyle a^{*}(z)}$ denotes the adjoint filter, it has time-reversed adjoint coefficients, ${\displaystyle a^{*}(z)=\sum _{n=-N}^{N}a_{-n}^{*}z^{-n}}$. (The adjoint of a real number being the number itself, of a complex number its 실제 행렬의 ts ts transposed matrix를 은둔자 부호인 복잡한 행렬의 ts)
• 곱셈은 다항식 곱셈으로, 계수 시퀀스의 콘볼루션에 해당한다.

그 뒤를 잇는다.

${\displaystyle P_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathb {Z}s_{n}^{(k)\,\phi(2^{k}x-n)}$

$원래{\displaystyle {}_{}}$ 신호 f 또는 적어도 첫 ${\displaystyle {번째}_{}}$ $근사치{\displaystyle {}_{}}$ P J${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle ]}$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{J}[f](x)}$의 직교 투영$,$ 즉 단위 간격당 샘플링 속도가 2인^k 아공간 V ${\displaystyle k_{}}$ ${\$첫 번째 근사치와의 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle P_{J}[f](x)=$$P_{k}[f](x)+$$D_{k}[f](x)+\dots +D_{J-1}[f](x$

여기서 차이 또는 상세 신호는 다음과 같이 상세 계수로 계산된다.

${\displaystyle D_{k}[f](x):$$=\sum _{n\in \mathb {Z} }d_{n}^{(k)\,\psi(2^{k}x-n$

wavelet 변환의 어미 파장을 나타내는$$ $\psi {\displaystyle }${\$displaystyle \psi }$과(와) 함께.

역 DWT

일부 M<J에 대한$$ 계수 $시퀀스{\displaystyle {}^{}}$ s${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle M^{}}$)$${\$displaystyle$ s$^{(M)}$와 모든 차이 $시퀀스{\displaystyle {}^{}}$ d${\displaystyle {(k}^{}}$)$${\$displaystyle d^{(k$ k=M, ...,J-1을 고려하여 반복적으로 계산한다.

${\$$=\sum _{k=-N}^{N}a_{k}s_{2n-k}^{(k)}+\sum _{k=-N}^{N}b_{k}d_{2n-k}^{(k)}}$ or ${\displaystyle s^{(k+1)}(z)=a(z)\cdot (\uparrow 2)(s^{(k)}(z))+b(z)\cdot (\uparrow 2)(d^{(k)}(z))}$

${\displaystyle k\mathbb{}}$=J-1,J-2,...,M 및 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ Z ${\$에 대한 .$$Z 변환 표기법:

• 업샘플링 연산자$({\displaystyle }$ (${\displaystyle 2}$) ${\디스플레이$ 스타일$(\uparrow 2)}$은 지정된 시퀀스 내에 0으로 채워진 구멍을 만든다$$.즉, 결과 시퀀스의 매초 원소가 주어진 시퀀스의 원소가 되며, 다른 모든 원소는 0 또는${\displaystyle }$( (${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$(${\displaystyle c)}$:= ${\displaystyle =}$ Z${\displaystyle \underset{}{c}}$ n ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{2n}}^{}}$ ${\$이 선형 연산자는 힐베르트 공간 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$2 (${\displaystyle Z\mathbb{}}$ , ${\displaystyle R\mathbb{}}$)$${\$displaystyle \ell$^{2$}(\mathb {Z},\mathb {R}$ )에서 다운샘플링 연산자 $({\displaystyle 2}$2 )$${\$displaystyle$(\$downarrow$ 2$)}$에 대한 부호 입니다$.$

참고 항목

• 리프팅 방식
• 고속 푸리에 변환

참조

• S.G. Mallat "다중화 신호 분해를 위한 이론:Wavelet 표현" 패턴 분석 및 기계 인텔리전스에 관한 IEEE 거래, vol. 2, no. 7. 1989년 7월.
• A.N. Akansu Multiersless 차최적 PR-QMF 설계 Proc.SPIE 1818, Visual Communications and Image Processing, 1992년 11월 페이지 723
• A.N. Akansu Multiersless 2-밴드 완벽한 재구성 4중 미러 필터(PR-QMF) 뱅크스 US 특허 5,420,891, 1995
• A.N. Akansu Multipierless PR 4중 미러 필터(하위 대역 이미지 코딩 IEEE 트랜스용)이미지 처리, 페이지 1359, 1996년 9월
• M.J. Mohlenkamp, M.C. Peryra Wavelets, Their Friends 및 그들이 당신을 위해 할 수 있는 일(2008 EMS) 페이지 38
• B.B. 허바드 Wavelet에 따른 세계:제조에서의 수학적 기법에 대한 이야기 (1998 Peters) 페이지 184
• S.G. Mallat A Wavelet Tour of Signal Processing (1999년 학술언론) 페이지 255
• A. Wavelet을 이용한 Teolis 연산 신호 처리(1998 Birkhauser) 페이지 116
• Y. Nievergelt Wavelet Made Easy(1999 Springer) 페이지 95

추가 읽기

G. Beylkin, R. Coifman, V. Rokhlin, "빠른 물결표 변환 및 수치 알고리즘" Comm. 순수 어플리케이션. 수학, 44 페이지 141–183 doi:10.1002/cpa.3160440202 (이 기사는 2400번 이상 인용되었다.)