레전드르 웨이블렛

기능 분석에서, 레전드르 다항식에서 파생된 압축적으로 지원되는 파형을 레전드르 파장 또는 구형 고조파 파장이라고 한다.^[1]범례 함수는 구형 좌표계가 적절한 광범위한 응용 프로그램을 가지고 있다.^[2]^[3]^[4]많은 파도와 마찬가지로 이러한 조화 구형 파장을 설명하는 훌륭한 분석 공식은 없다.Legendre 멀티솔루션 분석과 관련된 저역 통과 필터는 유한충동 응답(FIR) 필터다.

대부분의 애플리케이션에서 FIR 필터와 관련된 웨이블렛이 일반적으로 선호된다.^[3]또한 Legendre 필터는 선형 위상 FIR(즉, 선형 위상 필터와 관련된 다중 솔루션 분석)이라는 점이 매력적이다.이 웨이블렛은 MATLAB(Wavelet Toolbox)에 구현되었다.비록 소형으로 지원되는 웨이브렛이지만, 레그드N은 직교하지 않는다(^[5]그러나 N = 1).

범례 다중 변환 필터

관련 범례 다항식은 구형 고조파에서 라플레이스 방정식의 모든 분리에 공통적인 종방향 부분이며, 구면 극좌표에서 라플레이스 방정식의 모든 분리에 공통적이다.^[2]용액의 방사형 부분은 전위마다 다르지만 고조파는 항상 같으며 구형 대칭의 결과물이다.구형 고조파 P $P_{n}(z)$ ( $P_{n}(z)$ ) $P_{n}(z)$ 은 $P_{n}(z)$ (는) 범례 $2^{nd}$ $2^{nd}$ ${\$ ^{nd $}}}$ - 순서 $2^{nd}$ 미분 방정식, n 정수:

\left(1-z^{2}\오른쪽){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}:2z{dy}{dz}}+n(n+1)y=0.

$P_{n}(\cos(\theta ))$ $P_{n}(\cos(\theta ))$ ( $P_{n}(\cos(\theta ))$ $P_{n}(\cos(\theta ))$ ( $P_{n}(\cos(\theta ))$ ) $P_{n}(\cos(\theta ))$ 다항식을 $P_{n}(\cos(\theta ))$ 사용하여 멀티솔루션 분석(MRA)의 $H(\omega )$ 스무딩 필터 $H(\omega )$ $H(\omega )$ ) $H(\omega )$ 을(를) 정의할 수 있다.^[6]Since the appropriate boundary conditions for an MRA are $H(0) =1$ and $H(\pi ) =0$ , the smoothing filter of an MRA can be defined so that the magnitude of the low-pass $H(\omega )$ can be associated to Legendre polynomials $:$ : $\nu =2n+1.$ = $\nu =2n+1.$ + 1 ${\displaystyle \nu$ = $2n+1$ $}$

H_{\nu }(\omega ) =\왼쪽 {\frac {P_{\nu }\왼쪽(\cos \cos \왼쪽)({\frac {\omega}{2}}\오른쪽)}}}{P_{\nu }\cos(0)}}\오른쪽

Legendre MRA에 대한 필터 전송 기능의 예시는 그림 1에서 볼 수 있다. $\nu =1,3,5.$ = $\nu =1,3,5.$ , $\nu =1,3,5.$ , $\nu =1,3,5.$ . ${\displaystyle \nu$ = $1,3,5}$ 예상대로 필터 H에 대한 저역 통과 동작이 나타난다 $\nu =1,3,5.$ .- $-\pi <\omega <\pi$ < $-\pi <\omega <\pi$ < $-\pi <\omega <\pi$ ${\displaystyle$ - $\pi <\omega <\pi }}$ 내 0의 수는 레전드르 다항식의 정도와 같다 $-\pi <\omega <\pi$ .따라서 주파수가 있는 사이드 로브의 롤오프는 $\nu$ off {\ $displaystyle \nu }$ 에 의해 쉽게 제어된다 $\nu$

그림 1 - Legendre 멀티솔루션 스무딩 필터에 대한 전송 기능의 크기1, $|H_{\nu }(\omega )|$ , $|H_{\nu }(\omega )|$ 의 $|H_{\nu }(\omega )|$ 필터 H $display$ (Ω ) {\ $displaystyle$ H_ ${\nu$ }(\omega $|H_{\nu }(\omega )|$ ) $}.$

저역-통과 필터 전송 기능은

H_{\nu}(\omega )}=-e^{-j\nu {\frac {\omega -\pi }{2}}P_{\nu }\좌측(\cos \epth({\tfrac {\\}{2}}\오른쪽)}}}

고역 분석 필터 $G_{\nu }(\omega )$ $G_{\nu }(\omega )$ ( $G_{\nu }(\omega )$ ) $G_{\nu }(\omega )$ {\ $displaystyle G_{\nu }}(\omega$ )}의 전송 기능은 다음과 같은 4중 미러 필터 조건에 따라 선택된다 $G_{\nu }(\omega )$ .^[6]^[7]

H_{\nu }(\omega )}=-e^{-j{(\nu -2)}{\frac {\omega }{2}}P_{\nu }\왼쪽(\\tfrac {\}{2}}\오른쪽)\오른쪽)

실제로 $|G_{\nu }(0)|=0$ $|G_{\nu }(0)|=0$ ( 0 $|G_{\nu }(0)|=0$ ) $|G_{\nu }(0)|=0$ = 0 ${\displaystyle G_{\nu }(0) =0},$ $|G_{\nu }(\pi )|=1$ $|G_{\nu }(\pi )|=1$ ( $|G_{\nu }(\pi )|=1$ ) $|G_{\nu }(\pi )|=1$ = $|G_{\nu }(\pi )|=1$ ${\displaystyle G_{\nu }(\pi$ ) $=1$ 예상대로 입니다.

범례 다중 변환 필터 계수

전송 함수 H $H_{\nu }(\omega )$ ( $H_{\nu }(\omega )$ $H_{\nu }(\omega )$ 을(를) 양식에 적절하게 $H_{\nu }(\omega )$ 조정하기 위해 적절한 위상 할당이 수행된다.

H_{\nu }(\omega )={\frac {1}{1}{\sqrt{2}}\}\sum _{k\in Z}h_{k}^{}}}{\nu }e^{-j\omegak}}}}}}}}

필터 계수 $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ { $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ Z ${\$ 은(는) 다음을 통해 주어진다 $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ .

h_{k}^{\nu }=-{\frac {2}}:{2^{2\nu }}{{2k}{\binom {2\nu -2k}{\binom {2\nu -k}{\nu -k}}}}}}}}}}}

여기서 대칭:

{h_{k}^{\nu}^{h_{\nu -k}^{\nu }},

뒤를 잇다레전드르 웨이블렛이 모든 홀수 정수 $\nu$ $\nu +1$ ${\displaystyle \nu$ $\nu +1$ $}$ 을(를) 콤팩트하게 지지할 수 있도록 $H_{n}(\omega )$ $H_{n}(\omega )$ ( $H_{n}(\omega )$ ) ${\displaysty H_{n}(\omega )}}$ 에 0이 아닌 $\nu +1$ 필터 계수가 $\nu +1$ 입니다 $\nu$

표 I - $\nu =1,3,5$ = 1, $\nu =1,3,5$ , $\nu =1,3,5$ ${\displaystyle \nu = 1,$ 3 $,5}$ 에 대한 평활 $Legendre$ FIR 필터 $계수$ (N $N$ {\ $\nu =1,3,5$ displaystyle N $}$ 은(는) 웨이블렛 순서임)

	$\nu =1(N=1)$	$\nu =3(N=2)$	$\nu =5(N=3)$
$h_{0}$	$-{\tfrac {\sqrt{2}}:$	$-5{\tfrac {\sqrt{2}}{16}$	$-63{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$
${\displaystyle h_{1}.$	$-{\tfrac {\sqrt{2}}:$	$-3{\tfrac {\sqrt{2}}{16}$	$-35{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$
$h_{2}$		$-3{\tfrac {\sqrt{2}}{16}$	$-30{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$
$h_{3}$		$-5{\tfrac {\sqrt{2}}{16}$	$-30{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$
$h_{4}$			$-35{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$
$h_{5}$			$-63{\tfrac {\sqrt{2}}{256}$

N.B. 마이너스 신호는 억제할 수 있다.

Legendre wavelet의 MATLAB 구현

Legendre wavelet은 MATLAB wavelet 툴박스에 쉽게 장착할 수 있다.Legendre wavelet 변환, 세부사항 및 필터를 계산할 수 있는 m-파일을 사용할 수 있다(프리웨어).유한 지지 폭 레전드르 계열은 레그드(짧은 이름)로 표시된다.웨이블렛: 'legdN'.regdN 계열의 파라미터 N은 $2N=\nu +1$ = $2N=\nu +1$ + 1 $[\displaystyle 2N=\nu +1}($ MRA 필터 길이)에 따라 발견된다.

범례 파장은 반복 절차(cascade algorithm)에 의해 저역 통과 재구성 필터에서 파생될 수 있다.파장은 소형 지지대를 가지고 있으며 유한 임펄스 반응 AMR 필터(FIR)가 사용된다(표 1).레전드르 가문의 첫 번째 물결은 정확히 잘 알려진 하르 물결개다.그림 2는 점차적으로 파랑의 모양을 닮은 새로운 패턴을 보여주고 있다.

그림 2 - Legendre Wavelet의 모양 $\nu =3$ = 3 ${\displaystyle \nu =3}($ legd2) 각각 계단식 알고리즘의 4번과 8번 반복한 후 파생됨.Legendre Wavelet의 모양 $\nu =5$ = $\nu =5$ ${\displaystyle \nu =5}($ legd3)이 각각 4회, 8회 반복한 후 계단식 알고리즘에 의해 도출되었다.

Legendre wavelet 형상은 MATLAB의 wavemenu 명령을 사용하여 시각화할 수 있다.그림 3은 MATLAB를 사용하여 표시된 레그d8 웨이브를 보여준다.Legendre Polynomials는 윈도우 패밀리와도 연관되어 있다.^[8]

그림 3 - wavemenu 명령을 사용하여 MATLAB를 통해 레그d8 웨이브릿 디스플레이.

범례 웨이브릿 패킷

레전드르 웨이브릿에서 파생된 웨이브릿 패킷(WP) 시스템도 쉽게 달성할 수 있다.그림 5는 레그d2에서 도출된 WP 기능을 보여준다.

그림 5 - Legendre (legd2) Wavelet Packet W 시스템 기능: WP 0 ~ 9

참조

^ 리라 외
^ ^a ^b Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
^ ^a ^b 콜로머와 콜로머
^ 람과 자슬라프스키
^ 헐리와 베텔리
^ ^a ^b 말라트
^ 베터리와 헐리
^ 자스쿨라

참고 문헌 목록

M.M.S. 리라, H.M. 드 올리베이라, M.A. 카발호 주니어, R.M.C.Souza, Compactly Supported Wavelets Legendre 다항식으로부터 파생된 Wavelets: 구형 고조파 Wavelets, In: 회로 및 시스템 애플리케이션에서의 연산 방법, N.E. Mastorakis, I.A. Stahopulos, C.마니코풀로스, G.E. 안토니우, V.M. Mladenov, I.F. 고노스 에드스, WSEAS 언론, 페이지 211–215, 2003.ISBN 960-8052-88-2.ee.ufpe.br에서 이용 가능
A. A. Colomer와 A.A. 이산 레전드르 변환, 디지털 신호 처리, 7, 1997, 페이지 222–228을 사용한 콜로머, 적응형 ECG 데이터 압축.
A.G. 램, A.I. 자슬라프스키, X-Ray Transform, Legendre Transform, and Envelops, J. of Math. 분석 및 적용, 183, 페이지 528–546, 1994.
C. Herley, M. Betterli, Compactly Supported Wavelet Bases 직교화, IEEE 디지털 신호 프로세스 워크숍, 1992년 9월 13-16일자 1.7.1-1.7.2페이지.
S. Mallat, 다중력화 신호분해를 위한 이론:Wavelet Presentation, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1989년 7월 11일 페이지 674–693.
M. 베테르리, C.Hally, Wavelet 및 Filter Banks:이론과 설계, IEEE 트랜스. 음향, 음성 및 신호 처리, 40, 9, 페이지 2207, 1992.
M. Jaskula, 수정된 범례 다항식, IEEE 인스럼 기반 새 Windows 제품군. Measurement Technol. 콘프, 앵커리지, AK, 2002년 5월, 페이지 553–556.

[1] 리라 외

[Gradsh-2] Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.

[Colomer-3] 콜로머와 콜로머

[4] 람과 자슬라프스키

[5] 헐리와 베텔리

[Mallat-6] 말라트

[7] 베터리와 헐리

[8] 자스쿨라

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