데데킨트 합

수학에서 데데킨드 합은 톱니바퀴 함수의 특정 산물의 합이며, 3개의 정수 변수의 함수 D에 의해 주어진다.데데킨드는 데데킨드 에타 함수의 함수 방정식을 표현하기 위해 그들을 소개했다.그들은 그 후 수 이론에서 많은 연구가 되었고, 위상의 몇몇 문제에서 일어났다.데데킨드 합계는 많은 수의 함수 방정식을 가지고 있다; 이 기사는 이것들 중 극히 일부만 열거하고 있다.

리처드 데데킨드가 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)의 논문집 XXVIII 단편 해설에서 데데킨드 합계를 소개했다.

정의

톱니바퀴 함수$({\displaystyle }$)를 정의하십시오${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$) : R${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ )\!).: $\mathbb {R} \rightarrow \mathb {R} }$ as$$.

$(\displaystyle)(\!(x)\!)!={\begin}x-\lfloor x\rfloor -1/2,&#{\mbox{{}}\mathbb {Z} ;\0,&#\mbox{{in \x\in \mathb {Z}.\case}}}}}$

그때 우리는 허락했다.

${\displaystyle D:\mathb {Z}^{2}\time(\mathb {Z} -\{0\})\to \mathb {R}}}$

에 의해 규정되다

${\displaystyle D(a,b;c)=\sum _{n{\bmod{c}}\왼쪽(\!\!)!\왼쪽\frac {an}{c}\오른쪽)\!\!\오른쪽)\왼쪽(\!\!\!\left\frac{bn}{c}\오른쪽)\!\!\right),}$

오른쪽의 조건은 데데킨드 합이다.a=1의 경우, 종종 글을 쓴다.

s(b,c) = D(1,b;c)

단순공식

D는 a와 b에서 대칭이므로

${\displaystyle D(a,b;c)=D(b,a;c),}$

그리고 ()의 기이한 점으로 보아

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),

D(a,b;-c) = D(a,b;c)

처음 두 개의 주장에서 D의 주기성에 의해, 세 번째 주장은 둘 다에 대한 기간의 길이다.

모든 정수 k,l에 대해 D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c),

d가 양의 정수인 경우

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),

D(ad,bd;c) = D(a,b;c), (d,c) = 1인 경우,

D(ad,b;cd) = D(a,b;cd), (d,b) = 1인 경우.

마지막으로 평등하게 이용할 수 있는 증거가 있다.

${\displaystyle \sum _{n{\bmod{c}\왼쪽(\!\!)!\lefts\frac {n+x}{c}\오른쪽)\!\!\오른쪽)=(\!(x)\),\qquad \forall x\in \mathb {R}}$

또한 az = 1 (mod c)은 D(a,b;c) = D(1,bz;c)를 의미한다.

대체 양식

b와 c가 동시적이라면 s(b,c)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle s(b,c)={\frac {-1}{c}\sum _{\omega}{1}{\frac {1}{1}{\frac {1}{1-\b}}}}}{\frac {1}{4c},}}$

여기서 합계는 1 Ω $이외$의 c-루트에 걸쳐 확장된다$.$ 즉$$, ${\displaystyle {\Omega }^{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega$$$$\c}=1}$ 및$$${\displaystyle }\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega \not =1$

b, c > 0이 동일하다면,

${\displaystyle s(b,c)={\frac {1}{4c}\sum _{n=1}^{c-1}\requences \left\frac\frac {\pi nb}{c}\ription \refteight).}$

상호주의 법칙

만약 b와 c가 양의 정수라면,

${\displaystyle s(b,c)+s(c,b)={\frac {1}{1}{12}\좌측{b}}{b}}}{b}}}}{b}}}{b}}}}{\frac {1}{4}}}}.}$

이 항목을 다음으로 다시 쓰는 중

${\displaystyle 12bc\left(s(b,c)+s(c,b)\오른쪽)=b^{2}+c^{2}-3bc+1,}$

그것은 숫자 6cs(b,c)가 정수라는 것을 따른다.

k = (3, c)이면

${\displaystyle 12bc\,s(c,b)=0\mod kc}$

그리고

${\displaystyle 12bc\,s(b,c)=b^{2}+1\mod kc.}$

데데킨드 에타 함수 이론에서 두드러지는 관계는 다음과 같다.q = 3, 5, 7 또는 13으로 하고 n = 24/(q - 1)로 한다.그런 다음 ad - bc = 1(모듈 그룹에 속함)을 가진 a, b, c, d 정수(일부 정수 k > 0에 대해 c = kq)를 정의한다.

${\displaystyle \s(a,c)-{\frac {a+d}{12c}-s(a,k)+{\frac {a+d}{12k}}}}$

그렇다면 1의 Δ는 짝수 정수다.

라데마허의 상호주의 법칙 일반화

한스 라데마허는 데데킨트 합계에 대한 상호주의 법칙의 다음과 같은 일반화를 발견했다.^[1]a,b,c가 쌍으로 짝을 이룬 양의 정수라면,

${\displaystyle D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)={\frac {1}{12}{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}}}}{{115}-{\frac {1}{4}}.}$

참조

추가 읽기

• 뉴욕 스프링거-베를랙의 모듈식 기능과 숫자 이론의 디리클레 시리즈(1990년)의 톰 M. 아포폴.ISBN 0-387-97127-0(3장 참조)
• 마티아스 벡과 시나이 로빈스, 데데킨스 합: 이산 기하학적 관점(2005년 또는 이전)
• 한스 라데마허와 에밀 그로스왈드, 데데킨드 섬, 카루스 수학.모노그래프, 1972.ISBN 0-88385-016-8