쵸우라-셀베르크 공식

수학에서 차우라-셀버그 공식은 상상의 2차 비합리적인 숫자의 데데킨드 에타 함수의 값 측면에서 합리적인 값으로 감마 함수의 특정 산물을 평가하는 것이다.그 결과는 본질적으로 레르치(1897년)에 의해 발견되었고 차우라와 셀버그(1949년, 1967년)에 의해 재발견되었다.

성명서

로그 형태로, Choula-Selberg 공식은 특정한 경우 합계를 명시한다.

${\displaystyle {\frac {w}{4}}\sum _{r}\chi (r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}}\log(4\pi {\sqrt { D }})+\sum _{\tau }\log \left({\sqrt {\Im (\tau )}} \eta (\tau ) ^{2}\right)}$

Kronecker 한계 공식으로 평가할 수 있다.여기서 χ은 2차 잔류물 기호 modulo D로, 여기서 -D는 가상 2차 영역의 판별이다.합계는 0 < r < D를 인수하며, 통상적인 관례 common(r) = r과 D가 공통 인자를 갖는 경우 0을 인수한다.함수 η은 데데킨드 에타 함수, h는 클래스 번호, w는 통합의 뿌리 수입니다.

출처 및 응용 프로그램

그러한 공식의 기원은 이제 복합 곱셈 이론에 있고, 특히 CM형식의 아벨리아 품종 시대 이론에 있다고 볼 수 있다.이것은 많은 연구와 일반화로 이어졌다.특히 P-adic 감마 함수를 포함하는 p-adic numberg 공식에 대한 Choula-Selberg 공식의 아날로그가 있으며, 이를 Gross-Koblitz 공식이라고 한다.

차우라-셀버그 공식은 eta 함수의 값의 유한한 산물에 대한 공식을 제공한다.이것을 복합 곱셈 이론과 결합함으로써 에타 함수의 개별 절대값의 공식을 다음과 같이 줄 수 있다.

${\displaystyle \Im (\tau ) \eta (\tau ) ^{4}={\frac {\\frac }{4\pi {\sqrt{D}}}}}\r}\gamma (r/D )^{\frac {w}{2h}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

일부 대수 α의 경우.

예

감마함수에 대한 반사 공식을 사용하면 다음을 얻을 수 있다.

• ${\displaystyle \eta(i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma({\tfrac {1}{4})}$

참고 항목

• 곱셈 정리

참조

• Chowla, S.; Selberg, Atle (1949), "On Epstein's zeta function. I", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 35 (7): 371–374, Bibcode:1949PNAS...35..371C, doi:10.1073/pnas.35.7.371, ISSN 0027-8424, JSTOR 88112, MR 0030997, PMC 1063041, PMID 16588908
• Chowla, Sarvadaman; Selberg, Atle (1967), "On Epstein's Zeta-function", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1967 (227): 86–110, doi:10.1515/crll.1967.227.86, MR 0215797, S2CID 201060556
• Lerch, Mathias (1897), "Sur quelques formules relatives au nombre des classes", Bulletin des Sciences Mathématiques, 21: 290–304
• Schappacher, Norbert (1988), Periods of Hecke characters, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1301, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0082094, ISBN 978-3-540-18915-2, MR 0935127