바이에스트라스 함수

수학에서 위어스트라스 함수는 위어스트라스 타원함수에 보조되는 복합 변수의 특수함수다.그들은 칼 위어스트라스의 이름을 따서 지어졌다.시그마, 제타 및 $\wp$ $\wp$ 함수의 $\wp$ 관계는 사인, 코탄젠트 및 제곱 코잔트 함수 사이의 관계와 유사하다. 즉, 사인(Sine)의 로그파생물은 코탄젠트(cantangent)이며, 그 파생상품은 음의 코잔트칸트(coscant)이다.

위어스트라스 시그마 함수

도메인 색상을 사용한 시그마 함수 그림.

$\Lambda \subset \mathbb {C}$ 격자 ⊂ $\Lambda \subset \mathbb {C}$ $\Lambda \subset \mathbb {C}$ ${\$ 에 연결된 Weierstrass 시그마 함수는 제품으로 $\Lambda \subset \mathbb {C}$ 정의된다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{\sigma}{(z, \Lambda)}&, =z\prod _{w\in\Lambda ^{*}}\left(1-{\frac{z}{w}}\right)e^{z/w+{\frac{1}{2}}(z/w)^{2}}\\&, =z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^ᆷ\left(1-{\frac{z}{m\omega_{1}+n\omega_{2}}}\right)e^{z(m\omega_{1}+n\omega_{2})+{\frac{1}{.2}}(z/(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}\end{정렬}}}

여기서 $∗{\$ 는 $\Lambda^{*}$ $\Lambda -\{0\}$ - $\Lambda -\{0\}$ { 0 $\Lambda -\{0\}$ } $\Lambda -\{0\$ 또는 $\Lambda -\{0\}$ $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ { $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ , $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ ${\displaysty$ \{\omega $_$ {1 $},\$ omega_ $\{\omega _{1},\omega _{2}\}$ ${2}\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

사인함수와도 관련이 있는 Weierstrass 인자화 정리의 세심한 조작을 통해 잠재적으로 더 관리 가능한 또 다른 무한 제품 정의는 다음과 같다.

\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}e^{\eta _{i}z^{2}/\omega _{i}}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left({\tfrac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}}}{\sin ^{2}{\refrac {n\pi \omega _{j}{\omega _{i}}\오른쪽)}}

for any $\{i,j\}\in \{1,2,3\}$ with $i\neq j$ and where we have used the notation $\eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )$ (see zeta function below).

바이어스트라스 제타 함수

도메인 색상을 이용한 제타함수의 플롯

위어스트라스 제타 함수는 합계로 정의된다.

\operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).

Weierstrass zeta 함수는 시그마 함수의 로그 파생물이다.제타 함수는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

{\displaystyle \operatorname {\zeta }{\frac {1}{z}-\sum _{k=1}^{{k=1}\inflt }{\mathcal {G}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}.

여기서 ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ + ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ ${\$ 은 무게 ${\mathcal {G}}_{2k+2}$ 2k + 2의 아이젠슈타인 계열이다.

$-\wp (z)$ 의 파생어는 - $-\wp (z)$ ( z $-\wp (z)$ ) ${\displaystyle -\$ $wp$ $-\wp (z)$ ( $z$ $)}$ 이며 $-\wp (z)$ 여기서 $℘$ ( $\wp (z)$ 는 Weierstrass 타원함수 입니다 $\wp (z)$ $.$

웨이어스트라스 제타 함수는 숫자 이론에서 리만 제타 함수와 혼동해서는 안 된다.

위어스트라스 에타 함수

Weierstrass eta 함수는 다음과 같이 정의된다.

\eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ for any }}z\in \mathbb {C}

and any w in the lattice

\Lambda

이것은 잘 정의되어 있다. 즉, $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ + $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ) - $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ( $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ; $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ ) $\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )$ 는 격자 벡터 w에만 $\zeta(z+w;\Lambda)-\zeta(z;\Lambda)$ 의존한다.바이어 슈트라스 에타 함수는 한쪽도 구워 먹엇다함수또는 디리클레 에타 함수와혼동해서는 안 된다.

바이에스트라스 ℘-기능

도메인 색상을 이용한 p-기능의 플롯

Weierstrass p-기능은 제타 기능에 의해 관련된다.

{\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\\\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{{{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}.

위어스트라스 ass 함수는 각 격자점에 이중극이 있고 다른 극이 없는 순서 N=2의 짝수 타원함수다.

퇴보 케이스

$\omega _{1}=2\pi$ $\omega _{1}=2\pi$ = $\omega _{1}=2\pi$ $\omega _{1}=2\pi$ $\omega _{1}=2\pi$ 까지 확장할 수 있고, 다른 $\omega _{1}=2\pi$ 한 기간은 $\omega _{2}\rightarrow i\infty$ 2 → $\omega _{2}\rightarrow i\infty$ { $\omega _{2}\rightarrow i\infty$ {\ $displaysty \omega$ _{ $2}\오른쪽 화살표$ i $\py }}$ 의 한계에 도달하여 기능이 $\omega _{2}\rightarrow i\infty$ 단일 주기적으로만 수행되는 상황을 고려하십시오.해당 불변제는 판별 $\Delta =0$ = $,$ $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ $}$ $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ = $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ { 1 $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ 1 $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ ${\$ }, $g_{3}\}=\{\tfrac {1}{112},{\tfrac$ {1 $}{116$ $}}}\rig\}}}}}$ 이다 $\{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}$ $\Delta =0$ 그러면 $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ = $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ ${\$ 이 $\eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}$ (가) 있으므로 위의 무한 제품 정의에서 다음과 같은 동등성을 얻는다.