베버 모듈식 함수

수학에서 베버 모듈형 함수는 하인리히 마틴 베버가 연구한 ^{[note 1]}f, f, f 세₁₂ 함수의 계열이다.

정의

let $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$nome) 여기서 τ은 상부 하프 평면의 요소다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\mathfrak{f}}(\tau)&, =q^{-{\frac{1}{24}}}\prod _ᆴ(1+q^{2n-1})=e^{-{\frac{\pi 나는}{24}}}{\frac{\eta{\big(}{\frac{\tau+1}{2}}{\big)}}{\eta(\tau)}}=ᆹ(\tau)}{\eta{\big(}{{\tau}{2}}{\big\tfrac)}\eta(2\tau)}}\\{\mathfrak{f}}_ᆼ(\tau)&, =q^{-{\frac{1}{24}}}\prod _{n>0}(1-.q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\end{aligned}}}$

where ${\displaystyle \eta (\tau )}$ is the Dedekind eta function and ${\displaystyle (e^{\pi i\tau })^{\alpha }}$ should be interpreted as ${\displaystyle e^{\pi i\tau \alpha }}$. Note the descriptions as ${\displaystyle \eta }$ quotients immediately imply

${\displaystyle {\mathfrak{f}(\tau ){f}_{1}(\tau ){\mathfrak{f}}{2}(\tau )={\sqrt {2}.}$

변환 τ → –1/τ f를 수정하고 f와₁ f를₂ 교환한다.그래서 기초 f, f₁, f를₂ 가진 3차원 복합 벡터 공간은 그룹 SL₂(Z)에 의해 작용한다.

세타 함수와의 관계

자코비 세타 함수의 인수를 nome $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\pi }^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\displaystyle {\tau }^{}}$ ${\$ $\}\}\}$으로 하고 나서,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )^{2}&={\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{2}&={\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}\\{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{2}&={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}\\\end{aligned}}}$

잘 알려진 정체성을 이용해서

${\displaystyle \theta \{2}(q)^{4}+\theta _{4}^{4}=\theta _{3}(q)^{4}}}}$

그러므로

${\displaystyle {{f}_{1}(\tau )^{8}+{{f}_{2}(\tau )^{8}={\mathfrak {f}(\tau )^{8}}}}$

j-기능과의 관계

입방정식의 세 가지 뿌리는

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}{x}}}$

where j(τ) is the j-function are given by ${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$. Also, since,

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\theta _{3}(q)\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}}$

그럼

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{f}(\tau )^{16}+{f}_{1}{1}(\tau )^{16}+\mathfrac {f}{f}}{16}}{2}}\오른쪽)^{3}$

참고 항목

• 라마누잔-사토 시리즈, 레벨 4

참조

• Weber, Heinrich Martin (1981) [1898], Lehrbuch der Algebra (in German), vol. 3 (3rd ed.), New York: AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2971-4
• Yui, Noriko; Zagier, Don (1997), "On the singular values of Weber modular functions", Mathematics of Computation, 66 (220): 1645–1662, doi:10.1090/S0025-5718-97-00854-5, MR 1415803

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