폴리큐브

Polycube
"테트라큐브"는 여기서 리다이렉트 됩니다.4차원 물체에 대해서는 테서랙트를 참조하십시오.
8개의 단측 테트라큐브 모두 – 키랄리티가 무시되면 회색 하단 2개가 동일한 것으로 간주되어 총 7개의 무료 테트라큐브가 제공됩니다.
펜타큐브를 배열하는 퍼즐

폴리큐브는 하나 이상의 동일한 입방체를 마주 보고 접합하여 형성된 고체 도형이다.폴리큐브는 평면 폴리오미노의 3차원 유사체이다.소마 입방체, 베들램 입방체, 디아볼릭 입방체, 슬로터우버-그라츠마 퍼즐, 콘웨이 퍼즐은 폴리큐브에 [1]기초한 패킹 문제의 예입니다.

폴리큐브 열거 중

키랄 펜타큐브

폴리오미노와 마찬가지로 폴리큐브는 폴리큐브의 키랄 쌍이 1개의 폴리큐브로 카운트되는지 또는 2개의 폴리큐브로 카운트되는지에 따라 2가지 방법으로 열거할 수 있다.예를 들어 6개의 테트라큐브는 거울대칭, 1개는 키랄로 각각 [2]7개 또는 8개의 테트라큐브를 나타낸다.폴리오미노와는 달리 폴리큐브는 보통 거울 쌍으로 세어진다. 왜냐하면 폴리큐브를 뒤집어서 반영할 수 없기 때문이다.특히, Soma 큐브는 두 가지 형태의 키랄 테트라큐브를 모두 사용한다.

폴리큐브는 [3]입방체 셀의 수에 따라 분류됩니다.

n n-polycube 이름 단측 n-폴리큐브 수
(반사는 구별되는 것으로 간주됩니다)
(OEIS의 시퀀스 A000162)		 빈 n-폴리큐브 수
(반사 합산)
(OEIS의 시퀀스 A038119)
1 단관 1 1
2 디큐브 1 1
3 트리큐브 2 2
4 테트라큐브 8 7
5 펜타큐브 29 23
6 육각관 166 112
7 헵타큐브 1023 607
8 옥타큐브 6922 3811

폴리큐브는 최대 n=[4]16까지 열거되었습니다.최근에는 폴리큐브의 특정 패밀리가 [5][6]조사되고 있다.

폴리큐브의 대칭

폴리오미노와 마찬가지로 폴리큐브는 대칭의 수에 따라 분류될 수 있다.폴리큐브 대칭(아키랄 팔면체 그룹의 부분군의 공역 클래스)은 1972년 W. F. 루넌에 의해 처음 열거되었다.대부분의 폴리큐브는 비대칭이지만 많은 폴리큐브는 더 복잡한 대칭 그룹을 가지고 있으며 48개의 요소를 가진 큐브의 완전한 대칭 그룹까지 있습니다.다른 수많은 대칭이 가능합니다. 예를 들어, 8중 대칭에는 7가지 가능한 형태가 있습니다.

펜타큐브의 특성

12개의 펜타큐브는 평평하고 펜토미노에 대응한다.나머지 17개 중 5개는 거울 대칭이고 나머지 12개는 6개의 키랄 쌍을 형성합니다.

펜타큐브의 경계상자는 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 2×2×[7]2의 크기를 가진다.

폴리큐브는 입방체 격자에 최대 24개의 방향을 가질 수 있으며, 반사가 허용되는 경우에는 48개의 방향을 가질 수 있다.펜타큐브 중 2개의 평면(5-1-1과 십자)은 3개의 축 모두에서 거울 대칭을 가지고 있으며, 이들 평면은 3개의 방향만 가지고 있다.10은 하나의 거울 대칭을 가지며, 이것들은 12개의 방향을 가진다.나머지 17개의 펜타큐브는 각각 24개의 방향을 가지고 있다.

옥타큐브 및 하이퍼큐브 전개

달리 십자훈장

정육면체(4차원 하이퍼큐브)는 면으로 8개의 정육면체를 가지며, 정육면체가 헥소미노로 펼쳐지는 것처럼 정육면체는 옥타큐브로 펼쳐질 수 있다.특히, 하나의 전개는 큐브의 잘 알려진 라틴 십자형 전개와 유사합니다.큐브는 4개의 큐브를 겹쳐 쌓고, 다른 4개의 큐브를 스택의 두 번째에서 두 번째 큐브의 노출된 정사각형 면에 부착하여 3차원 이중 십자형을 형성합니다.살바도르 달리는 1954년 그의 그림인 십자가에 이 모양을 사용했고, 그것은 로버트 A에 묘사되어 있다.[8] Hainlein의 1940년 단편 "그리고 그는 비뚤어진 집을 지었다"[9]달리를 기리기 위해 이 옥타큐브는 달리 [10][11]십자가라고 불려왔다.공간을 [10]타일로 덮을 수 있습니다.

보다 일반적으로(1966년 마틴 가드너의 질문에 대한 답변) 3811개의 다른 자유 옥타큐브 [10][12]중 261개가 정삼각형의 전개이다.

경계 접속

폴리큐브의 큐브는 정사각형에서 정사각형으로 연결되어야 하지만, 경계의 정사각형을 모서리에서 모서리로 연결할 필요는 없습니다.예를 들어 3×3×3 입방체 그리드를 만든 후 중앙 입방체를 제거한 26 입방체는 내부 보이드의 경계가 외부 경계에 접속되지 않은 유효한 폴리 입방체이다.폴리큐브의 경계가 다지관을 형성할 필요도 없다.예를 들어 펜타큐브 중 하나는 모서리 대 모서리를 만나는 두 개의 큐브를 가지므로 둘 사이의 모서리가 네 개의 경계 사각형 변이 됩니다.

폴리큐브에 보체(폴리큐브에 속하지 않는 정수 큐브의 집합)가 정사각형에서 [13]정사각형으로 만나는 경로로 연결되는 추가 속성이 있는 경우 폴리큐브의 경계 사각형도 모서리에서 모서리로 만나는 정사각형 경로로 연결되어야 합니다.즉, 이 경우 경계는 폴리오미노이드(polyominoid)를 형성한다.

수학의 미해결 문제:

연결된 경계를 가진 모든 폴리큐브가 폴리오미노로 펼쳐질 수 있습니까?만약 그렇다면, 그러한 모든 폴리큐브가 평면을 타일로 만든 폴리오미노로 펼쳐질 수 있을까요?

(수학에서 풀리지 않은 문제가 더 많다)

k < 7인 모든 k-입방체 및 달리 십자가(k = 8인)는 평면을 타일링하는 폴리오미노로 펼쳐질 수 있다.연결된 경계를 가진 모든 폴리큐브를 폴리오미노로 펼칠 수 있는지, 또는 폴리오미노가 [11]평면을 타일링하는 추가 조건으로 항상 이를 수행할 수 있는지 여부는 해결되지 않은 문제입니다.

이중 그래프

폴리큐브의 구조는 각 큐브의 정점과 정사각형을 공유하는 [14]두 큐브의 모서리를 갖는 "이중 그래프"를 통해 시각화할 수 있습니다.이는 이중 다면체 및 표면 매립 그래프의 이중 그래프와 유사한 이름의 개념과는 다릅니다.

듀얼 그래프는 [15]폴리큐브의 특별한 서브클래스를 정의하고 연구하기 위해 사용되기도 했다. 예를 들어, 듀얼 그래프가 트리인 서브클래스는 폴리큐브의 특별한 서브클래스를 정의하고 연구하기 위해 사용된다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ 웨이스틴, 에릭 W '폴리큐브'Math World에서
  2. ^ a b Lunnon, W. F. (1972), "Symmetry of Cubical and General Polyominoes", in Read, Ronald C. (ed.), Graph Theory and Computing, New York: Academic Press, pp. 101–108, ISBN 978-1-48325-512-5
  3. ^ 폴리큐브, Poly Polycubes
  4. ^ 케빈 공의 폴리큐브 열거
  5. ^ 프랑스 루앙 대학교 장 마르크 샹파르노 외, "폴리큐브 특정 등급 목록" PDF
  6. ^ "피라미드 폴리큐브의 디리클레 정리 및 열거", C. Caré, N. Debreoux, M. Deneufchartel, J. Dubernard, C. 힐라렛, J. Luque, O. Mallet, 2013년 11월 19일 PDF
  7. ^ 앨트, 로널드 M. '펜타큐브'Math World에서.
  8. ^ Kemp, Martin (1 January 1998), "Dali's dimensions", Nature, 391 (27): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063
  9. ^ 파울러, 데이비드(2010년),"수학 과학 픽션에:.수학 과학 Fiction"세계 문학 Today84(3):48–52, JSTOR 27871086, 로버트 하인 라인의"And로 그는 영 House,"1940년 출판된 마틴 가드너의"The No-Sided Professor," 1946년에 출간을 지었, 공상 과학 물의 뫼비우스 밴드인 클라인 병 하이퍼 큐브(tesserac 독자들에게 소개할 첫번째에 속한다.t).
  10. ^ a b c 를 클릭합니다Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph (2015), Hypercube unfoldings that tile and , arXiv:1512.02086, Bibcode:2015arXiv151202086D.
  11. ^ a b 를 클릭합니다Langerman, Stefan; Winslow, Andrew (2016), "Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion" (PDF), 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016).
  12. ^ 를 클릭합니다Turney, Peter (1984), "Unfolding the tesseract", Journal of Recreational Mathematics, 17 (1): 1–16, MR 0765344.
  13. ^ Bagchi, 아미타불, Bhargava, Ankur, Chaudhary, 아미타브;Eppstein, 데이비드. Scheideler, 크리스티안(2006년),"결점들의 네트워크 확장에 미치는 영향", 이론 컴퓨터 시스템의, 39(6):903–928, arXiv:cs/0404029, doi:10.1007/s00224-006-1349-0, MR2279081, S2CID 9332443.특정 Limma3.9페이지의 주 924년, 이 경계 연결 속성의higher-dimensional polycubes에 일반화한 언급을 보세요.
  14. ^ 를 클릭합니다Barequet, Ronnie; Barequet, Gill; Rote, Günter (2010), "Formulae and growth rates of high-dimensional polycubes", Combinatorica, 30 (3): 257–275, doi:10.1007/s00493-010-2448-8, MR 2728490, S2CID 18571788.
  15. ^ Aloupis, 그렉, 보스, Prosenjit K;콜렛, 세바스 티앵, Demaine, 에릭은 D;Demaine, 마틴 L.;Douïeb, 카림;Dujmović, Vida, Iacono, 존. 랭어맨 씨 얘길, 스테판, 모리, 팻(2011년),"polyominoes과 polycubes의 일반적인 unfoldings", 계산기 하학, 그래프 및 응용 프로그램(PDF), 강의 노트 Comput에.Sci., vol. 7033, 스프링거, 하이델베르크,를 대신하여 서명함. 44–54, doi:10.1007/978-3-642-24983-9_5, MR2927309.

외부 링크