로컬 매개변수

복잡한 대수곡선의 기하학에서, 매끄러운 지점 P에서 곡선 C에 대한 국소 매개변수는 단지 P에서 단순한 0을 갖는 C에 대한 용적함수일 뿐이다.대수 곡선 C(대수학적으로 폐쇄된 필드에 대해 정의됨)의 매끄러운 지점 P에 있는 국부 링은 항상 이산 평가 링이기 때문에 이 개념은 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$또는 심지어 체계) 이외의 필드에 걸쳐 정의된 곡선에 일반화될 수 있다.^[1]이러한 가치평가는 P에 0 또는 극을 갖는 합리적인 기능(비복잡한 영역의 공형 함수에 대한 자연적 일반화)의 순서(P 지점에서)를 셀 수 있는 방법을 우리에게 제공할 것이다.

이름에서 알 수 있듯이 로컬 매개변수는 주로 로컬 방식으로 승수를 적절하게 계산하는 데 사용된다.

소개

C가 복잡한 대수 곡선일 때, 우리는 그것에 정의된 영점 및 영점 함수의 극의 승수를 계산하는 방법을 안다.^[2]그러나 $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 이외의 필드에 정의된 곡선을 논할 때$,$ 우리는 복잡한 분석의 힘에 접근할 수 없으며, 그러한 곡선에 정의된 합리적인 함수의 0과 극의 다중성을 정의하기 위해서는 대체품을 찾아야 한다.In this last case, we say that the germ of the regular function ${\displaystyle f}$ vanishes at ${\displaystyle P\in C}$ if ${\displaystyle f\in m_{P}\subset {\mathcal {O}}_{C,P}}$. This is in complete analogy with the complex case, in which the maximal ideal of the local ring at a point P is실제로 P에서 사라지는 홀로모픽 기능의 세균에 의해 순응한다.

이제 O ${\displaystyle C_{}}$, ${\displaystyle P_{}}$ ${\$에 대한 평가 함수는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f)=\max\{d=0,1,2,\ldots :f\in m_{P}^{d}\};}$

this valuation can naturally be extended to K(C) (which is the field of rational functions of C) because it is the field of fractions of ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,P}}$. Hence the idea of having a simple zero at a point P is now complete: it will be a rational function ${\displaystyle f\in K(C)}$ such그것의 세균이 $m{\displaystyle {}_{}^{}}$ P ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 빠지며$,$ 최대 1은 d이다.

이는 대수학적으로 유사하며, DVR(R, m)의 균일화 파라미터는 최대 이상 m의 발생기에 불과하다.링크는 P의 로컬 파라미터가 DVR(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle C_{,}}$ ${\displaystyle P_{}}$, P, P)에 대한 균일화 파라미터가 된다는 사실$(O$, P, P$\},$$$$M{\displaystyle {}_{}}$ $,$ P {\$displaystyle m_{P})$에서 비롯된다.$$

정의

C는 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 정의된 대수적 곡선이 되고, K(C)는 C의 합리적 함수의 장이 되도록 한다.The valuation on K(C) corresponding to a smooth point ${\displaystyle P\in C}$ is defined as ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(f/g)=\operatorname {ord} _{P}(f)-\operatorname {ord} _{P}(g)}$, where ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}}$ is t그는 보통 지역 링에 대해 평가한다(${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ , ${\displaystyle P_{}}$ ${\$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$${\displaystyle P}$에서 C에 대한 로컬 매개 변수는 ${\displaystyle P_{}}$$t{\displaystyle }$${\displaystyle (}$${\displaystyle t}$ ) =${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{P}(t)=1}$인 함수 t ${\displaystyle \in }$ K$($C$)$이다$.$

참고 항목

• 이산 평가 링

참조