필드 익스텐션의 정도

수학에서, 더 구체적으로 말하면, 자기장 확장의 정도는 자기장 확장의 "크기"를 대략적으로 나타낸 것이다. 이 개념은 수학의 많은 부분에서 중요한 역할을 하는데, 대수 이론과 숫자 이론은 실제로 어떤 분야든 두드러지게 나타난다.

정의 및 표기법

E/F가 필드 확장이라고 가정해 보십시오. 그런 다음 E는 F(스칼라의 장) 위에 있는 벡터 공간으로 간주할 수 있다. 이 벡터 공간의 치수는 필드 확장자의 정도라고 하며, [E:F]로 표시된다.

그 정도는 유한하거나 무한할 수 있으며, 그에 따라 그 장은 유한한 확장 또는 무한 확장이라고 불린다. 확장형 E/F는 한정된 확장인 경우 단순히 유한하다고 말하는 경우도 있다. 이는 필드 자체가 유한한 필드(원소가 미세하게 많은 필드)인 것과 혼동해서는 안 된다.

그 정도는 필드의 초월도와 혼동해서는 안 된다. 예를 들어,합리적인 함수의 필드 Q(X)는 Q보다 무한한 정도를 가지지만, 초월도는 1과같을 뿐이다.

도에 대한 승수식

주탑에 배열된 3개의 필드가 K라고 하면 L의 하위 필드로 M의 하위 필드가 되며, 3개의 확장 L/K, M/L 및 M/K의 도 사이에 간단한 관계가 있다.

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

즉, '하단'에서 '상단'으로 가는 정도가 '하단'에서 '중간'으로, 그 다음에 '중간'에서 '상단'으로 가는 정도의 산물일 뿐이다. 집단의 질서와 지수를 하위집단의 질서와 지수에 연관시키는 집단 이론의 라그랑주의 정리와는 상당히 유사하다 —실제로 갈루아 이론은 이러한 비유는 단순한 우연의 일치 이상의 것임을 보여준다.

이 공식은 유한도 및 무한도 확장을 모두 포함한다. 무한대 경우에서 제품은 기수의 산물이라는 의미로 해석된다. 특히 M/K가 유한하면 M/L과 L/K가 모두 유한하다는 뜻이다.

M/K가 유한할 경우, 간단한 산술적 고려를 통해 M과 K 사이에 발생할 수 있는 분야의 종류에 강력한 제한을 가한다. 예를 들어 학위 [M:K]가 소수 p인 경우, 중간 필드 L에 대해 [M:L] = p와 [L:K] = 1인 두 가지 중 하나가 발생할 수 있으며, 이 경우 L은 K와 같거나, [M:L] = 1과 [L:K] = p인 경우 L이 M과 같다. 따라서 중간 영역은 없다(M과 K 자체에서 분리).

유한사례에서의 승수식 증빙

위의 도식처럼 K, L, M이 밭의 탑을 형성하고, d = [L:K]와 e = [M:L]이 모두 유한하다고 가정하자. 이것은 우리가 L over K에 대한 기준 {u₁, ..., u_d}을(를) 선택할 수 있고, M over L에 대한 기준 {w₁, ..., w_e}을(를) 선택할 수 있다는 것을 의미한다. 1, 2, ..., d, n의 범위가 1, 2, ..., e까지인 원소 uw는_mn M/K의 기초를 형성한다는 것을 보여줄 것이다; 정확히 de가 있기 때문에, M/K의 차원이 de라는 것을 증명하고, 이것이 원하는 결과인 것이다.

먼저 우리는 그것들이 M/K에 걸쳐 있는지 확인한다. 만약 x가 M의 어떤 요소라면, w가_n L에 대한 M의 기초를 형성하기 때문에, 우리는 L에서 다음과 같은 요소들을_n 찾을 수 있다.

${\displaystyle x=\sum _{n=1}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{n}=a_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}_{e}e}.}$

그러면, u가_m K에 대한 L의 기초를 형성하기 때문에, 우리는 K에서 각각의 n에 대해 B 원소를_m,n 찾을 수 있다.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +{d_{d,n}u_{d}d}.}$

그리고 M에서 분배 법칙과 곱셈의 연관성을 이용하여 우리는

${\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}b_{m}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{n=1}^{d}b_{m}w_{n}n}}}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

즉, x는 K의 계수와 uw의_mn 선형 조합이라는 것을 보여준다. 즉, 그것들은 K에 걸쳐 M에 걸쳐 있다.

둘째로, 우리는 그들이 K에 대해 선형적으로 독립되어 있는지 확인해야 한다. 라고 가정해 보자.

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}}})}$

K의 일부 계수 b에_m,n 대해. 유통성과 연관성을 다시 이용하여, 우리는 그 용어들을 다음과 같이 분류할 수 있다.

${\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,nu_{m}\right)w_{n}}}}}}$

그리고 괄호 안의 항은 L의 요소들이기 때문에_n 0이어야 하며 w는 L에 대해 선형적으로 독립되어 있기 때문에 우리는 괄호 안의 항들이 0이어야 한다는 것을 안다. 그것은

${\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}}}$

각 n에 대해 그러면 b_m,n 계수는 K에 있고 u는_m K에 대해 선형적으로 독립적이기 때문에 모든 m과 n에 대해 b_m,n = 0을 가져야 한다. 이것은 uw_mn 원소가 K에 대해 선형적으로 독립되어 있음을 보여준다. 이것으로 증명할 수 있다.

무한 사례에서의 공식 증명

이 경우, 우리는 각각 L/K와 M/L의 베이스 u와_α w로_β 시작하고, 여기서 α는 인덱싱 세트 A에서, β는 인덱싱 세트 B에서 가져온다. 위와 완전히 유사한 주장을 사용함으로써, 우리는_αβ 그 제품들이 M/K의 기초를 형성한다는 것을 알게 되었다. 이러한 것들은 카르테시안 제품 A × B에 의해 색인화되며, 정의상 카디널리티는 A와 B의 기질의 제품과 동일하다.

예

• 복합 번호는 등급[C:R] = 2인 실수에 대한 필드 확장이며, 따라서 둘 사이에는 비교 가능한 필드가 없다.
• √2와 to3을 합리적인 숫자의 필드 Q에 연결하여 얻은 필드 확장 Q(22, 33)는 학위 4, 즉 [Q(√2, √3):Q] = 4이다. 중간 필드 Q(√2)는 Q에 대한 등급 2를 가지며, 우리는 승률 공식에서 [Q(22, 33):Q(22)] = 4/2 = 2로 결론짓는다.
• 유한장(갈루아장) GF(125) = GF(5³)는 그 하위장 GF(5)보다 3도가 있다. 보다 일반적으로 p가 prime이고 n이면 m은 n을 나눈 양의 정수, [GF(p^m):GF(pⁿ)] = m/n.
• C(T)가 C에 대한 합리적인 기능의 분야인 필드 익스텐션 C(T)/C는 무한도(실제로 순수하게 초월적인 익스텐션)를 가지고 있다. 이는 원소 1, T, T² 등이 C에 대해 선형적으로 독립되어 있음을 관찰함으로써 알 수 있다.
• 필드 익스텐션 C(T²)도 C보다 무한도가 있다. However, if we view C(T²) as a subfield of C(T), then in fact [C(T):C(T²)] = 2. More generally, if X and Y are algebraic curves over a field K, and F : X → Y is a surjective morphism between them of degree d, then the function fields K(X) and K(Y) are both of infinite degree over K, but the degree [K(X):K(Y)] turns out to be equal to d.

일반화

E에 포함된 F와 함께 두 개의 눈금 고리 E와 F와 곱셈과 덧셈이 E의 조작 제한임을 감안할 때, 우리는 두 가지 방법으로 E를 F에 대한 벡터 공간으로 생각할 수 있다: 스칼라가 왼쪽에서 작용하도록 하고, 차원[E:F]_l을 부여하고, 오른쪽에서 작용하게 하여 차원[E:F]_r을 부여한다. 두 차원이 일치할 필요는 없다. 그러나 두 치수는 분할 링의 탑에 대한 곱셈 공식을 만족시킨다. 위의 증거는 변경 없이 왼쪽 동작의 스칼라에 적용된다.

참조

• 215쪽 Jacobson, N. (1985). Basic Algebra I. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. 승수 공식의 증거.
• 465페이지, 무한 차원 사례에 대해 간략하게 논한다.