단수하편

링 이론과 모듈 이론으로 알려진 추상 대수학의 가지에서, 각각의 권리(resp)는 다음과 같다.왼쪽) R-모듈 M은 전멸기가 필수적인 원소(resp)로 구성된 단일한 서브모듈을 가지고 있다.왼쪽) 이상 R.In set notation it is usually denoted as ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)=\{m\in M\mid \mathrm {ann} (m)\subseteq _{e}R\}\,}$. For general rings, ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(M)}$ is a good generalization of the torsion submodule tors(M) which is most often defined for도메인들R이 정류 도메인인 경우, ${\displaystyle \mathrm{tors}}$ ${\displaystyle }$( M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle Z}$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {tors}(M)={\mathcal {Z}(M$

R이 어떤 고리라면, Z${\displaystyle }$($R{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle R_{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {Z}($${\displaystyle {}_{}}$${R})$은 R을 오른쪽 모듈로 간주하여 정의되며$$, 이 $경우{\displaystyle \mathcal{}}$ Z${\displaystyle }$( ${\displaystyle R_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{Z}(R_{R})}$은 R의 오른쪽 단수 이상이라 불리는 R의 양면 이상이다$$.왼손잡이 아날로그 $Z{\displaystyle \mathcal{}({}_R}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {Z}(_{R}R)}$도 이와 유사하게 정의된다$$.$Z{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle R_{}}$ R )${\displaystyle {}_{}\ne }$ ${\displaystyle Z{}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ R$){\displaystyle {\mathcal {Z}(R_{R})\neq {\mathcal {Z}(_{R}R)}}$에 대해 가능하다$.$

정의들

단수 하위조항과 단수 이상을 연구할 때 사용되는 몇 가지 정의가 여기에 있다.다음에서 M은 R-모듈이다.

• $M$은 Z${\displaystyle (M}$) =$$M {\$displaystyle${\$mathcal {Z}($M)=$M\,}$이면 단수 모듈이라고 부른다$.$
• $M$은 Z${\displaystyle (M)}$ = {${\displaystyle 0}$ $}$ {\$displaystyle {\mathcal$ {$Z}}(M)=\{0\}\,}$일 경우 비논술 모듈이라고 한다$.$
• $R$은 Z${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle R_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$ 왼쪽 비동기 링은 왼쪽 단수 이상을 사용하여 유사하게 정의되며, 링이 오른쪽이지만 왼쪽이 아닌 비동기 링일 가능성이 완전히 있다$.$

단결성을 가진 링에서는 $항상{\displaystyle \mathcal{}}$Z (${\displaystyle R_{}}$R )${\displaystyle r}$ R$${\$displaystyle${\$mathcal {Z}(R_{R})\subsetneq R\,}$및 "우측 단수 링"이 단일 모듈과 같은 방식으로 정의되지 않는 경우가 있다.일부 저자들은 "노제로 단수 이상을 가지고 있다"는 의미로 "가수 반지"를 사용했지만, 이 사용은 모듈용 형용사의 사용과 일치하지 않는다.

특성.

단일 하위 모듈의 일반적인 특성에는 다음이 포함된다.

• ${\displaystyle \mathcal{Z}}$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle s\mathrm{}}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \mathrm{c}}$( M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\$ {\mathcal${Z}(M)\cdot \mathrm {soc}=\{0\}\},$ 여기서$$ s ${\displaystyle \mathrm{o}\mathrm{c}}$ (${\displaystyle M}$) ${\$는 M의 소클을 의미한다$$.
• f가 M에서 N까지의 $R-모듈$의 동형상이라면, f (${\displaystyle Z\mathcal{}}$ ( ${\displaystyle M}$ )${\displaystyle )}$ Z${\displaystyle }$( $){\$f$({\mathcal{Z})(M)\subseteq {\mathcal{Z$}}}\mathcal {Z$}(N$
• N이 ${\displaystyle M}$의 하위 모듈이라면, $Z{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle }$N${\displaystyle }$) =${\displaystyle N}$ ∩${\displaystyle }$Z (${\displaystyle M}$ $){\$ {$Z}(M$
• 속성 "singular"와 "nonsingular"는 Morita 불변성 속성이다.
• 반지의 특이한 이상은 반지의 중심적인 영감적 요소를 포함한다.결과적으로, 반지의 특이한 이상은 반지의 영선성을 포함한다.
• 비틀림 하위절의 일반적인 속성은 t${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$/ ${\displaystyle t}$( M${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\$이지만$,$ 단일한 하위절에 반드시 $고정$되는 것은 아니다.단, R이 우측 비경상 링이라면, $Z{\displaystyle \mathcal{}}$(${\displaystyle M}$/ ${\displaystyle Z\mathcal{}}$( ${\displaystyle M}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$} ${\$
• N이 M(우측 모듈 모두)의 필수 하위 모듈이라면 M/N은 단수형이다.M이 자유형 모듈이거나 R이 우측 비경상 모듈이면 그 반대는 참이다.
• 반이행 모듈은 그것이 투영 모듈인 경우에만 비일관적이다.
• R이 우측 ${\displaystyle {자기주장}_{}}$ 링이라면, $Z{\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle }$R${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle J}$ (${\displaystyle R}$ )${\$ {$Z}(R_{R})=J(R)\,},$ 여기서 J(R)는 R의 제이콥슨 레디컬이다$.$

예

우측 비경상 링은 감소된 링, 우측(세미) 계통 링, 폰 노이만 정규 링, 도메인, 세미 구현 링, 배어 링 및 우측 리카르트 링을 포함한 매우 광범위한 등급이다.

반향 링의 경우, 비반향은 감소된 링과 동일하다.

중요한 정리

Johnson의 정리(R. E. Johnson으로 인해, 1999, 페이지 376)에는 몇 가지 중요한 동등성이 포함되어 있다.모든 링 R에 대해 다음 사항은 동일하다.

1. R은 정확히 비유동적이다.
2. 주입식 선체 E(R_R)는 비정렬 우측 R-모듈이다.
3. 내형성 $고리{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$= ${\displaystyle E\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}}$( ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle R_{}}$)${\displaystyle }$) ${\$ S$=\mathrm {End}(E(R_{R})\,},}$는 반모형 고리($즉{\displaystyle }$, J${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{S}}$ ${\displaystyle )}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle \}}$ ${\$
4. 인용문 $Q{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle r{}_{}^{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle Q_{max}^{r}(R)}}$의 최대 오른쪽 링은 폰 노이만 정규이다$$.

우측 비경상성은 우측 자기 주입 링과도 강한 상호작용을 가진다.

정리:R이 우측 자가주사 링이라면 R에 대한 다음 조건은 등가물이다: 우측 비정음파, von Neumann 정규, 우측 준열대, 우측 Rickart, Baer, 반임파. (Lam 1999, 페이지 262)

논문 (젤마노위츠 1983) harv 오류: 대상 없음: CATEREFZelmanowitz1983 (도움말)은 비논술 모듈을 사용하여 시세의 최대 오른쪽 링이 일정한 구조를 갖는 반지의 등급을 특징지었다.

정리:R이 링인 경우, ${\displaystyle Q_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ a ${\displaystyle x_{}^{}}$ (${\displaystyle R}$ )$${\$displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$는 R이 비경상적이고 충실하며 균일한 모듈을 가진 경우에만 우측 전체 선형 링이다.$더욱이{\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle Q_{}^{}}$ ${\displaystyle m_{}^{}}$ a${\displaystyle {}_{}^{}}$ ( ${\displaystyle R}$)$${\$displaystyle Q_{max}^{r}(R)}$는 R이 유한한 균일한 치수의 비정규적이고 충실한 모듈을 가지고 있는 경우에만 완전한 선형 링의 유한 직접 생산물이다.

교과서

• Goodearl, K. R. (1976), Ring theory: Nonsingular rings and modules, Pure and Applied Mathematics, No. 33, New York: Marcel Dekker Inc., pp. viii+206, MR 0429962
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294

일차 출처

• Zelmanowitz, J. M. (1983), "The structure of rings with faithful nonsingular modules", Trans. Amer. Math. Soc., 278 (1): 347–359, doi:10.2307/1999320, ISSN 0002-9947, MR 0697079