자동형성군

수학에서 물체 X의 자동형 집단은 X의 자동형으로 구성된 집단을 말한다.예를 들어 X가 유한차원 벡터 공간이라면 X의 자동형성 그룹은 X에서 그 자체로(X의 일반 선형 그룹)로 변환할 수 없는 선형 변환의 그룹이다.대신 X가 그룹이라면, 그것의 자동모형 그룹 ${\displaystyle \mathrm{Auto}}$aut${\displaystyle }$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$은 X의 모든 그룹 자동화로 구성된$$ 그룹이다.

특히 기하학적 맥락에서 오토모피즘 집단을 대칭집단이라고도 한다.자동화 그룹의 하위 그룹을 변환 그룹이라고 부르기도 한다.

자동형성 집단은 범주 이론 분야에서 일반적인 방법으로 연구된다.

예

만약 X가 추가 구조가 없는 집합이라면, X로부터 그 자체로의 어떤 편향은 자동형이며, 따라서 이 경우 X의 자동형 집단은 정확하게 X의 대칭형 집단이 된다.만약 세트 X에 추가적인 구조가 있다면, 세트 상의 모든 편차가 이 구조를 보존하지 않는 경우일 수 있으며, 이 경우 오토모프리즘 그룹은 X의 대칭 그룹의 하위 그룹이 될 것이다.이에 대한 몇 가지 예는 다음과 같다.

• 필드 확장자 ${\displaystyle L}$/ K ${\displaystyle L/K}$의 자동형 그룹은 K를 고정하는 L의 필드 자동형으로 구성된 그룹이다$$.필드 확장이 갈루아인 경우, 자동형 집단을 필드 확장의 갈루아 집단이라고 한다.
• 필드 k 위에 투영된 ${\displaystyle \mathrm{n-space}}$의 자동형 그룹은 투영 선형 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{PGL}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( k${\displaystyle }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k$)이다$.$$}$^[1]
• The automorphism group ${\displaystyle G}$ of a finite cyclic group of order n is isomorphic to ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ with the isomorphism given by ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^$${a$^[2] 특히 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 아벨 그룹이다.
• 유한차원 리얼 리 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 자동형 집단은 a (실제) 거짓말 집단의 구조를 가지고$$ 있다(실제, 심지어 선형 대수 집단: 아래 참조).G가 Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 가진 Lie 그룹이라면 $G$의 자동 형태 그룹은 g ${\$ {$g}$의 자동 형태 그룹에서 유도된 Lie 그룹의 구조를 가지고 있다$.$^[3][4][a]

만약 G가 정해진 X에 작용하는 집단이라면, 그 작용은 G에서 X의 오토모피즘 그룹에 이르는 집단 동형성에 해당한다.Indeed, each left G-action on a set X determines ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$, and, conversely, each homomorphism ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ defines an action by $$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle x}$= ${\displaystyle \phi }$( g${\displaystyle }$) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\cdot$ x$=\varphi (g)x}$.이는 세트 X가 세트보다 더 많은 구조를 가지고 있는 경우로 확장된다.예를 들어, X가 벡터 공간이라면, X에서 G의 그룹 작용은 G 그룹의 그룹 표현으로, G를 X의 선형 변환(자동화)의 그룹으로 표현한다. 이러한 표현은 표현 이론 분야에서 연구의 주요 대상이다.

자동형성 그룹에 대한 몇 가지 다른 사실들이 있다.

• Let ${\displaystyle A,B}$ be two finite sets of the same cardinality and ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ the set of all bijections ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$. Then ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, which is a symmetric group (see above), acts on ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ from the left freely and transitively; that is to say, ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ is a torsor for ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ (cf.#분류론에서).
• P를 링 R 위에 정밀하게 생성된 투영 모듈로 두십시오.그런 다음 내부 자동화에 고유한 Aut ${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$) ${\displaystyle \hookrightarrow }$ ${\displaystyle {GL}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$( R${\displaystyle }$) $\displaystyle \operatorname {Aut}(P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$이 내장되어 있다$.$^[5]

범주론에서

자동형성 집단은 범주 이론에서 매우 자연스럽게 나타난다.

만약 X가 범주의 물체라면, X의 자동형 집단은 X에서 그 자체로 모든 반전형 형태들로 구성된 집단이 된다.X의 단모형 내형성 단위의 단위 그룹이다. (일부 예는 PROP을 참조한다.)

If ${\displaystyle A,B}$ are objects in some category, then the set ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ of all ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ is a left ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$-torsor.In practical terms, this says that a different choice of a base point of ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ differs unambiguously by an element of ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$, or that each choice of a base point is precisely a choice of a trivialization of the torsor.

$X$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ X$$$$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$${1},$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 그리고 F${\displaystyle }$: ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$C_{1}\to C_{2}}$ is a functor mapping ${\displaystyle X_{1}}$ to ${\displaystyle X_{2}}$, then ${\displaystyle F}$ induces a group homomorphism ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$, as it maps invertible morphisms to invertible m고아

In particular, if G is a group viewed as a category with a single object * or, more generally, if G is a groupoid, then each functor ${\displaystyle G\to C}$, C a category, is called an action or a representation of G on the object ${\displaystyle F(*)}$, or the objects ${\displaystyle F(\operatornam$$e {Obj} (G$ 그런 개체는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$ -objects$$($G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 의해 동작하므로);$$ cf라고 한다.${\displaystyle \mathbb{S}}$ ${\$ -object$$.$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) 유한 차원 벡터 공간의 범주처럼 모듈 범주라면$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -objects를$$ G ${\displaystyle G}$ -modules라고도$$ 한다.

자동형성 그룹 펑터

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 어떤 대수 구조를 갖춘 필드 k 위에 있는 유한 차원 벡터 공간(즉, M은 k에 대한 유한 차원 대수)이 되게 하라$$.예를 들어 연상 대수 또는 리 대수일 수 있다.

Now, consider k-linear maps ${\displaystyle M\to M}$ that preserve the algebraic structure: they form a vector subspace ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ of ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$. The unit group of ${\displaystyle \operatorname$${End} _{\text{alg}}(M)}$ is the automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$. When a basis on M is chosen, ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ is the space of square matrices and ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ is the zero set of some polynom이알 방정식, 그리고 반전성은 다시 다항식으로 설명된다.따라서 ${\displaystyle \mathrm{Aut}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Aut}(M)}$은 k에 대한 선형 대수 그룹이다.

이제 기지 공여가 위의 토론에 적용되는데 즉, 각 가환환을 Rk은 R-linear 매핑 M⊗ R→ M⊗ R{\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}은 대수적 구조:엔드로 나타내다 alg 보존 ⁡(M⊗ R){\displaystyle \operatorname{엔드}_{\text{alg}}(M\otimes R)고려한 functor:[6]을 결정한다.}. Then the unit group of the matrix ring ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ over R is the automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ and ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ is a group functor:k를 넘어 그룹 범주에 이르는 교환 고리 범주에서 functor더 좋은 것은, 그것은 하나의 체계로 표현된다(자동화 그룹은 다항식들에 의해 정의되기 때문에). 이 체계는 자동화 그룹 체계라고 불리며, ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$로 표시된다$.$

그러나 일반적으로 자동형성 집단의 functor는 계략으로 표현되지 않을 수 있다.

참고 항목

• 외부자동형성군
• 레벨 구조, 자동형성 그룹 제거 기술
• 홀로노미군

메모들

인용구

참조

외부 링크

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme