위상 데이터 분석

응용 수학에서 위상 기반 데이터 분석(TDA)은 위상 기법을 사용하여 데이터 집합을 분석하는 접근법이다.고차원적이고 불완전하며 노이즈가 많은 데이터 집합에서 정보를 추출하는 것은 일반적으로 어렵습니다.TDA는 선택한 특정 메트릭에 둔감한 방식으로 그러한 데이터를 분석하기 위한 일반적인 프레임워크를 제공하고 소음에 대한 차원성 감소와 견고성을 제공한다.또 현대 수학의 기본 개념인 함수성을 위상성으로부터 계승해 새로운 수학적 도구에 적응할 수 있도록 했다.

첫 번째 동기는 데이터의 형태를 연구하는 것입니다.TDA는 "모양"에 대한 수학적으로 엄격한 연구를 가능하게 하기 위해 대수 위상과 순수 수학의 다른 도구들을 결합했습니다.주요 도구는 포인트 클라우드 데이터에 대한 호몰로지 적응인 영구 호몰로지입니다.영속적 호몰로지는 여러 분야에서 다양한 유형의 데이터에 적용되어 왔습니다.게다가, 그것의 수학적 기반 또한 이론적으로 중요하다.TDA의 고유한 기능은 TDA를 토폴로지와 지오메트리 사이의 유망한 가교로 만듭니다.

기본 이론

직감

TDA는 데이터 세트의 모양에 관련 정보가 포함되어 있다는 생각을 전제로 한다.실제 고차원 데이터는 일반적으로 희박하며 관련된 저차원 특징을 갖는 경향이 있습니다.TDA의 한 가지 과제는 이 사실에 대한 정확한 특성을 제공하는 것이다.예를 들어, Lotka-Volterra^[1] 방정식에 의해 지배되는 단순한 포식자-사료 시스템의 궤적은 상태 공간에서 닫힌 원을 형성한다.TDA는 이러한 반복 ^[2]운동을 감지하고 정량화할 수 있는 도구를 제공합니다.

TDA에 사용되는 알고리즘을 포함하여 많은 데이터 분석 알고리즘은 다양한 파라미터를 설정해야 합니다.사전 도메인 지식이 없으면 데이터 세트에 대한 올바른 매개 변수 모음을 선택하기가 어렵습니다.지속적 호몰로지의 주요 통찰력은 이 엄청난 양의 정보를 이해하기 쉽고 표현하기 쉬운 형태로 인코딩함으로써 모든 매개변수 값에서 얻은 정보를 사용하는 것이다.TDA를 사용하면 정보가 호몰로지 그룹일 때 수학적 해석이 있습니다.일반적으로 광범위한 파라미터에 대해 지속되는 피쳐가 "진정한" 피쳐라고 가정합니다.이에 대한 이론적 정당성은 ^[3]불분명하지만 좁은 매개변수 범위에서만 지속되는 특징은 소음으로 추정된다.

초기 역사

지속적 호몰로지의 완전한 개념의 전조들은 시간이 ^[4]지남에 따라 서서히 나타났다.1990년에 파트리지오 프로시니(Patrizio Frosini)는 0번째 지속 호몰로지에 ^[5]해당하는 크기 함수를 도입했다.거의 10년 후, 바네사 로빈스는 ^[6]포함에 의해 유도된 동형사상의 이미지를 연구했다.마지막으로, 그 직후, Edelsbrunner 등은 지속적 호몰로지의 개념을 효율적인 알고리즘 및 지속성 다이어그램으로서의 ^[7]가시화와 함께 도입했다.칼슨 등은 초기 정의를 재구성하고 교환대수 ^[9]언어의 지속성을 해석하는 지속성 ^[8]바코드라고 불리는 동등한 시각화 방법을 제공했다.

대수적 위상학에서 영구적 호몰로지는 모르스 이론에 대한 세르게이 바라니코프의 연구를 통해 나타났다.매끄러운 모스 함수의 임계치 세트는 "탄생-사망" 쌍으로 규범적으로 분할되었고, 필터링된 복합체로 분류되었으며, 지속성 다이어그램과 지속성 바코드에 해당하는 불변량은 효율적인 계산 알고리즘과 함께 1994년 Barannik에 의해 표준 형식이라는 이름으로 기술되었다.ov.^[10][11]

개념

아래에 널리 사용되는 개념을 몇 가지 소개합니다.일부 정의는 작성자에 따라 다를 수 있습니다.

점 구름은 종종 일부 유클리드 공간에서 유한한 점 집합으로 정의되지만, 어떤 유한한 메트릭 공간으로도 간주될 수 있습니다.

점 구름의 체흐 복합체는 구름의 각 점 주위에 고정된 반경의 공 덮개의 신경입니다.

Z$(\$에 의해 색인화된 지속성 $모듈{\displaystyle \mathbb{}}$U(\$displaystyle \mathbb {U})$는 각 $(\$ t$\in$ \$mathbb {Z$에 대한 벡터 ${\displaystyle {공간}_{}}$ U$(\$${t$}) 및$$ ${\displaystyle {선형}_{}^{}}$ $맵{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(\$style$ ${\displaystyle {}_{}}$ $)$입니다$.$U_{s}\to U_{t}} 때마다 그것 ≤ t{\displaystyles\leq지},마 모든 카메라에(t=1{\displaystyle u_{t}^{t}=1}{\displaystyle지}고 너 ts너 sr)utr{\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}} 때마다 rs≤≤.{\displaystyle r\leq s\leq기} 등가 정의는[12].신중한벡터 공간의 범주에 대한 부분 순서 집합으로 간주되는$$ Z$${\$displaystyle \mathbb {Z}}$의 unctor.

포인트 클라우드의 영속적 호몰로지 ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$ PH$({displaystyle$PH$\})$는 ${\displaystyle {PH}_{}}$k${\displaystyle (X}$) $=$ ${\displaystyle h_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$k($X$ r$)$로 정의된 영속성 모듈입니다. 여기서 ${\displaystyle X_{}}$({$displaystyle$ $PH_{k$}($X_r})$는 X$(\$ H_${k$$})$ 복합체입니다.$Le$ X$}$ 및$$ $H{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ H_${k})$는 호몰로지 그룹입니다.

지속성 바코드는 R${\displaystyle$ \$mathbb${R$\}$의$$간격의 멀티셋이며 지속성 다이어그램은$\delta {\displaystyle \mathrm{}}$ {$displaystyle \Delta$$$ :${\displaystyle =}${ (${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle }$v )${\displaystyle r}$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$、 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{\backslash }$ v$=$ \ $mathbb$ （ \ $displaystyle$ : v$）$ \ displaystyle : \ mathbb ） \ in $）$의 점의 멀티셋입니다.

2개의 지속성 $다이어그램{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$와 Y$(\displaystyle$ Y$)$ 사이의$$ Wasserstein 거리는 다음과 같이 정의됩니다.

$여기$서 1 ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle p}$、 q${\displaystyle }$、$（$ \ $displaystyle$1 \ $leq$p ,$$$q$ \ $leq$ \ infty$$$$$）$ where where ${\$ $displaydisplaydisplaydisplay$ displaydisplaydisplaydisplay where$$ where where over over over over over where where where$$（ \ $displaystyle$$$X$$）와 Y$($ \ $displaystyle$ Y$）$ $사이$의 분사에 걸쳐 있습니다.그림 3.1을 참조해 주십시오.

$X($$디스플레이$ 스타일 X)와 Y($디스플레이 스타일$ Y$)$ $사이$의 병목 거리는 다음과 같습니다.

이것은 P ${\displaystyle =}$ ${\$ \ $displaystyle$ p= \ $infty$ $\}$로 하는 와세르슈타인 거리의 특수한 경우입니다.

기본 속성

구조 정리

지속적 호몰로지에 대한 최초의 분류정리는 1994년^[10] Barannikov의 표준 형태를 통해 나타났다.교환대수 언어의 지속성을 해석하는 분류정리는 2005년에 ^[9]나타났다. $필드{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle$ F$}$ 계수를$$ 갖는 최종 생성된 지속성 $모듈{\displaystyle }$C {\$displaystyle$ C$}$에 대해

직감적으로 자유 부품은 $여과{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {레벨}_{}}$ t${$에 나타나 결코 사라지지 않는 호몰로지 제너레이터에 해당하며 비틀림 부품은 여과 $레벨{\displaystyle {}_{}}$ r$$$({$$})$에 나타나 ${\displaystyle s_{}}$($또는$ s{displaystyle $s_{j$}) $단계$에 마지막인 호몰로지 제너레이터에 해당합니다.마찬가지로 여과 $레벨{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$j + ${\displaystyle r_{}}$j(\$displaystyle s_{j}+r_{j})$^[10]에서 사라집니다.

지속적 호몰로지는 바코드 또는 지속성 다이어그램을 통해 시각화됩니다.바코드는 추상 수학에 뿌리를 두고 있다.즉, 한 필드에 걸친 유한 필터 복합체의 범주는 반단순하다.필터링된 복합체는 1차원 및 2차원 단순 필터링 복합체의 직합인 표준 형태와 동형이다.

안정성.

안정성은 소음에 대한 견고성을 제공하기 때문에 바람직하다.는 단체의. 단지에homeomorphic은 만약 X{X\displaystyle}은 어떤 공간, 그리고 f, g:XR→{\displaystyle f,g:X\to \mathbb{R}}이 연속 tame[14]기능 지속성 벡터 공간{Hkm그리고 4.9초 만(f− 1([0, r]))}{\displaystyle\와 같이{H_{km그리고 4.9초 만}(f^{-1}([0,r]))\와 같이}}와{Hk(g− 1([. 0,f− g‖∞{\displaystyle W_{\infty}(D(f),D(g))\leq\lVert f-g\rVert _{\infty}}R]))}{\displaystyle\와 같이{H_{km그리고 4.9초 만}(g^{-1}([0,r]))\와 같이}}유한하게, 그리고 W∞(D(f)제시되어 있지만, D(g))≤ ‖, W({\displaystyle W_{\infty}}병목 distance[15]고 D{D\displaystyle}은 지도 정확하게 말한다. 한 co$\displaystyle$k-th$$ 호몰로지의 지속성 다이어그램에 대한 ntinuous time 함수.

워크플로우

TDA의 기본 워크플로우는 다음과 같습니다.^[16]

점운

${\displaystyle\to}$

내포 복합체

${\displaystyle\to}$

지속성 모듈

${\displaystyle\to}$

바코드 또는 다이어그램

1. X$(\displaystyle$ X$)$가 포인트 클라우드인 $경우{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$X)를$$ 단순 ${\displaystyle {복합체}_{}}$ X r$(\$r})$$ 패밀리로 $바꿉니다{\displaystyle }$(체크 또는 비에토리스-립스 복합체 등).이 프로세스는 점 구름을 단순한 복합체의 여과로 변환합니다.이 여과에서 각 복합체의 호몰로지를 취하면 지속성 모듈을 얻을 수 있습니다.
   $$\displaystyle H_{i}(X_{r_{0})\to H_{i}(X_{r_{1})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$

   
2. 구조 정리를 적용하여 Betti 번호, 지속성 다이어그램 또는 이에 상응하는 바코드의 매개변수화된 버전을 제공합니다.

그래피컬하게 말하면

계산

대수적 위상 설정에서 지속적 호몰로지를 위한 모든 필드에 걸친 첫 번째 알고리즘은 상삼각행렬에 의한 정준형으로의 축소를 통해 Barannikov에^[10] 의해 설명되었다.에델스브루너 외 ^[7]연구진이 $(\$에 대한 지속적 호몰로지를 위한 첫 번째 알고리즘을 제시했다.Zomorodian과 Carlsson은 모든 ^[9]분야에 걸쳐 지속적인 호몰로지를 계산하는 최초의 실용적인 알고리즘을 제공했습니다.Edelsbrunner와 Harer의 책은 컴퓨터 위상에 ^[18]대한 일반적인 지침을 제공합니다.

계산에서 발생하는 한 가지 문제는 복잡성의 선택이다.Chech 콤플렉스와 Vietoris-Rips 콤플렉스는 언뜻 보면 가장 자연스럽지만 데이터 포인트의 수에 따라 크기가 빠르게 커집니다.Vietoris-Rips 복합체는 정의가 더 단순하고 Chec 복합체는 일반적인 유한 메트릭 공간에서 정의하기 위한 추가 노력이 필요하기 때문에 Chec 복합체보다 선호된다.호몰로지의 계산 비용을 낮추는 효율적인 방법이 연구되었다.예를 들어 ^[19]복합체의 치수와 크기를 줄이기 위해 α복합체와 목격복합체를 사용한다.

최근 이산 모스 이론은 주어진 단순 복합체를 원래의 ^[20]복합체와 동질적인 훨씬 작은 세포 복합체로 줄일 수 있기 때문에 계산적 호몰로지에 대한 가능성을 보여주었다.이러한 감소는 실제로 복합체가 매트로이드 이론을 사용하여 구성됨에 따라 수행될 수 있으며, 추가적인 성능 향상으로 ^[21]이어집니다.또 다른 최신 알고리즘은 ^[22]지속성이 낮은 호몰로지 클래스를 무시함으로써 시간을 절약합니다.

javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, GUDHI, Ripser 및 TDAstats와 같은 다양한 소프트웨어 패키지를 사용할 수 있습니다.이 도구들 간의 비교는 Other ^[23]등에 의해 이루어졌다.Gioto-tda는 Scikit-learn API를 통해 머신러닝 워크플로우에 TDA를 통합하기 위한 Python 패키지입니다.R 패키지 TDA는 랜드스케이프 ^[24]및 커널 거리 추정기와 같은 최근 발명된 개념을 계산할 수 있습니다.Topology ToolKit는 과학적 시각화에 일반적으로 나타나는 저차원(1, 2 또는 3)의 매니폴드에 정의된 연속 데이터에 특화되어 있습니다.다른 R 패키지인 TDAstats는 영속적 호몰로지를 ^[25]계산하기 위해 Ripser 라이브러리를 구현합니다.

시각화

고차원 데이터는 직접 시각화할 수 없습니다.주성분 분석 및 다차원 ^[26]스케일링과 같이 데이터 집합에서 저차원 구조를 추출하는 많은 방법이 발명되었습니다.단, 동일한 데이터 세트에서 많은 다른 토폴로지 특징을 찾을 수 있기 때문에 문제 자체의 위치가 잘못되었다는 점에 유의해야 합니다.따라서, 고차원 공간의 시각화에 대한 연구는 TDA에 있어 반드시 영구 호몰로지의 사용을 수반하지는 않지만, 중심적으로 중요하다.그러나 최근 데이터 ^[27]시각화에 영구 호몰로지를 사용하려는 시도가 있었다.

칼슨 외MAPPER라고 ^[28]불리는 일반적인 방법을 제안했습니다.커버가 호모토피를 ^[29]유지한다는 Serre의 생각을 계승하고 있습니다.MAPPER의 일반적인 공식은 다음과 같습니다.

X$(디스플레이 스타일$ X$)$와 Z$(디스플레이 스타일$ Z$)$를 위상 공간, f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$ $(디스플레이 스타일$ f$:X\to$ Z$)$를 연속 맵으로 $합니다{\displaystyle }$.U $=$ { ${\displaystyle U_{}}$ α ${\displaystyle {}_{}{}_{\alpha a}}$ A$${\$displaystyle \mathbb {U}$ =\{$U_{\alpha$}\}$_{\alpha \in$ A$}$를 Z$${\$displaystyle$ Z$\}$의 유한 열린 피복이라고 $하자{\displaystyle \mathbb{}}$.MAPPER의 출력은 $풀백커버$M ($U$ ,$$f ) : $=N$ (${}^{}$ -${}^{}{1}^{}$ ($U\mathbb{}$)$$\ $textstyle$ M ( \ $mathbb { U$} , f$$)의 신경입니다.=$N(f^{-1}(\mathbb$ {U$\}))\}\}\}),$ 각 초기 이미지가 연결된 ^[27]구성요소로 분할됩니다$.$이것은 매우 일반적인 개념으로, 리브 그래프와 병합 트리는 특별한 경우입니다.

이것은 본래의 ^[28]정의가 아니다.Carlsson 등. Z$(style$ Z$)$를 R$(\$ $또는$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$2(\$displaystyle \mathbb {R}$^{$2$로 $선택$하고 최대 2개가 ^[3]교차하도록 열린 세트로 덮습니다.이 제한은 출력이 복잡한 네트워크 형식임을 의미합니다.유한점 구름의 토폴로지는 단순하기 때문에 MAPPER를 실제 데이터에 적용할 때 클러스터화 방법(단일 링크 등)을 사용하여 $프리이미지{\displaystyle {}^{}{\mathrm{f}}^{}}$ - 1${\displaystyle }$($)$ {\$display f^{-1}(U$)}에서$$ 연결된 세트의 아날로그를 생성한다.

수학적으로 말하자면, MAPPER는 리브 그래프의 변형이다.$M(U\mathbb{}$ ,$f$)(\$textstyle$ M$(\mathbb {U}$ , $f))$이 최대 1차원일 경우 각 $i{\displaystyle 0}$0(\$display$ i$\geq$ 0$)$에 대해

^[31] 유연성이 더해진다는 단점도 있다.한 가지 문제는 불안정성입니다.커버 선택의 일부 변경으로 ^[32]알고리즘의 출력이 크게 변경될 수 있습니다.이 ^[27]문제를 극복하기 위한 작업이 이루어졌다.

MAPPER의 성공적인 세 가지 적용은 Carlsson 등에서 ^[33]확인할 수 있다.J. Curry의 이 논문의 응용 프로그램에 대한 코멘트는 "응용 프로그램의 공통 관심사는 플레어 또는 텐드릴의 ^[34]존재"입니다.

MAPPER의 무료 구현은 Daniel Mullner와 Aravindakshan Babu가 작성한 온라인에서 이용할 수 있습니다.MAPPER는 Ayasdi의 AI 플랫폼의 기반도 형성하고 있습니다.

다차원 지속성

다차원 지속성은 TDA에 중요합니다.그 개념은 이론과 실제 모두에서 발생한다.다차원 지속성에 대한 최초의 조사는 TDA의 개발 초기에 있었다.^[35] Carlsson-Zomordian은 Singh와 협력하여 다차원 지속성의 이론을 도입했고, 기호 대수(Grobner basis methods)에서 MPH 모듈 계산에 도구를 사용했다.이들의 정의는 n개의 변수에서 다항식 링에 대한 Z^n 등급 모듈로서 n개의 매개변수로 다차원 지속성을 나타낸다.교환대수 및 호몰로지 대수의 도구는 ^[38]해링턴-오터-센크-틸먼의 작업에서 다차원 지속성 연구에 적용된다.문헌에 등장하는 첫 번째 응용은 ^[39]TDA의 발명과 유사한 형태 비교 방법이다.

${\displaystyle {}^{}}$n \$displaystyle \mathbb {R}^{n}$의^[34] n차원 지속성 모듈의 정의는 다음과 같습니다.

• 벡터 $공간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ s$({$})는 s ${\displaystyle =}$ ( ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$. , s${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$) { $displaystyle$ s = ( s $_$ ${$1} , $s _$ { $n$} )의 각 지점에 할당됩니다.
• $map{\displaystyle {}_{}^{}}$s ${\displaystyle {}_{}^{}}$ : ${\displaystyle V_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ t$$\ $displaystyle \rho$_ { $s$}^{$$$t$ :$V_{s}\to$ V_${t}$는 s $≤$ ${\displaystyle t}$ { ${\displaystyle {displaystyle}_{}}$$$s \$leq$ t$$} ( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle }$. ,${\displaystyle n}$) { $displaystyle s$_ { $i$} \$leq$ t$_$ {$i$ , i$$=$$1, $...$n )인 $경우$에 할당됩니다.
• 맵은 모든 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\$ {\ $tr$ t에 ${\displaystyle {대해}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ r t $=$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}{tr}_{}^{}}$ s $r s$ _${r}^{t}=\rho _{s}^{s}\$$display style$$$r$\leq$ s$\leq$ t$}$를 충족합니다.

다차원 ^[34]지속성의 정의에 대한 논란이 있다는 것을 주목할 필요가 있다.

1차원 지속성의 장점 중 하나는 다이어그램이나 바코드로 나타낼 수 있다는 것입니다.그러나 다차원 지속성 모듈의 이산 완전 불변량은 ^[40]존재하지 않는다.이것의 주된 이유는 최종 n차원 지속성 모듈은 크룰-슈미트 ^[42]정리에 의해 독특하게 분해될 수 있지만, 파동 ^[41]표현 이론의 가브리엘 정리에 의해 분해되지 않는 것의 집합 구조가 매우 복잡하기 때문이다.

그럼에도 불구하고, 많은 결과들이 확립되었다.칼슨과 조모로디언은 등급 불변량${\displaystyle {}_{}{m}_{}}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ $){$ $displaystyle \rho$ _${M}$ ($u$, v )$=$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$k ( ${\displaystyle {xu}^{}}$ -${\displaystyle {}^{}}$v : ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$v $){$ $displaystyle \rho$ _${M}$ (u , v ){ $mathv }$ ( mathv ) {$rank$} {rank } { displaystylang } 로 정의된 순위 불변량 $\}$를 도입했다.$M_{u}\to$ M_${v$ $여기$서 M$\displaystyle$M은$$ 최종 생성된 n-graded 모듈입니다.한 차원에서는 바코드와 동일합니다.문헌에서 순위 불변량은 종종 영구 베티 수(PBN)^[18]로 언급된다.많은 이론적인 작품에서, 작가들은 하위 수준 집합의 지속성으로부터 유추된 보다 제한된 정의를 사용해 왔다.구체적으로 $함수{\displaystyle }$f : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$k {\$displaystyle$ f$:X\to$ \$mathrm {R}$^{$k}$의 지속성 베티 수치는 $함수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$f : ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$+$$ ${\displaystyle N\mathrm{}}$ \$displaystyle$ _${f:$$\Delta ^{+}\to \mathrm {N}$。각각 $({\displaystyle u,}$ $v$display${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ display display$$displaydisplay + \ $displaystyle (u,$ v$)\in$${\displaystyle {}_{}}$$\Delta ^{+}$ ~${\displaystyle {\beta }_{}}$ (${\displaystyle u,v}$ ) : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle r\mathrm{k}}$ (${\displaystyle X}$ ( f${\displaystyle u)}$ （ f ${\displaystyle ）}$\$display$ v$$） $stylangu$ ） _ display v ) style 。$=\mathrm${rank$}(H(X(f\leq u$)\$to H(X(f\leq$v$)))\},$ 여기서${\displaystyle {}^{}}\delta {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ +$=$ { $u$,${\displaystyle }$v${\displaystyle }$) ${\displaystyle r\mathbb{}}$R ×${\displaystyle }$R :$u v$ { display $style$ \Delta $^{+}$ :\{$u,v} \mathbbb$ {$times })$$=\{x\in X:f(x$)\$leq$u$\backslash \}.$

기본적인 특성으로는 단조로움과 대각선 ^[43]점프가 있습니다.X(\$displaystyle$ X$)$가 $(\$^[44]의 콤팩트하고 로컬로 수축 가능한 부분 공간인 $경우{\displaystyle }$ 영속적인 Betti 수는 유한합니다.

K차원 PBN은 폴레이션 방식으로 차원 연산에 ^[45]의해 1차원 PBN 패밀리로 분해될 수 있다.다차원 PBN이 ^[46]안정적이라는 증거도 나왔다.PBN의 불연속은 포인트$({\displaystyle u,}$ $v$ display v )에서만 발생합니다$.여기$서$u$${\displaystyle \{}$$displaystyle$$$$u}$는$a{\displaystyle {}_{}{M}_{}}$의 불연속점( of${\displaystyle ,}$ $)$ 또는 v${displaystyle$$$v${\displaystyle \}}$는 $u$의 불연속점( ${\displaystyle \mathrm{of}}$, v$)$입니다.$$ f${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {C\mathrm{}}^{}}$0 (${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle {}^{}}$) {\$displaystyle$ f$\in$ C$^{0}(X,\mathrm {R}$^{$k})$ $및$ X {\$displaystyle$ X$}$가 콤팩트하고 삼각형으로 분할 가능한 위상 ^[47]공간이라고 가정한다.

영속적인 공간은 영속적인 다이어그램의 일반화이며, 다중도가 0보다 크고 ^[48]대각선이 있는 모든 점의 다중 집합으로 정의됩니다.PBN의 안정적이고 완전한 표현을 제공합니다.칼슨 등의 지속적인 연구는 지속적 호몰로지의 기하학적 해석을 제공하려고 하고 있으며, 이는 기계 학습 이론을 위상 데이터 ^[49]분석과 결합하는 방법에 대한 통찰력을 제공할 수 있다.

다차원 지속성을 계산하는 최초의 실용적인 알고리즘은 매우 일찍 ^[50]발명되었다.그 후, 이산 모스^[51] 이론과 유한 ^[52]표본 추정과 같은 개념에 기초한 다른 많은 알고리즘이 제안되었다.

기타 지속성

TDA의 표준 패러다임은 종종 하위 수준 지속성이라고 한다.다차원적 지속성 외에도, 이 특별한 경우를 확장하기 위해 많은 작업이 수행되었습니다.

지그재그 끈기

지속성 모듈의 제로 이외의 맵은 카테고리의 사전 순서 관계에 의해 제한됩니다.그러나 수학자들은 방향의 만장일치가 많은 결과에서 필수적인 것은 아니라는 것을 발견했다."철학적 요점은 그래프 표현의 분해 이론이 그래프 가장자리의 방향과 다소 독립적이라는 것입니다."^[53]지그재그 끈기는 이론적인 측면에서 중요하다.기능성의 중요성을 설명하기 위해 Carlsson의 리뷰 페이퍼에 제시된 예들은 기능성의 특징 ^[3]중 일부를 공유합니다.

지속성 및 레벨셋 지속성 향상

함수의 ^[54]엄격한 제한을 해제하려는 시도도 있습니다.자세한 내용은 분류 및 코스히브 및 수학에 미치는 영향 섹션을 참조하십시오.

지속성 호몰로지를 코호몰로지 및 상대 호몰로지/코호몰로지 ^[55]등 대수적 위상학의 다른 기본 개념으로 확장하는 것은 자연스러운 일입니다.흥미로운 애플리케이션은 첫 번째 영구 코호몰로지 ^[56]그룹을 통해 데이터 세트에 대한 원형 좌표를 계산하는 것입니다.

원형 지속성

정상 지속성 호몰로지는 실제 값 함수를 연구합니다.Dan Burghelea 등에 ^[57]기술된 바와 같이, "원 값 맵의 지속성 이론은 스칼라 필드의 표준 지속성 이론과 같이 일부 벡터 필드에 대해 역할을 할 것을 약속한다"는 원 값 맵이 유용할 수 있다.주요 차이점은 (선형 대수학에서 조던 블록과 형식이 매우 유사) 원 값 함수에서 중요하지 않다는 것이며, 실제 값의 경우 0이 될 수 있으며, 바코드와 결합하면 적당한 ^[57]조건에서 길들여진 맵의 불변성을 제공한다.

그들이 사용하는 두 가지 기술은 모르스-노비코프^[58] 이론과 그래프 표현 ^[59]이론이다.최신 결과는 D에서 확인할 수 있습니다.Burghelea et al.^[60]예를 들어, 변조 요건은 훨씬 약한 조건인 연속적인 것으로 대체될 수 있습니다.

비틀림이 있는 지속성

구조 정리의 증명은 기본 도메인이 필드인 것에 의존하기 때문에 비틀림과의 지속성 호몰로지에 대한 많은 시도가 이루어지지 않았다.Frosini는 이 특정 모듈에 의사측량을 정의하여 안정성을 ^[61]증명했습니다.그것의 참신함 중 하나는 측정 ^[62]기준을 정의하기 위해 어떤 분류 이론에 의존하지 않는다는 것이다.

분류 및 코스히브

범주 이론의 한 가지 장점은 구체적인 결과를 더 높은 수준으로 끌어올려 연결되지 않은 것처럼 보이는 물체 사이의 관계를 보여주는 능력입니다.Bubenik ^[63]등은 TDA에 적합한 범주 이론을 간략하게 소개합니다.

범주 이론은 현대 대수학의 언어이며 대수 기하학과 위상학 연구에 널리 사용되어 왔다."의 주요 관찰 사항은 에 의해 생성된 지속성 다이어그램이 이 ^[64]다이어그램에 의해 전달되는 대수 구조에만 의존한다는 것이다."TDA에서의 범주 이론의 사용은 성과가 ^[63][64]있는 것으로 판명되었다.

표기 Bubenik에서 만들어진(al.,[64]인덱스 작업 범주 P{P\textstyle}은preordered 세트(반드시 N{\displaystyle \mathbb{N}}또는 R{\displaystyle \mathbb{R}})를 거쳐 일반적으로 사용된 VectF{\text 대신 대상 카테고리 D의{D\displaystyle} 있는 범주(.styl$e \mathrm {Vect} _{\mathbb {F}$}}$$ ) 및 함수 $P$ $\to$(\$textstyle$P\$to$ D$)$는$$D$(\displaystyle$ D$)$에서 일반화 지속성 모듈(\$textstyle$ P$)$이라고 합니다.

TDA에서 범주 이론을 사용하는 한 가지 장점은 개념에 대한 명확한 이해와 증거 사이의 새로운 관계를 발견하는 것입니다.두 가지 예를 들어 설명하겠습니다.매칭은 초기에 사용된 방법이었기 때문에 인터리빙과 매칭의 대응에 대한 이해는 매우 중요하다.연구의 요약은 Vin de Silva 등에서 ^[65]확인할 수 있다.보다 직관적인 ^[62]환경에서 많은 정리를 훨씬 쉽게 증명할 수 있습니다.또 다른 예로는 점구름과 다른 복합체 구성 간의 관계를 들 수 있습니다.Chech와 Vietoris-Rips 콤플렉스가 관련이 있다는 것은 오랫동안 알려져 왔다.$구체적$으로는 ${\displaystyle V_{}}$r (${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$c ${\displaystyle {C\sqrt{\mathrm{}}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}{r}_{}}$ (${\displaystyle X}$ )${\displaystyle }$v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{r}_{}}$ (${\displaystyle X}$ $)\$ $displaystyle V_{r}(X)\sqrt${2$}r}(X$)\$subset V_${2r}($X$^[66]subset V_{2r$}(X)$Cech와 Rips 콤플렉스 사이의 본질적인 관계는 범주형 ^[65]언어에서 훨씬 더 명확하게 볼 수 있다.

범주 이론의 언어는 또한 더 넓은 수학 공동체가 인식할 수 있는 용어로 결과를 도출하는 데 도움을 줍니다.병목 거리는 병목 ^[12][15]거리에 대한 안정성 결과 때문에 TDA에서 널리 사용됩니다.실제로 인터리빙 거리는 프라임 ^[62][67]필드 내의 다차원 지속성 모듈 상의 안정적인 메트릭의 포지트 카테고리에 있는 단말 객체입니다.

현대 대수기하학의 중심 개념인 시브스는 본질적으로 범주 이론과 관련이 있다.대략적으로 말하면, 시브는 지역 정보가 글로벌 정보를 어떻게 결정하는지 이해하기 위한 수학적 도구이다.Justin Curry는 레벨 세트 지속성을 연속 기능의 섬유에 대한 연구로 간주합니다.그가 연구한 물체는 MAPPER의 물체와 매우 유사하지만 이론적인 ^[34]기초가 되는 다발 이론이다.TDA 이론의 돌파구는 아직 층이론을 사용하지 않았지만, 층이론과 관련된 대수기하학에는 아름다운 이론이 많기 때문에 유망하다.예를 들어, 자연 이론적인 질문은 다른 여과 방법이 같은 ^[68]결과를 낳는지 여부입니다.

안정성.

실제 데이터에는 노이즈가 있기 때문에 데이터 분석에는 안정성이 매우 중요합니다.범주 이론의 사용법에 따르면, Bubenik 등.소프트 안정성 이론과 하드 안정성 이론을 구별하고 소프트 케이스가 ^[64]형식적이라는 것을 증명했다.구체적으로 TDA의 일반적인 워크플로는

데이터.

${\displaystyle {\stackrel {F}{\longright arrow }}$

위상 지속 모듈

${\displaystyle {H}{\longright arrow }}$

대수 지속 모듈

${\displaystyle {J}{\longright arrow }}$

이산 불변량

연안정성 정리는 $(디스플레이 스타일$ HF$)$가 립시츠 연속이라고 $주장$하고, 강안정성 정리는 J$(디스플레이 스타일$ J$)$가 립시츠 연속이라고 $주장$한다.

병목 거리는 TDA에서 널리 사용됩니다.등각정리는 인터리빙 $거리{\displaystyle {}_{}}$ $($$디스플레이$ 스타일 $d_${)를 주장한다.I$}}$은 병목거리와 같습니다.^[62]부베닉 등P$(\textstyle$ P$)$에 준선형 투영 또는 초선형 ^[64]패밀리가 장착되어 있는 $경우$ F${\displaystyle ,G}$ : P ${\displaystyle \to }$ $(\displaystyle$ F$,G:P\to$ D$)$ 펑터$$ $사이$의 정의로 추상화하였다.인터리빙 ^[69]거리의 훌륭한 특성을 고려하여, 여기서는 인터리빙 거리의 일반적인 정의를 소개한다(처음 소개한 것이 아니라).^[12]$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$、 ${\displaystyle K\mathrm{tn}}$ ${\displaystyle {s\mathrm{}}_{}}$P \ $displaystyle$\ $Gamma$, K $\ in$ \ $mathrm${$Trans$_ {$P}}$(모든 $x$ $P$에 대해 단조롭고 x${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ (${\displaystyle x}$ $)$를 $만족$하는 P$(\$$textstyle$ P$)$ ~$$P(\$textstyle$ P$)$의 함수입니다.\$style$ x$\leq$ $\Gamma ( x$ $$) 。A${\displaystyle }$(${\displaystyle \gamma }$$$,${\displaystyle }$K )$${ $displaystyle$( \ $Gamma$, $K$) } - F$$${\displaystyle }$γ G$$ \ $displaystyle$ \$varphi$ \$right$ F \ $Gamma$}${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle :}$ ${\displaystyle G}$$$⇒ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ $style$ F KDisplay \ $\$\ \ \ \ a a \ \ \ \${\displaystyle }$$a$ a \ \ \ \ \ a a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $a{\displaystyle }$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nd${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{\gamma \gamma }}$) $=$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathrm{\eta displayK}}_{}}$\ $displaystyle$( \ $varphi$\ $Gamma$ )= \$psi$ G$\eta$ _ { \ $Gamma$ K$$}$$。

두 가지 주요 결과는^[64] 다음과 같습니다.

• P$(\textstyle$ P$)$를 준선형 투영 또는 초선형 패밀리와 함께 사전 주문 집합으로 $합니다$.$Let$ H$$: $D$ $\to$ { $textstyle$H : }$D\$$to$$$E는$$ 임의의 $카테고리$ D$,$$$ $사이$의 함수입니다.그러면 2개의 $함수$F,$$G:$P$ $\to$ $(\$$textstyle$ F,$G:P\to$ D$)$에 대해 D${}_{}H$ F$,$ $H$ G$)$ $\le$ $G_style$ D$)$가 $.$
• P$(텍스트 스타일$ P$)$를 메트릭 $공간$ Y$(텍스트 스타일$ Y$)$의 포셋으로 하고 X$(텍스트 스타일$ X$)$를 위상 공간이라고 $합니다$.f$,$ $g$: $X$ $\to$ {$textstyle$ f$,g:X\to$Y}($$꼭 연속적이지는 않음)를 함수, F$$,$$ {$textstyle$ F$,G}$를 대응하는 지속성 다이어그램으로 $$.${\displaystyle {다음}_{}}$으로 d${\displaystyle {}_{}I}$ (${\displaystyle }$F ,${\displaystyle G}$ ${\displaystyle )\le }$ ${\displaystyle {}_{}{(\mathrm{}}_{}}$ d ${\displaystyle （f}$ , ${\displaystyle g}$ ) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ x ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$Y (${\displaystyle f}$ (${\displaystyle x}$) ,${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$ )$$\ $displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty$}($f,g)$ :$=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g($x$)\}).$

이 두 결과는 지속성의 다른 모델의 안정성에 대한 많은 결과를 요약합니다.

다차원 지속성의 안정성 정리는 지속성의 하위 섹션을 참조하십시오.

구조 정리

구조 정리는 TDA에 있어서 가장 중요하다; G. 칼슨이 언급했듯이, "위상 공간 사이의 판별자로서 호몰로지를 유용하게 만드는 것은 완전히 생성된 아벨 ^[3]그룹에 대한 분류 정리가 있다는 사실이다." (완전히 생성된 아벨 그룹의 기본 정리를 참조).

원래 구조 정리의 증명에 사용된 주요 인수는 주요 이상 ^[9]영역에 걸쳐 최종적으로 생성된 모듈에 대한 표준 구조 정리이다.단, 인덱스 세트가${\displaystyle }$(${\displaystyle R\mathbb{}}$, "$$)${\displaystyle }${$displaystyle (\mathbb {R}$ ,\$leq )$인$$^[3]경우 이 인수는 실패합니다.

일반적으로 모든 지속성 모듈을 ^[70]간격으로 분해할 수 있는 것은 아닙니다.원래의 구조 ^{[clarification needed]}정리의 제한을 완화하기 위한 많은 시도가 있었다.$R의$$$국소 유한 $서브셋$에 의해 색인화된 점 단위 유한 차원 지속성 모듈의 경우는 ^[71]Webb의 연구를 기반으로 해결된다$.$가장 주목할 만한 결과는 Crawley-Boevey에 의해 수행되며, 이는 R$\$의 $경우$를 해결했습니다. Crawley-Boevey의 정리는 모든 점별 유한 차원 지속성 모듈은 간격 ^[72]모듈의 직접 합입니다.

그의 정리의 정의를 이해하기 위해서는 몇 가지 개념을 도입할 필요가 있다.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$, ${\displaystyle )}$) { $displaystyle$( \ $mathbb$${ R$$$ , \$leq )$의 간격은 r${\displaystyle }$, ${\displaystyle ti}$I \ $style$\$display$ r , ${\displaystyle t}$$$\ $in$I \ mathbb$$${ R$$$${\displaystyle }$$}$의 $속성$을 가진 $서브셋I$ 로 정의됩니다${\displaystyle .}$$암탉도 마찬가지입니다$$.$인터벌 $모듈{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ I$${ $display style$ k$$_ {$I$$}}$ 각$$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$에 벡터 $공간{\displaystyle }$k(\$displaystyle$$$s$\$$in$I)를$$$$ 할당하고 0 벡터 공간을 R$(\$$displaystyle$$\mathbb {R}$ \$setminus$ I$)$ ${\displaystyle \mathrm{요소}}$에 할당합니다$.$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$은${\displaystyle }$t$\$가 아닌 한 0 맵입니다${\displaystyle .}$${\displaystyle s}$ ${\$ ${\displaystyle t}$ \ $displaystyle$s \ $leq$ t$。$이 경우 ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$t \ $displaystyle \rho$_ {$s$}^{$t}$는 아이덴티티 ^[34]맵입니다.인터벌 모듈은 ^[73]호환성이 없습니다.

크롤리-보비의 결과는 매우 강력한 정리이긴 하지만, 여전히 q-tame ^[70]사례로 확장되지는 않는다. 모듈은 모든 s$<\$$displaystyle$\$rho$_${s}^{t}$의 순위가 유한한 경우 q-tame이 됩니다.포인트 단위로 ^[74]유한하지 못한q-tame 지속성 모듈의 예가 있습니다.그러나 하나의 지수 값에만 존재하는 특징을 ^[73]제거해도 유사한 구조 정리가 여전히 유지되는 것으로 밝혀졌다.이것은 유한 순위 ^[75]조건으로 인해 각 지수 값에서 무한 치수 부품이 지속되지 않기 때문입니다.공식적으로 관측 가능한 $범주{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{O}}$ b${\displaystyle$ \$mathrm${Ob$}$는 ${\displaystyle \mathrm{Pe}}$ s / ${\displaystyle \mathrm{E}}$ p h$${$displaystyle$ \$mathrm${Pers} / $\mathrm$ {Eph} $\}$로 정의되며, ${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 ${\displaystyle \mathrm{Ep}}$h {$displaystyle$\$m$${Eph}$}은 ${\displaystyle \mathrm{Pe}}$$$r s style {pers$}$의 $전체{\displaystyle \mathrm{}}$ 하위 범주를 나타냅니다.${\displaystyle {}_{}^{}}$ <$t$\ $display style$ s< ^[73]t } $=$ $0$ { \ $displaystyle$ \ $rho$_ {$s }^{$ t = }。

$여기$에 나열된 확장 결과는 지그재그 지속성에는 적용되지 않습니다$.$ 지그재그 지속성 모듈의 유사성이$R(\displaystyle$ \mathbb {R$})$ $위$에 있는 것은 바로 알 수 없기 때문입니다.

통계 정보

실제 데이터는 항상 유한하기 때문에 그 연구는 확률성을 고려해야 한다.통계 분석을 통해 랜덤 노이즈에 의해 도입된 아티팩트에서 데이터의 진정한 특징을 분리할 수 있습니다.영속적 호몰로지에는 낮은 확률의 특징과 높은 확률의 특징을 구별하는 고유한 메커니즘이 없습니다.

통계를 위상 데이터 분석에 적용하는 한 가지 방법은 점 구름의 위상 특징에 대한 통계적 특성을 연구하는 것입니다.무작위 단순 복합체 연구는 통계 위상에 대한 통찰력을 제공한다.K. Turner ^[76]등은 이러한 맥락에서 연구의 요약을 제공한다.

두 번째 방법은 지속성 공간의 확률 분포를 연구하는 것입니다.영속 $공간{\displaystyle {}_{}}$ B ${\$ （ \ $display$ $style$B _ { \ infty $}$ ） ${\displaystyle \underset{}{n}}$ $、{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ B /$（$ \ $displaystyle$\ $coprod _$ {$n$} / { \ $backsim }$。${\displaystyle {Bn}_{}}${ $displaystyle$ $B$_ { $n$$$} } the$$$$、 ${\displaystyle {}_{}}$ and and ${\displaystyle {and\mathrm{}}_{}}$、 ${\displaystyle {}_{}}$ y${\displaystyle 。}$${\displaystyle {}_{}{}_{}]}$ , ${\displaystyle ...}$ ,${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle x_{}}$ n , y n${\displaystyle {}_{}}$]${\displaystyle \{}$ { {${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{1\mathrm{}}_{}}$ , ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}]}$, [ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ , y ${\displaystyle 2_{}{}_{}]}$ , ${\displaystyle ...}$, [ ${\displaystyle {}_n{}_{}}$-${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$] $、$ { $display$ style \ { $x _$ {$1$} , [ $x _$ { 2 } , $y _$ {$}$ , \$ldots$, [ $x_n$} \ $sim${ n $}$이 공간은 매우 복잡합니다.예를 들어 병목현상 메트릭에서는 완전하지 않습니다.그것을 연구하기 위한 첫 번째 시도는 Y에 의한 것입니다.Mileyko ^[78]등이 문서의 지속성 $다이어그램{\displaystyle {}_{}}$ $(\$ 공간은$$ 다음과 같이 정의됩니다.

여기서$({displaystyle$ \$Delta$$})$는 $R2$의 대각선입니다({$displaystyle \mathbb {R}^{p$ $({$는 완전하고 바세르슈타인 $메트릭{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle W_{}}$ p${\displaystyle {}_{}{\underset{}{u}}^{},}$ ${\displaystyle {\underset{}{v)}}^{}=({\underset{}{inf\in ,}}^{}}$ v ×${\displaystyle {{}_{}}^{}}$)로 분리할 수 $있습니다{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\underset{}{}{}_{}}^{}}$${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left$(\$in\Gamma(u,v$)}\$int$_{\$mathbb${X}$$\times \$mathbb${X} \$rho ^{p}(x,y),\mathrm${d} \d} \$light$ ($x,y)^{1/p$},\p},\p},\p$\},\backslash$p},\p},\p},\p},\p},\in,\p},\p},\p$},\$이를 통해 많은 통계 도구를 TDA로 이식할 수 있습니다.귀무 가설 유의성 검정,^[79] 신뢰 ^[80]구간 및 견고한^[81] 추정치에 대한 작업이 주목할 만한 단계입니다.

세 번째 방법은 정보 구조라고 불리는 확률론적 공간 또는 통계 시스템의 코호몰로지를 직접 고려하는 것이며, 기본적으로 3중($display$ $, π$, Pi,$P),$ 표본 공간, 랜덤 변수 및 확률 ^[82][83]법칙으로 구성된다.랜덤 변수는 파티션 격자(δ$$ \$displaystyle \Pi$ _${n})$에서 n개의 원자 확률(확률 (n-1)-199x, ${\displaystyle \delta \mathrm{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle n}$\$displaystyle \Omega =n$의 파티션으로 간주된다.측정 가능한 함수의 랜덤 변수 또는 모듈은 코체인 복합체를 제공하는 반면, 코바운더는 조건화 작용을 실행하는 왼쪽 작용과 함께 Hochchchsild에 의해 처음 발견된 일반적인 호몰로지 대수로서 간주됩니다.첫 번째 코사이클 조건은 첫 번째 코호몰로지 클래스로서 유일한 승수인 샤논 엔트로피까지 도출할 수 있는 엔트로피의 연쇄 규칙에 대응합니다.변형된 좌뇌 작용에 대한 고려는 탈리스 엔트로피들에게 프레임워크를 일반화한다.정보 코호몰로지는 링형 토포스의 예입니다.다변량 k-상호정보는 공경계식에 나타나며, 공경계의 소멸은 통계적 독립성을 ^[84]위한 동등한 조건을 제공한다.시너지라고도 불리는 상호 정보의 최소화는 동질적 링크와 유사한 흥미로운 독립 구성을 일으킵니다.조합의 복잡성 때문에 코호몰로지 및 정보 구조의 단순한 하위 사례만 데이터에 대해 조사되었습니다.데이터에 적용되는 이러한 코호몰로지 도구는 다변량 ^[85]사례에서 마르코프 사슬과 조건부 독립성을 포함한 통계적 의존성과 독립성을 수량화한다.특히, 상호 정보는 비선형 통계 의존성에 대한 상관 계수와 공분산을 일반화한다.이러한 접근법은 독립적으로 개발되었으며 지속성 방법과 간접적으로만 관련이 있지만, Chech co를 구축하기 위해 상호 정보 함수와 집합의 유한 측정 가능 함수 사이의 일대일 대응 관계를 설정하는 Hu Kuo Tin 정리를 사용하여 간단한 경우에 대략 이해할 수 있다.mplex 스켈레톤정보 코호몰로지는 무작위 변수와 정보 사슬 ^[87]규칙의 복합에 의해 구조와 학습 알고리즘이 부과되는 신경과학(신경 집합 이론과 질적 인지),^[86] 통계 물리학 및 심층 신경 네트워크의 관점에서 몇 가지 직접적인 해석과 적용을 제공합니다.

Peter Bubenik에 의해 도입된 지속성 배경은 바코드를 표현하는 다른 방법으로, ^[88]통계 분석에 더 순응합니다.$영속{\displaystyle }$ 모듈$$M의 지속성 풍경(\$displaystyle$ M$)$은 ${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle }$N × ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle R\stackrel{}{\mathbb{}}}$ ${\$ \ $displaystyle$ \$da$: \ $mathbb { R$} \ times \ $mathbb${$R$${\displaystyle \}}$ \ $to$\$bar$\ $mathbb {$R${\displaystyle }$}$$,${\displaystyle t}$: ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sup }$ - ${\displaystyle {t\beta }^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$β m β${\displaystyle }$로 정의됩니다.$=\sup(m\geq 0\mid$ \mid ^{$t-m,t-m}\geq$k$\}.$ $여기$서 R${\$ {$displaystyle \ mathbb$ { R$}$는 확장된 $실선$을 ${\displaystyle {나타내며\beta }^{}}$ a${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathrm{di}}$ ${\displaystyle \mathrm{m}}$ (${\displaystyle m}$ ( m${\displaystyle }$( a${\displaystyle }$≤${\displaystyle b}$)$$) ) $)\display style$ \ $myle ^$ { a$=$$$dimb = $dimb$ }$rm$ { dim k } { dim } { dim } { dim }$rm$}바코드 표현(안정성, 쉬운 표현 등)의 관련성. 그러나 통계 수량은 쉽게 정의할 수 있으며 Y의 몇 가지 문제점도 있다.Mileyko et al.의 ^[78]업적, 예를 들어 기대의 비독특성을 극복할 수 있다.지속성 환경을 사용한 계산을 위한 효과적인 알고리즘을 사용할 ^[89]수 있습니다.또 다른 접근법은 이미지, 커널 및 코커널의 ^[90]퍼시스텐스라는 수정된 퍼시스텐스를 사용하는 것입니다.

적용들

응용 프로그램의 분류

TDA의 적용을 분류하는 방법은 여러 가지가 있다.아마도 가장 자연스러운 방법은 분야별일 것이다.성공적인 응용 프로그램의 매우 불완전 목록[91]데이터 skeletonization,[92]모양 study,[93]그래프 reconstruction,[94][95][96][97][98]이미지 분석 disease,[102][103]센서 network,[66]신호 analysis,[104]우주 web,[105] 복잡한 network,[106][107][108][109]프랙탈geometry,[1의[99][100]material,[101]추이 분석이 포함된다.전염성의 네트워크 ,[112]박테리아에 10-RSB- 바이러스 evolution,[111]전파 분류 몰을 이용해환경분광학,^{[113] [114]}물리분광학에서의 초분광 이미징, 원격감지 및 특징선택.^[116]

또 다른 방법은 G. 칼슨의 ^[77]기술을 구별하는 것입니다.

하나는 데이터의 상동적 불변성을 연구하는 것이고, 다른 하나는 데이터 점 자체가 기하학적 구조를 갖는 데이터베이스의 연구에서 상동적 불변성을 사용하는 것이다.

응용 프로그램의 TDA 특성

TDA의 최근 적용에는 다음과 같은 몇 가지 주목할 만한 흥미로운 특징이 있습니다.

1. 수학의 여러 분과에서 가져온 도구들을 결합하는 것.대수와 위상학의 명백한 필요성 외에도, 편미분 방정식,^[117] 대수 기하학,^[40] 표현 이론,^[53] 통계학, 조합론, 그리고 리만^[75] 기하학은 모두 TDA에서 사용되었습니다.
2. 정량적 분석.호모토피에서는 많은 개념이 불변하기 때문에 토폴로지는 매우 부드러운 것으로 간주됩니다.그러나 영구 토폴로지는 토폴로지 특성의 탄생(외관)과 사망(외관)을 기록할 수 있으므로 추가 기하학적 정보가 여기에 포함됩니다.이론상 한 가지 증거는 ^[118]곡선의 재구성의 고유성에 대한 부분적으로 긍정적인 결과이며, 두 가지는 ^[110][119]풀레렌 안정성의 정량적 분석과 자기 유사성의 정량적 분석에 대한 것이다.
3. 짧은 지속성의 역할입니다.소음이 ^[120]현상의 원인이라는 일반적인 믿음에도 불구하고 짧은 지속성도 유용한 것으로 밝혀졌다.이것은 수학 이론에서 흥미롭다.

오늘날 데이터 분석의 주요 분야 중 하나는 기계 학습입니다.TDA에서 기계 학습의 몇 가지 예는 Adcock ^[121]등에서 찾을 수 있다.회의는 TDA와 머신러닝의 링크에 관한 것입니다.기계 학습에서 도구를 적용하기 위해서는 TDA에서 얻은 정보를 벡터 형식으로 표현해야 한다.현재 진행 중이며 유망한 시도는 위에서 설명한 지속성 풍경입니다.또 다른 시도에서는 지속성 ^[122]이미지의 개념을 사용합니다.그러나 이 방법의 한 가지 문제는 안정성 손실입니다. 왜냐하면 하드 안정성 정리는 바코드 표현에 의존하기 때문입니다.

수학에 미치는 영향

위상 데이터 분석과 지속적인 호몰로지는 모스 이론에^{[citation needed]} 영향을 미쳤다.모르스 이론은 계산을 포함한 TDA 이론에서 매우 중요한 역할을 했습니다.영구 호몰로지의 일부 작업은 모스 함수에 대한 결과를 확장하여 함수를 길들이거나 연속 함수를^{[citation needed]} 길들이기도 합니다.R의 잊혀진 결과.영구적 호몰로지의 발명이 모스 이론을 모든 연속 ^[123]함수로 확장하기 훨씬 전에 개발되었습니다.

최근 한 가지 결과는 리브 그래프의 범주가 코쉬프의 ^[124]특정 클래스와 동등하다는 것이다.리브 그래프는 모스 이론과 관련이 있고 MAPPER는 이 이론에서 파생되었기 때문에 이것은 TDA의 이론적 작업에 의해 동기 부여된다.이 정리의 증명은 인터리브 거리에 의존한다.

지속적 호몰로지는 스펙트럼 ^[125][126]시퀀스와 밀접하게 관련되어 있다.특히 필터링된 복합체를 표준^[10] 형태로 가져오는 알고리즘은 ${\displaystyle E_{}^{}}$ p${\displaystyle {,}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ r$$\$display E_{p,q}^{r}$ 그룹을$$ 페이지 단위로 $계산$하는 표준 절차보다 스펙트럼 시퀀스를 훨씬 빠르게 계산할 수 있다.지그재그 지속성은 스펙트럼 시퀀스에 이론적으로 중요한 것으로 판명될 수 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 치수 축소
• 데이터 마이닝
• 컴퓨터 비전
• 계산 토폴로지
• 이산 모르스 이론
• 형상 분석(디지털 지오메트리)
• 크기 이론
• 대수 위상

레퍼런스

추가 정보

개요

• 마이클 레스닉의 토폴로지를 이용한 데이터 형태 연구
• Mikael Vejdemo-Johanson의 위상 데이터 분석 자료

모노그래프

• 지속성 이론: Steve Oudot의 Quiver 표현에서 데이터 분석까지

비디오 강의

• 데이터 분석을 위한 영속적 호몰로지 및 토폴로지 소개(Matthew Wright)
• 데이터의 형태(Gunnar Carlsson)

토폴로지 교재

• Alen Hatcher의 대수적 위상
• 계산 토폴로지: Herbert Edelsbrunner와 John L.의 소개.해러
• 기본 적용 토폴로지, Robert Ghrist의

TDA의 기타 자원

• 응용 토폴로지, 스탠포드
• 응용대수위상연구네트워크, 수학연구소의 응용대수위상연구네트워크
• 토폴로지 커널 학습:이산 모스 이론은 커널 기계 학습을 위상 데이터 분석과 연결하기 위해 사용됩니다.https://www.researchgate.net/publication/327427685_Topological_Kernel_Learning