동기 프레임

동기 프레임은 시간 좌표가 모든 공동 움직이는 관찰자에게 적절한 시간을 정의하는 기준 프레임이다.그것은 어떤 일정한 시간 초외면을 기원으로 선택함으로써 만들어졌는데, 모든 점에서 시간선을 따라 정상이고 그 지점에 꼭지점이 있는 가벼운 원뿔을 만들 수 있다. 이 초외면의 모든 간격 요소는 공간과 같다.이 초저면에 정상적인 지질학 계열이 그려지고 초저면에서의 시작과 함께 시간 좌표로 정의된다.

그러한 구조, 즉 동기식 프레임의 선택은 비록 그것이 독특하지는 않지만 항상 가능하다.그것은 시간에 의존하지 않는 공간 좌표의 어떤 변환도 허용하며, 또한 이 기하학적 구조에 사용되는 초지형의 임의적인 선택에 의해 야기되는 변환도 허용한다.

곡선 공간에서의 동기화

서로 다른 공간에 위치한 시계의 동기화란 서로 다른 장소에서 일어나는 사건들이 동일한 시간을 보여주면 동시에 측정될 수 있다는 것을 의미한다.특수상대성이론에서 우주 거리 요소 dl은 동일한 순간에 발생하는 두 개의 매우 가까운 사건 사이의 간격으로 정의된다.일반 상대성에서는 이것이 이루어질 수 없다. 즉, 미터법에서 dt ≡ dx⁰ = 0을 대체하는 것으로 dl을 정의할 수 없다.그 이유는 공간의 서로 다른 지점에서 적절한 시간과 시간 좌표 x⁰ t t의 의존도가 다르기 때문이다.

이 경우에는 dl을 찾기 위해, 시간 공간 기간에 걸쳐는 다음과 같은 방법으로(그림 1):밥 좌표와 같이 α+d)α{\displaystyle x^{\alpha}+dx^{\alpha}}앨리스는 좌표 xα고 앨리스는 즉시(여서는 2d를 반영하와 매우 가까운 A지점이 되는 어떤 공간 B지점에서 가벼운 신호를 보내는 동기화할 수 있다.${\displaystyle ds_{$$A}^{2}=0}$ 광자의 경우$$) 신호를 다시 Bob에게 보내십시오.이 수술에 필요한 시간(밥이 측정한 시간)에 c를 곱한 것은 분명히 앨리스와 밥 사이의 두 배 거리인 것이다.

공간과 시간 좌표가 분리된 선 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle ds^{2}=g_{\dx^ \}\,dx^ }+2g_{0\filename }\,dx^{0}\,dx^{0}\},dx^{}}}+g_{00}\왼쪽(dx^{0}\rig}\rig}\오른쪽)^{2},},},},},}},},},}$

(eq. 1)

여기서 용어 내의 반복적인 그리스 지수는 1, 2, 3의 값을 합한 것을 의미한다.신호 도착 이벤트와 A 지점에서 즉각적인 반사 되감기 사이의 간격은 0이다(두 가지 이벤트, 도착과 반사가 공간과 시간의 동일한 지점에서 이루어진다).${\displaystyle {}_{}^{}}$ d ${\displaystyle s_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}^{}}$= 0 ${\displaystyle ds_{$dx에⁰ 대해 $해결된 A}^{$2}=0$$}은(는) 두 가지 뿌리를 준다.

${\displaystyle dx^{0(1)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }-{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

${\displaystyle dx^{0(2)}={\frac {1}{g_{00}}}\left(-g_{0\alpha }\,dx^{\alpha }+{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}\right),}$

(eq. 2)

앨리스와 밥 사이의 양방향 신호 전파에 해당된다.만약 x가⁰ 밥의 시계에서 앨리스에게/로부터 신호를/반영하는 순간이라면, 밥으로부터 신호 이탈과 그것이 밥에게 다시 도착하는 순간은 각각⁰ x + dx와⁰ x + dx에^{0 (1)0 (2)} 대응한다.그림 1의 굵은 선은 각각 좌표 x와^α x^α + dx를^α 가진 앨리스와 밥의 세계 선이며, 빨간색 선은 신호의 세계 선이다.그림 1은 dx가^{0 (2)} 양수이고 dx가^{0 (1)} 음수라고 가정하지만, 반드시 dx와^{0 (1)} dx가^{0 (2)} 같은 부호를 가질 수 있는 것은 아니다.후자의 경우 신호가 앨리스 위치에 도착하는 순간의 값 x(앨리스⁰)가 밥으로부터 신호 이탈 순간의 값 x⁰(Bob)보다 작을 수 있다는 사실은 서로 다른 공간의 시계는 동기화되지 않도록 되어 있기 때문에 모순을 포함하지 않는다.밥의 위치에 있는 신호의 출발과 도착 사이의 완전한 "시간" 간격은 분명하다.

${\displaystyle dx^{0(2)}-dx^{0(1)}={\frac {2}{g_{00}}}{\sqrt {\left(g_{0\alpha }g_{0\beta }-g_{\alpha \beta }g_{00}\right)\,dx^{\alpha }\,dx^{\beta }}}.}$

각각의 적절한 시간 간격은 위의 ${\displaystyle 관계}$에서 g ${\displaystyle \sqrt{{00}_{}}}$/ c ${\displaystyle {\sqrt {g_{00}}/c$에 의한 곱셈과 두 점 사이의 거리 dl을 c/2에 의한 곱셈으로 구한다.그 결과:

${\displaystyle dl^{2}=\leftg_{\frac }+{{0\fract }{0\properties }}}{0}}}}g_{00}}}\,dx^{00}\put }}}}$

(eq. 3)

이는 공간 좌표 원소를 통한 거리를 정의하는 필수 관계다.

그러한 동기화는 점들 간의 빛 신호 교환에 의해 이루어져야 한다는 것은 명백하다.그림 1의 무한 닫힌 지점 A와 B 사이의 신호 전파를 다시 고려해 보십시오.A의 반사 순간과 동시인 B의 시계 판독은 B의 신호를 주고받는 순간 사이에 있다; 이 순간 앨리스의 시계가 y를⁰ 읽고 밥의 시계가 x를⁰ 읽으면 아인슈타인 동기화 조건을 통해

${\displaystyle y^{0}={\frac {(x^{0}+dx^{0(1)}+x^{0}+dx^{0(2)}}}{2}}=x^{0}+{1}{1}{{1}}+tfrac{0(2)+dx^{0(1)\오른쪽)=x^{0}+\Delta x^{0}.}$

여기서 eq. 2로 교체하여 무한정 가까운 지점에서 발생하는 두 동시 이벤트 간의 "시간" x의⁰ 차이를 찾으십시오.

${\displaystyle \Delta x^{0}=-{\frac {g_{0\alpha }\,dx^{00}}\x^{00}}}}\equiv g_{\alpha }}}}}$

(eq. 4)

이 관계는 무한히 작은 공간 볼륨에서 클럭 동기화를 허용한다.A 지점으로부터 더 멀리 그러한 동기화를 계속함으로써, 클럭을 동기화할 수 있다. 즉, 어떤 열린 선을 따라 사건의 동시성을 결정할 수 있다.동기화 조건은 eq. 4에 g를₀₀ 곱하고 용어를 왼쪽으로 가져와 다른 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle \Delta x_{0}=g_{0i}dx^{i}=0}$

(eq. 5)

또는 두 무한히 가까운 지점 사이의 "공변량 차등" dx는₀ 0이어야 한다.

그러나 일반적으로 닫힌 윤곽선을 따라 클럭을 동기화하는 것은 불가능하다. 윤곽선을 따라 시작하여 시작점으로 돌아가면 Δx 값이 0과 달라진다.따라서 전체 공간에 걸쳐 시계의 모호하지 않은 동기화는 불가능하다.예외는 모든 성분 g가_0α 0인 참조 프레임이다.

모든 시계를 동기화할 수 없는 것은 기준 프레임의 속성이며, 스페이스타임 자체의 속성이 아니다.어떤 중력장에서도 3 g가_0α 0이 되어 시계의 완전한 동기화가 가능하도록 기준 프레임을 선택하는 것은 언제나 무한히 다양한 방법으로 가능하다.이 세분류에 공간 좌표를 정의하는 객체 시스템의 선택을 포함하지 않는 시간 좌표의 단순한 변경으로 g를_0α 0으로 만들 수 있는 사례가 할당된다.

특수상대성이론에서도 시계가 서로 상대적으로 움직이면 적당한 시간이 다르게 뛴다.일반상대성이론에서 적절한 시간은 공간의 서로 다른 지점에서 동일한 기준 프레임에서도 다르다.이것은 어떤 공간 지점에서 발생하는 두 사건 사이의 적절한 시간 간격과 다른 공간에서의 사건들과 동시에 일어나는 사건 사이의 시간 간격은 일반적으로 다르다는 것을 의미한다.

공간 메트릭 텐서

Eq. 3은 양식으로 다시 쓸 수 있다.

${\displaystyle dl^{2}=\displaystyle \cHB \cHB }\,dx^{\cHB },dx^{\cHB }}$

(eq. 6)

어디에

${\displaystyle \property \properties _{\precovery }+{\frac {g_{0\properties }{0\precipal }}{g_{00}}}}}}}}:$

(eq. 7)

3차원 메트릭 텐서(metric), 즉 공간의 기하학적 특성을 결정하는 것이다.방정식 eq. 7은 3차원 공간 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ {\$displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}}$의 메트릭과$$ 4차원 공간 시간 $g{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 메트릭 사이의 관계를 제공한다$.$

그러나 일반적으로 $g{\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle k_{}}$ ${\$은(는⁰) x에 ${\displaystyle {의존}_{}}$하여 $β$ {\displaystyle \$gamma _{\alpha$ \beta$$}}}}}}}시간의 변화에 따라 변화한다$$.따라서 dl을 통합하는 것은 이치에 맞지 않는다: 이 적분은 그것이 취해지는 두 지점 사이의 세계 선의 선택에 달려 있다.일반 상대성에서는 일반적으로 두 신체 사이의 거리를 결정할 수 없다. 이 거리는 무한히 가까운 점에 대해서만 결정된다.g가_ik 시간에 의존하지 않고 따라서 공간 곡선을 따라 통합된$$ integral$d$ l ${\textstyle \int dl}$이(가) 일정한 의미를 갖는 참조 프레임에서만 유한 공간 영역에 대한 거리를 결정할 수 있다.

The tensor ${\displaystyle -\gamma _{\alpha \beta }}$ is inverse to the contravariant 3-dimensional tensor ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$. Indeed, writing equation ${\displaystyle g^{ik}g_{kl}=\delta _{l}^{i}}$ in components, one has:

${\displaystyle g^{\displaystyle g^{}g_{\displaystyle \g_{}g_{0\property }={\put }^{\put }}}}}}}$

${\displaystyle g^{\displaystyle g^{}g_{\put 0}+g^{\put 0}g_{00}=0,}$

(eq. 8)

${\displaystyle g^{0\properties }g_{\put 0}+g^{00}g_{00}=1.}$

두 번째 방정식에서 $g$ ${\displaystyle {\mathrm{\alpha }}^{}}$ 0 ${\$ g$^{\alpha$ 0$}$을(를) 결정하고, 첫 번째 방정식에서 이를 대체하는 것은 다음을 증명한다.

${\displaystyle -g^{\displaystyle \properties }\properties \properties }=\properties }{\put }}}$

(eq. 9)

$g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ {\$displaystyle$ g$^{\alpha \beta$}}}}은$($는) 미터법 ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$β {\$displaystyle \gamma$^{\$alpha \beta$에 해당하는 반대 3차원 텐서의 성분이라고$$ 하면 이 결과는 달리 제시할 수 있다.

${\displaystyle \cHB ^{\displaystyle \cHB \cHB }}$

(eq. 10)

각각 $g{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$ $\}\}\}$ 요소로 구성된$$ 결정요인 $g$와 ${\displaystystyle \gamma }}}$은 단순한 관계에 의해 서로 관련되어 있다.

${\displaystyle -g=g_{00}\cHB.}$

(eq. 11)

많은 응용분야에서 공변량 구성요소를 가진 3차원 벡터 g를 정의하는 것이 편리하다.

${\displaystyle g_{\property }=-{\frac {g_{0\properties }}{g_{00}}.}$

(eq. 12)

Considering g as a vector in space with metric ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$, its contravariant components can be written as ${\displaystyle g^{\alpha }=\gamma ^{\alpha \beta }g_{\beta }}$. Using eq. 11 and the second of eqs. 8, it is easy to see that

${\displaystyle g^{\cHB }=\cHB \cHB \cHB }g_{\cHB }=-g^{0\cHB }}}$

(eq. 13)

eqs. 8의 3번째부터는 다음과 같다.

${\displaystyle g^{00}={\frac {1}{1}{g_{00}}-g_{\reason }g^{\reason }}}$

(eq. 14)

동기좌표

eq. 5에서 결론지은 바와 같이, 서로 다른 공간 지점에서 클럭 동기화를 허용하는 조건은 미터법 텐서 성분_0α g가 0이라는 것이다.또한 g₀₀ = 1인 경우 시간 좌표 x⁰ = t는 각 공간 점(c = 1)의 적절한 시간이다.조건을 만족하는 기준 프레임

${\displaystyle g_{00}=1,\reason g_{0\reason }=0,}$

(eq. 15)

동기 프레임이라고 불린다.이 시스템의 간격 요소는 식에 의해 주어진다.

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}-g_{\no \dx^{\no}\,dx^{no}\,dx^{\no }}}$

(eq. 16)

공간 메트릭 텐서 구성 요소 g와_αβ 동일(반대쪽 기호가 있음):

${\displaystyle \cHB _{\displaystyle \cHB _}=-g_{\display \cHB$

(eq. 17)

동기 프레임 시간에서 시간 선은 과급 주파수 t = 항상이다.실제로 이러한 과외면 n_i = ∂t/∂x에ⁱ 정상인 4벡터 단위는 공변성분 n_α = 0, n = 1을₀ 갖는다.eq. 15 조건을 가진 각각의 반대편 구성요소는 다시^α n = 0, n = 1이다⁰.

정상 단위의 구성요소는 월드 라인¹ x, x², x³ = 항상에 접하는 4벡터 uⁱ = dxⁱ/ds의 구성요소와 일치한다.u^α = 0, u⁰ = 1 성분이 있는 u는ⁱ 자동으로 측지 방정식을 만족한다.

${\displaystyle {\frac{du^{i}}+\감마_{kl}^{i}^{k^{l}=\감마_{00}^{i}=0,}$

왜냐하면, eq. 15 조건으로부터 Christoffel 기호 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {00}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및$$ $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {00}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 동일하게 사라지기 때문이다.따라서 동기 프레임에서 시간 선은 스페이스타임의 지오디컬이다.

이러한 속성은 어떤 틈새 시간에도 동기식 프레임을 구성하는데 사용될 수 있다(그림 2).이를 위해 모든 점에서 시간선을 따라 정규 분포를 따르는 공간과 같은 초대면(그 점의 꼭지점이 있는 라이트 콘 내부에 위치)을 원점으로 선택한다. 이 초대면의 모든 간격 요소는 공간과 같다.그리고 나서 이 초주름에 정상인 지오디컬 계열을 그려라.이러한 선을 시간 좌표선으로 선택하고 초경면에서 시작과 함께 측정된 지오데틱의 길이 s로 시간 좌표 t를 정의한다. 결과는 동기 프레임이다.

동기 프레임에 대한 분석적 변환은 해밀턴-자코비 방정식을 사용하여 수행할 수 있다.이 방법의 원리는 중력장의 입자 궤적이 지질학이라는 사실에 근거한다.중력장에서 입자에 대한 해밀턴-자코비 방정식(질량이 통일과 동등하게 설정됨)은 다음과 같다.

${\displaystyle g^{k}{\frac {\partial s}{\partial x^{i}}{\partial s}{\partial x^{k}}}=1,}$

(eq. 18a)

여기서 S는 동작이다.그것의 완전한 적분은 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle S=f\left(\xi ^{\alpha }}},x^{i}\오른쪽)++A\왼쪽(\xi ^{\alpha }\오른쪽),}$

(eq. 18b)

여기서 f는 4개의 좌표 x와ⁱ 3개의 매개변수 ξ의^α 함수로서 상수 A는 3개의 ξ의^α 임의 함수로 처리된다.S에 대한 그러한 표현으로, 입자의 궤적에 대한 방정식은 파생상품 sS^α/∂ξ을 0과 동일시함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \xi ^{\alpha }}=-{\partial A}{\partial \xi ^{\alpha }}}}.}$

(eq. 18c)

매개변수^α of의 각 할당된 값 집합에 대해 방정식 18a-18c의 우측은 일정한 값을 가지며, 이러한 방정식에 의해 결정되는 월드 라인은 입자의 가능한 궤적 중 하나이다.궤적을 따라 일정하게 존재하는 수량 ξ을^α 새로운 공간 좌표로, 수량 S를 새로운 시간 좌표로 선택하면 동기 프레임을 얻는다; 기존 좌표에서 새로운 좌표로의 변환은 방정식 18b-18c에 의해 주어진다.실제로 그러한 변환의 경우 시간 선은 지오데틱이고 과급자 S = constitute에 정상일 것이다.후자의 지점은 기계적 유추로 보아 명백하다: 초면에 정상인 4벡터 sS/xx는ⁱ 입자의 4모멘텀과 역학적으로 일치하므로, 따라서 궤도에 접하는 4벡터 u와ⁱ 같은 4폭의 방향과 일치한다.마지막으로, 궤적을 따라 작용하는 파생 -dS/ds는 입자의 질량이고, 이는 1과 같게 설정되었기 때문에 dS/ds = 1이므로 g₀₀ = 1 조건은 분명히 충족된다.

게이지 조건 eq. 15는 좌표계를 완전히 고정하지 않으므로 고정 게이지가 아니다. $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}${\$displaystyle t=0}$에서 공간과 같은 초서면을 임의로 선택할 수 있기$$ 때문이다.세 가지 공간 변수 x에^α 따라 네 가지 임의 함수가 포함된 일부 좌표 변환을 수행할 수 있는 자유는 여전히 다음과 같은 극소수의 형태로 쉽게 해결된다.

${\displaystyle x^{i}={\tilde{x}^{i}+\xi ^{i}({\tilde{x}}).}$

(eq. 18)

여기서 4개의 이전 좌표(${\displaystyle {}^{}}$^α, x)와 4개의 새로운 좌표$({\displaystyle t\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$x ~$){\displaystyle ({\t},{\tilde{x}^{\alpha }}}}})$의 집합은 각각 기호 x와 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$~$${\$displaystyle {\tile {x}$로 표시된다$.$${\displaystyle \xi \stackrel{}{}}$ i ( x$$${\displaystyle {}^{}}$~ )${\displaystyle \xi ^{i}({\tilde {x})$ 기능과 첫 번째 파생상품은 무한히 소량이다.이러한 변환 후 4차원 간격은 다음과 같은 형태를 취한다.

${\displaystyle ds^{2}=g_{ik}(x)dx^{i}dx^{k}=g_{ik}^{\text{{(신규)}}}}}}{\tilde{x}}d{x}d}d{\tilde{x}}^{x}}}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

(eq. 19)

어디에

${\displaystyle g_{ik}^{\text{(new)}}({\tilde {x}})=g_{ik}({\tilde {x}})+g_{il}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{k}}}+g_{kl}({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{l}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{i}}}+{\frac {\partial g_{ik}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{l}}}\xi ^{l}({\tilde {x}}).}$

(eq. 20)

()~){\displaystyle g_{ik}({\tilde{x}})}에서)단순히 x일{\displaystyle{\tilde{)}에 의해}교체해야 똑같은 기능 gik())}다. 만약 어떤 게이지가 eq을 보존하기를 바라고 있다. 15도 이 새로운 계량 텐서 g에 나는 k( 새로운)()~){\displaystyle g_{ik}^{\te 마지막 공식에서, g나는 k.xt$새로운$ 좌표 $x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\$에서 ${\tilde {x}},$$$$\xi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$( $){\displaystyle \xi ^{i}({\time {x})}}$ 기능에 다음과 같은 제한을 가할 필요가 있다$.$

${\displaystyle {\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}}}=0,\quad g_{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial \xi ^{\beta }({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial \xi ^{0}({\tilde {x}})}{\partial {\tilde {x}}^{\alpha }}}=0.}$

(eq 21)

이러한 방정식의 해법은 다음과 같다.

${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right),\quad \xi ^{\alpha }=\int {g^{\alpha \beta }({\tilde {x}}){\frac {\partial f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}{\partial {\tilde {x}}^{\beta }}}d{\tilde {x}}^{0}}+f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}}^{3}\오른쪽),}$

(eq 22)

여기서 f와⁰ f는^α $공간{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ 좌표 x ~${\displaystyle {\stackrel{}{}\alpha }^{}}$ ${\$x}^{\$message }}}$에만 의존하는 네 가지 임의 함수다$.$

더 기본적인 기하학적 설명은 그림 2를 고려한다.첫째, 동기식 타임라인 ξ⁰ = t는 임의로 선택할 수 있다(밥, 캐롤, 다이나 또는 무한히 많은 관찰자 중 어느 한 사람).This makes one arbitrarily chosen function: ${\displaystyle \xi ^{0}=f^{0}\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$. Second, the initial hypersurface can be chosen in infinitely many ways.Each of these choices changes three functions: one function for each of the three spatial coordinates ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=f^{\alpha }\left({\tilde {x}}^{1},{\tilde {x}}^{2},{\tilde {x}}^{3}\right)}$. Altogether, four (= 1 + 3) functions are arbitrary.

언제 동기 계기의 방정식의 일반적인 해결책 gαβ을 논의하고 마음에 발생 가능한 모든 임의의 기능적 매개 변수 사이에서 gαβ를 함유하고 있는 중력의 잠재력, 그들에 없고 따라서 직접적인 신체 significanc의 3-space의, 4자의적인 기능은 게이지 자유를 나타내는 점을 유지하는데 필요합니다.e

동기식 프레임의 또 다른 문제는 게이지 선택이 결렬되는 가성비가 발생할 수 있다는 점이다.이러한 문제들은 동기적 틀에서 우주론적 섭동 이론을 수행하는 데 약간의 어려움을 야기시켰지만, 그 문제들은 이제 잘 이해되었다.동기 좌표는 일반적으로 계산을 할 때 가장 효율적인 기준 시스템으로 간주되며, CMBFAST와 같은 많은 현대 우주론 코드에서 사용된다.그것들은 또한 공간과 같은 특이점들과 마찬가지로 공간과 같은 초거름이 고정되어야 하는 이론적인 문제들을 해결하는 데 유용하다.

아인슈타인의 동기식 틀의 아인슈타인 방정식

동기식 프레임을 도입하면 아인슈타인 필드 방정식에서 공간과 시간 분화의 작동을 분리할 수 있다.좀 더 간결하게 하기 위해, 표기법

${\displaystyle \varkappa _{\frac \}={\frac \\frac \\flict _{\flict }}}$

(eq 23)

3차원 미터법 텐서의 시간 파생 모델에 도입되었다. 이 수량은 또한 3차원 텐서를 형성한다.동기 프레임 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$은(는) 두 번째 기본 형태(모양 텐서)에 비례한다$$.텐서 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ β${\$}}의 이동 지수 및 공변량 분화의 모든 연산은 미터법으로 3차원_αβ 공간에서 이루어진다$$.이는 4-tensor R_ik, T의_ik 공간 구성 요소에서 지수를 이동시키는 작동에는 적용되지 않는다.따라서 T는_α^β gT로^βγ_γα 감소하고 γT와^βγ_γα 부호가 다른 gT^βγ_γα + gT로^β0_0α 이해해야 한다.sum ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 합은$$ 결정인 ant_αβ ≡ = - g:

${\displaystyle \varkappa _{\flappa _{\parkappa _}}{\frac {\frac \pair \}{\frac \pair t}}}{\frac \ln(\pair )}.}$

(eq. 24)

그런 다음 Christoffel 기호 ${\displaystyle {\gamma }_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ l ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 전체 집합에 대해 다음을$$ 얻는다.

${\displaystyle \Gamma _{00}^{0}=\Gamma _{00}^{\alpha }=\Gamma _{0\alpha }^{0}=0,\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{0}={\frac {1}{2}}\varkappa _{\alpha \beta },\quad \Gamma _{0\beta }^{\alpha }={\frac {1}{2}}\varkappa _{\beta }^{\alpha },\quad \Gamma _{\alpha \beta }^{\gamma }=\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }}$

(eq. 25)

여기서 ${\displaystyle {\lambda }_{}^{}}$ α ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ {\$displaystyle \lambda$_{\$alpha \beta$}^{\$gamma$}}}}}은$$ γ으로_αβ 구성된 3차원 Christoffel 기호다.

${\displaystyle \property \cHB _{\frac \}^{1}{1}{1}\flaim \mu }\{\mu \mu \mu \flaim_{\mu \mu \mu \mu }\right}}}}$

(eq. 26)

여기서 쉼표는 각 좌표에 의한 부분파생물을 나타낸다.

Christoffel 기호 eq. 25를 사용하여 Ricci 텐서의 성분ⁱ_k R = gR을^il_lk 다음과 같은 형식으로 작성할 수 있다.

${\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{1}:{2}}-{\dot {\varkappa }-{1}{4}}}\varkappa _{\alpha }}}}}}$

(eq. 27)

${\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\bata }-\varkappa _{,\alpha }\오른쪽),}}}$

(eq. 28)

${\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }.}$

(eq. 29)

다츠 최고denote 시간 분화, 콜론 이 사건으로 3차원 공간 내에서 미터 법 γαβ에 관해서 λ}β γ{\displaystyle \lambda_{\alpha \beta}^{\gamma}α 3차원 크리스토펠 기호, ϰ ≡ ϰ α α{\displaystyle \varkappa \equiv \varkap에서 수행된다 공변 미분 의미(";").파파$_{\alpha }^{\alpha$ $\}\}\}\},$ P는_α^β ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ { ${\$ $\}\}\}\}\}\}$ :

${\displaystyle P_{\alpha }^{\beta }=\gamma ^{\beta \gamma }P_{\gamma \alpha },\quad P_{\alpha \beta }=\lambda _{\alpha \beta ,\gamma }^{\gamma }-\lambda _{\gamma \alpha ,\beta }^{\gamma }+\lambda _{\alpha \beta }^{\gamma }\lambda _{\gamma \mu }^{\mu }-\lambda _{\alpha \mu }^{\gamma }\lambda _{\beta \gamma }^{\mu }.}$

(eq. 30)

아인슈타인 방정식 ${\displaystyle {Ri}_{}^{}}$ k${\displaystyle {}_{}^{}}$= 8${\displaystyle }$equations k(${\displaystyle \mathrm{Ti}}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}1{}_{}^{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \Delta {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ $){\$1}-{1}{1}:{2$}}\delta _{i}^{{i}}}}.$$T\right)}($에너지-모멘텀 텐서 T₀⁰ = -T₀₀, T_α⁰ = -T_0α, T_α^β = γT의^βγ_γα 구성 요소 포함)는 동기 프레임에 포함된다.

${\displaystyle R_{0}^{0}=-{\frac {1}{2}}{\dot {\varkappa }}-{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }=8\pi k\left(T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T\right),}$

(eq. 31)

${\displaystyle R_{\alpha }^{0}={\frac {1}{1}{2}}\왼쪽(\varkappa _{\alpha ;\beta }^{\barkappa _{,\alpha }\right)=8\pi kT_{{\alpha}^{}},}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

(eq. 32)

${\displaystyle R_{\alpha }^{\beta }=-{\frac {1}{2{\sqrt {\gamma }}}}{\dot {\left({\sqrt {\gamma }}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\right)}}-P_{\alpha }^{\beta }=8\pi k\left(T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T\right).}$

(eq.33)

동기 프레임의 특징적인 특징은 정지하지 않는다는 것이다: 중력장은 그러한 프레임에서 일정할 수 없다.일정한 필드 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$ 알파 $\beta$ }}}은$($는) 0이 된다$$.그러나 물질 앞에서 모든 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$의 소멸은 eq. 31(우측면이 0과 다른)과 모순될 것이다$$.eq. 33의 빈 공간에서는 모든 P가_αβ 그 뒤를 따르며, 그것들과 함께 3차원 곡률 텐서 P_αβγδ(Remann tensor)의 모든 구성요소가 사라진다. 즉, 필드는 완전히 사라진다(유클리드 공간 지표를 가진 동기 프레임에서 공간 시간은 평탄하다).

동시에 공간을 채우는 물질은 일반적으로 동기식 프레임에 비례하여 정지할 수 없다.이것은 압력이 있는 물질의 입자들이 일반적으로 지오디컬이 아닌 선을 따라 움직인다는 사실로부터 명백하다; 정지 상태의 입자의 세계선은 시간선이며, 따라서 동기 프레임의 지오디컬이다.먼지(p = 0)의 경우는 예외로 한다.여기서 서로 상호작용하는 입자들은 지오데틱 선을 따라 움직일 것이다. 결과적으로, 이 경우에 동기 프레임의 조건은 그것이 물질과 공존하고 있다는 조건과 모순되지 않는다.이 경우에도 동시적으로 콤바운싱 프레임을 선택할 수 있으려면 여전히 물질이 회전하지 않고 움직이는 것이 필요하다.혼합 프레임에서 속도의 역방향 구성요소는 u⁰ = 1, u^α = 0이다. 프레임도 동기식인 경우 공변성 구성요소는 u₀ = 1, u_α = 0을 만족해야 하므로 4차원 컬이 사라져야 한다.

${\displaystyle u_{i;k}-u_{k;i}\equiv {\frac {\fract u_{i}}-{\fract u_{k}}{\fract x^{i}}=0.}$

그러나 이 텐서 방정식은 다른 기준 프레임에서도 유효해야 한다.따라서 동기적이긴 하지만 혼합되지 않는 프레임에서는 3차원 속도 v에 대한 curl v = 0 조건이 추가로 필요하다.다른 상태 방정식의 경우에도 압력 구배가 전체 또는 특정 방향으로 사라지는 특수한 경우에만 유사한 상황이 발생할 수 있다.

동기 프레임의 특이점

우주론적 문제에서 동기적 프레임을 사용하려면 그것의 무증상적 행동에 대한 철저한 조사가 필요하다.특히 동기식 프레임을 무한의 시간과 무한의 공간으로 확장할 수 있는지, 이 프레임의 좌표면에서 모든 포인트의 모호하지 않은 라벨링을 항상 유지할 수 있는지 알아야 한다.

닫힌 윤곽선을 따라 클럭을 동기화할 수 없기 때문에 전체 공간에 걸쳐 클럭의 모호하지 않은 동기화가 불가능한 것으로 나타났다.무한 시간에 대한 동기화에 관한 문제로서, 먼저 모든 관찰자의 시간대는 선택된 초저면과의 정상이며, 이러한 의미에서 "병렬"이라는 점을 상기시켜 보자.전통적으로 병렬의 개념은 유클리드 기하학에서 정의되어 서로 등거리인 모든 곳에 있는 직선을 의미하지만 임의의 기하학에서는 이 개념을 지질학인 평균 선으로 확장할 수 있다.타임라인은 동기식 프레임에서 지오다이오드(geodics)로 나타났다.또 다른, 현재 목적의 평행선 정의에 있어 보다 편리한 것은 공통점이 전부 또는 전혀 없는 점이다.모든 공통점(확실히 같은 선)의 경우를 제외하고, 두 개의 시간선이 공통점을 갖지 않는 평행성의 정의에 도달한다.

동기 프레임의 시간 선은 지오디컬이기 때문에, 이 선들은 생성 초서면의 모든 관찰자들에게 직선(빛의 경로)이다.공간 측정기준은

${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ α ${\displaystyle {\beta }_{}}$ d ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ d x α ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ dl$^{2}=\i1\no_{\$no_${\dx^{}dx^{\i1$

The determinant ${\displaystyle \gamma }$ of the metric tensor is the absolute value of the triple product of the row vectors in the matrix ${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }}$ which is also the volume of the parallelepiped spanned by the vectors ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow{\gamma }}_{}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$, and ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{3}}$ (i.e., the parallelepiped whose adjacent sides are the vectors ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{1}}$, ${\displaystyle {\vec {\gamma }}_{2}}$, and ${\displaystyle {\vec {$$\cHB }}{3}}.$

${\displaystyle \gamma = {\vec {\gamma }}_{1}\cdot ({\vec {\gamma }}_{2}\times {\vec {\gamma }}_{3}) ={\begin{vmatrix}\gamma _{11}&\gamma _{12}&\gamma _{13}\\\gamma _{21}&\gamma _{22}&\gamma _{23}\\\gamma _{31}&\gamma _{32}&\gamma _{33}\end{vmatrix}}=V_{\text{parallelepiped}}}$

$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$이(가) 0으로 변하면 이 병렬 처리된 볼륨은 0이 된다.이는 벡터 중 한 개가 다른 두 벡터의 평면에 놓여 병렬 처리된 볼륨이 베이스 영역(높이가 0이 됨)으로 변환될 때 또는 벡터 중 두 벡터가 선형적으로 종속된 경우에 발생할 수 있다.그러나 그 다음에는 여러 점(교차로점)도 같은 방법으로 라벨을 붙일 수 있다. 즉, 미터법에는 특이점이 있다.

란다우 그룹은 동기식 프레임이 반드시 시간 특이치를 형성한다는 것을 발견했다. 즉, 시간선은 유한한 시간 내에 교차한다(각각, 미터법 텐서 결정요소는 0으로 바뀐다).

이것은 다음과 같은 방법으로 증명된다.물질과 전자기장의 응력-에너지 텐셔너를 포함하는 EQ 31의 오른쪽,

${\displaystyle T_{i}^{k}=\left(p+\varepsilon \right)\time u_{i}u^{k}+p\delta _{i}^{i}}}}}}}}}$

강한 에너지 조건 때문에 양수가 된다.이것은 구성요소로 쓰여질 때 쉽게 알 수 있다.

실상

${\displaystyle T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T={\frac{1}{2}}\좌(\varepsilon +3p\우)+{\frac {\좌(p+\varepsilon \우)v^{2}}{1-v^{2}}}}}}}}$

전자기장용

${\displaystyle T=0,\quad T_{0}^{0}={1 \over 2}\왼쪽(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{1}{\mu_{0}B^{0}}}\오른쪽)0}}$

위와 같은 것을 염두에 두고, eq. 31은 그 후 불평등으로서 다시 쓰여진다.

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{4}}\varkappa _{\alpha }^{\beta }\varkappa _{\beta }^{\alpha }\leq 0}$

(eq. 34)

빈 공간과 관련된 동일성을 가지고.

대수적 불평등 사용

${\displaystyle \varkappa _{\flaim }^{\parkapa }^{\blaim }\barkapa {1}{1}{1}}\frac {1}{3}}\parkapa _{\pa}}\right)^{2}}$

eq. 34가 되다

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }+{\frac {1}{6}}\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}\leq 0}$.

양쪽을${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha }_{}^{}}^{\mathrm{}}}$ ) 2 ${\$로 $나누고$ 동등성을$$ 사용함

${\displaystyle {\frac {1}{\left(\varkappa _{\alpha }^{\alpha }\right)^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\varkappa _{\alpha }^{\alpha }=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{\varkappa _{\alpha }^{\alpha }}}}$

불평등에 도달하다

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{}}$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ t ${\displaystyle \frac{}{}\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\alpha }_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\alpha }}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}^{}}{}}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ 6 ${\$ {\prac ${\property}{\property$ t$}{\parkappa _{\$parkapa $_{\pa}}}\geq{$1\eq{$1\clor$ 6$\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$

(eq. 35)

예를 들어, some >0 {\$displaystyle \varkappa$_{\$alpha$}^{\$alpha }}0}$을(를) 어느 순간으로 하자.파생상품이 양성이기 때문에, $비율\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{{}_{}^{}}{}$ α $\frac{{}_{}^{}}{}$ ${\${\$frac{1}{\barkappa _{\\alpha }^{\alpha$}}}}}}}은 시간이 줄어들수록$$ 감소하며, 항상 유한한 비 영(0) 파생상품이므로, 양쪽에서 오는 0이 되어야 한다.In other words, ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }}$ becomes ${\displaystyle +\infty }$, and because ${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }=\partial \ln \gamma /\partial t}$, this means that the determinant ${\displaystyle \gamma }$ becomes zero (accordingeq. $35가{\displaystyle {}^{}}$ t ${\displaystyle {6\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$t^{$6}$보다 빠르지 않음반면, 에 < {\$displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\alpha }<0}}}$이(가) 나타난다면, 시간 증가에도 마찬가지다.

특이점에서의 공간에 대한 아이디어는 대각선화된 미터법 텐서(tensor)를 고려하여 얻을 수 있다.대각화 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {\_\mathrm{}}_{}}$${\alpha \beta }}$ 3개의 ${\displaystyle {고유값}_{}}$인 주$$대각선을 제외한 모든 0에 걸쳐서 α$$ ${\displaystyle {}_{}}$ \displaystyle $\lambda _{$$1},$},$$and 3 {$3$의 원소를 실제 $값$으로 만든다.특성 다항식의 모방성은 차별이 0보다 작을 때 0 또는 1개의 실제 및 2개의 복잡한 결합 값보다 크거나 같다.그렇다면 결정인자 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은 세 가지 고유값의 산물일 뿐이다.이러한 고유치 중 하나만 0이 되면 전체 결정인자는 0이 된다.예를 들어, 실제 고유값은 ${\displaystyle 0_{}}$이 된다( ( 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0}).$그러면 대각 행렬 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {\beta }_{}}$ β$${\$displaystyle \gamma$_{\$alpha \beta$}}}}} 주 대각선에$$ (일반적으로 복잡한 결합) 고유값 $with{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\lambda \mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$이 2 행렬이 된다.그러나 이 행렬은 ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$= 0 ${\displaystyle \gamma =0}$이(가) 있는 공간의 대각선화된 메트릭 텐서로서${\displaystyle ,<img\; alt="\backslash gamma\; =\; 0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0a5e84cac32e896a80a89f8cd1917c2defcf4108"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:5.523ex;\; height:2.676ex;"\; papago-attr-id="266">}$ 따라서 위에서는 ${\displaystyle }$(value = 0 ${\displaystyle \gamma =0$에서 고유값이 0으로 바뀔 때 공간이 2차원임을 시사한다.

기하학적으로, 대각화는 기본 벡터의 방향이 고유 벡터의 방향과 일치하도록 매트릭스를 구성하는 벡터의 기본을 회전시키는 것이다.$\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 실제 대칭 행렬인 경우 고유 벡터는 길이, 폭 및 높이가 세 고유값의 크기인 직사각형 평행선을 정의하는 직교 기준을 형성한다.이 예는 결정인자 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$이(가) 길이 × 폭 × 높이, 즉 고유값의 산물과 같다는 점에서 특히 입증된다.예를 들어 높이를 0으로 동일시하여 평행육면체의 부피를 0으로 만들면 평행육면체의 한 면만 남게 되는데, 그 면적이 길이 × 너비인 2차원 공간이다.지우기 작업을 계속하고 폭을 0으로 동일시하면 1차원 공간인 크기 길이 선이 남게 된다.더 나아가 길이를 0으로 동일시하면 0차원 공간인 점만 남게 되는데, 이 공간은 평행선이 있던 곳을 표시한다.

기하학적 광학에서 유추하는 것은 그림 3의 밝은 패턴과 같이 특이점과 가성비를 비교한 것으로, 오른쪽에서 조명이 들어오는 물컵에 의해 형성된 가성비를 보여준다.광선은 싱크로나이즈드 하이퍼러페이스에 지역화된 자유 낙하 관측기의 시간선을 아날로그로 나타낸 것이다.유리에 의해 주조된 그림자 윤곽의 대략적인 평행선으로 판단하면 광원이 유리로부터 실질적으로 무한 거리에 있다고 추측할 수 있지만(태양 등) 광원이 사진에 표시되지 않기 때문에 이것은 확실하지 않다.그래서 이것을 확실하게 증명하지 않고 광선(시간선)이 평행하다고 가정할 수 있다.물컵은 아인슈타인 방정식이나 그 뒤에 있는 대리인을 아날로그로 만들어 시간선을 구부려 가성 패턴(특수성)을 형성한다.후자는 평행선상의 얼굴처럼 단순하지 않고 여러 종류의 교차점이 복잡하게 뒤섞여 있다.2차원 공간, 1차원 또는 0차원 공간의 중첩, 즉 표면과 선의 혼합, 어떤 공간은 가성 패턴의 중심에 있는 화살촉 형성과 같은 점(정점)으로 수렴할 수 있다.^[2][3]

시간적 지질 벡터장이 유한한 시간에 도달해야 한다는 결론은 두 연구자를 모두 기리기 위해 란다우-레이쇼우드후리 방정식으로도 불리는 다른 방법에 의해 레이쇼우드후리에 의해 독립적으로 도달한 후에 필연적으로 특이성에 도달해야 한다는 결론이다.

참고 항목

• 정상좌표
• 키네마틱 분해와 Raychaudhuri 방정식의 파생에 대한 일치성(일반 상대성).

참조

참고 문헌 목록

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