이성적 호모토피 이론

수학에서, 특히 위상에서, 이성적 호모토피 이론은 위상학적 공간에 대한 호모토피 이론의 단순화된 버전이며, 호모토피 그룹의 모든 비틀림을 무시한다.데니스 설리번(1977년)과 다니엘 퀼렌(1969년)이 설립했다.이렇게 호모토피 이론을 단순화하면 계산이 훨씬 쉬워진다.

단순히 연결된 공간의 합리적 호모토피 타입은 설리반 미니멀 모델이라고 불리는 특정 대수적 물체의 (이형성 등급)으로 식별할 수 있는데, 이것은 특정 조건을 만족하는 합리적인 숫자에 대해 교등 차등 등급의 알제브라다.

기하학적 적용은 설리번과 미슐린 비구-푸아리에(1976년)의 정리였다. 한 요소에 의해 이성적인 코호몰로지 링이 생성되지 않는 모든 것은 무한히 많은 기하학적으로 구별되는 닫힌 지오데틱을 가지고 있다.^[1]그 증거는 이성적인 호모토피 이론을 사용하여 X의 자유 루프 공간의 베티 숫자가 무한하다는 것을 보여주었다.이후 이 정리는 데틀레프 그로몰과 볼프강 마이어의 1969년 결과에서 비롯된다.

합리적 공간

단순히 연결된 위상학 공간의 ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ $지도{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이(가) 합리적 숫자 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$을(를) 구속하는 호모토피 그룹에 이형성을 유도하는 경우 합리적인 호모토피 동등성이라고 한다$.$합리적 계수가 있는 단일한 호몰로지 그룹에 대한 n 이형성.^[2]합리적 호모토피 범주(단순하게 연결된 공간의)는 합리적 호모토피 동등성에 관한 단순 연결 공간의 범주의 국산화라고 정의된다.합리적인 호모토피 이론의 목표는 이 범주를 이해하는 것이다.즉, 모든 이성적인 호모토피 동등성을 이소모르식이라고 선언하면 얼마나 많은 정보가 남는가?

한 가지 기본적인 결과는 합리적 호모토피 범주가 합리적 공간의 하위 범주인 위상학적 공간의 호모토피 범주의 전체 하위 범주와 동등하다는 것이다.정의에 따르면 합리적 공간은 단순하게 연결된 CW 복합체로서, 호모토피 그룹은 모두 합리적인 숫자에 걸친 벡터 공간이다.For any simply connected CW complex ${\displaystyle X}$, there is a rational space ${\displaystyle X_{\mathbb {Q} }}$, unique up to homotopy equivalence, with a map ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ that induces an isomorphism on homotopy groups tensored with the rational numbers.^[3]공간 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$ $X_{\mathb$${Q$$}}}}}}}$의 합리화라고 하는데$,$ 이는 설리번이 주어진 소수집합에서 공간의 국산화 공사를 한 특수한 경우다.

호모토피 그룹보다는 호몰로학을 사용하여 동등한 정의를 얻는다.즉 단순히 연결된 CW 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X${\displaystyle \}}$의 호몰로지 그룹 $Hi(X,\mathb {Z})$가 모든$$ > ${\displaystyle i>0}$에 대한 합리적 벡터 공간인 경우에만 합리적인 공간이다^[4]The rationalization of a simply connected CW complex ${\displaystyle X}$ is the unique rational space ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ (up to homotopy equivalence) with a map ${\displaystyle X\to X_{\mathbb {Q} }}$ that induces an isomorphism on rational homology.그러므로, 사람은 가지고 있다.

${\displaystyle \pi _{i}(X_{\mathb {Q})}\cong \pi _{i}(X)\otimes {\mathb {Q}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle H_{{\mathb {Q}}},{\mathb {Z}}}},\cong H_{i})(X, {\mathb {Q}}, {\mathb {Z}})\otimes {\mathb {Q}\cong H_{i}(X, {Q}}}})}}}}}})}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

> 0 ${\displaystyle$ i$>0}$에 대해

단순하게 연결된 공간에 대한 이러한 결과는 영점 공간(기본 그룹이 영점이고 상위 호모토피 그룹에 대해 영점적으로 작용하는 공간)으로 거의 변경되지 않고 확장된다.

구들의 호모토피 집단을 계산하는 것은 호모토피 이론의 중심적인 개방적인 문제다.그러나 합리적인 호모토피 그룹들은 1951년 장 피에르 세레에 의해 계산되었다.

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a-1})\mathb {Q}\cong {\begin}\mathb {Q} &{\text{i=2a-1\\0\{\text}}\text{otherwise}}}}\case{}}}}}}}}}}}}}}\case}}\case}}$

그리고

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2a})\otimes \mathb {Q}\cong {\begin{case}\mathb {Q} &{\text{}}{}i=2a={\text{} 또는 }i=4a-1\0&}}\text{\n\data.}}}\end{case}}$

이는 전체 합리적 호모토피 범주를 실질적으로 계산 가능한 방식으로 설명할 가능성을 시사한다.이성적 호모토피 이론은 그 목표의 많은 부분을 실현했다.

호모토피 이론에서 구와 에일렌베르크-마클레인 공간은 모든 공간이 건설될 수 있는 매우 다른 두 종류의 기본 공간이다.이성적 호모토피 이론에서 이 두 종류의 공간은 훨씬 더 가까워진다.In particular, Serre's calculation implies that ${\displaystyle S_{\mathbb {Q} }^{2a-1}}$ is the Eilenberg–MacLane space ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,2a-1)}$. More generally, let X be any space whose rational cohomology ring is a free graded-commutative algebra (a tensor product of a polynomial 짝수도의 발전기에는 링이 울리고 홀수도의 발전기에는 외부 대수).그러면 합리화 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Q\mathbb{}}_{}}$ ${\$은(는) 에일렌베르크-매클레인 공간의 산물이다.코호몰로지 링에 대한 가설은 모든 콤팩트한 Lie 그룹(또는 더 일반적으로 모든 루프 공간)에 적용된다.^[5]예를 들어, 단일 그룹 SU(n)의 경우,

${\displaystyle \operatorname {SU}{n)_{\mathb {Q}}}\simeq S_{}{3}\timeb {Q}\times S_{}\times S_{}^{5}}\cdots \times{{{Q}}}}{{{{Q}n-1}.}$

코호몰로지 링과 호모토피 리 대수

There are two basic invariants of a space X in the rational homotopy category: the rational cohomology ring ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Q} )}$ and the homotopy Lie algebra ${\displaystyle \pi _{*}(X)\otimes \mathbb {Q} }$. The rational cohomology is a graded-commutative algebra over ${\displaystyle \mathbb{Q}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$, and the homotopy groups form a graded Lie algebra via the Whitehead product. (More precisely, writing ${\displaystyle \Omega X}$ for the loop space of X, we have that ${\displaystyle \pi _{*}(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$ is a graded Lie algebra over ${\displaystyle \$$mathbb${${\displaystyle Q}$$}$${\displaystyle {\pi }_{}}$ i ( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle \pi _{i}(X)\cong \pi _{i-1}(\Oomega$ X$)}$의 관점에서$,$ 이것은 단지 등급이 1씩 바뀌는 것에 지나지 않는다.예를 들어, 위의 세레의 정리에서는 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}^{}}$ S${\displaystyle {}^{}{n}^{}}$ )${\displaystyle q\mathbb{}}$ Q$${\$displaystyle \pi$ _${*}(\Oomega$ S$^{n})\otimes \mathb {Q}}}}}}$이(가) n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}${\$displaystyle n-1}$의 한 발전기에서 자유 등급 Lie 대수라고 한다$.$

호모토피 리 대수학을 생각하는 또 다른 방법은 X의 루프 공간의 호몰로지(homotopopy Lie 대수학)는 호모토피 리 대수학의 보편적 포락 대수학이다.^[6]

${\displaystyle H_{*}(\Oomega X, {\\mathb {Q})}\cong U(\pi _{*}(\Oomega X)\otimes \mathb {Q}}}}}$

반대로 홉프 대수학 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ ${\displaystyle S^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ )${\displaystyle {}^{}\otimes }$ ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$의 원시 원소의 아공간으로서 루프 공간의 호몰로학으로부터 이성적인 호모토피 리 대수학을 재구성할 수 있다$.$^[7]

이론의 중심 결과는 이성적인 호모토피 범주가 순전히 대수학적으로 설명될 수 있다는 것이다. 사실, 두 가지 다른 대수학 방식으로 설명될 수 있다.먼저 퀼렌은 이성적인 호모토피 범주가 커넥티드 미분 등급 리 알헤브라의 호모토피 범주와 동등하다는 것을 보여주었다.(${\displaystyle \mathrm{관련}}$ 등급 Lie 대수 ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$( d${\displaystyle }$)${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{im}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle d}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \ker(d)/\operatorname {im} (d)}$은 호모토피 리 대수)이다$$.)둘째, 퀼렌은 이성적 호모토피 범주가 1연결 미분 등급 코코메트화 콜럼브라의 호모토피 범주와 동등하다는 것을 보여주었다.^[8](관련된 결합체(collgebra)는 합체형 X의 이성적 호몰로지이고, 이중 벡터 공간은 이성적 코호몰로지 링이다.)이러한 동등성은 퀼렌의 모델 카테고리 이론의 첫 번째 적용 분야 중 하나이다.

특히, 두 번째 설명은 모든 단계별 커밋 Q ${\$ -algebra$$ A 폼의 단계별 커밍아웃한 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ {\displaystyle \mathb {Q} -algebra A

${\displaystyle A=\mathb {Q} \oplus A^{2}\oplus A^{3}\oplus \cdots,}$

유한 치수의 각 $벡터{\displaystyle {}^{}}$ 공간 ${\displaystyle A^{}}$ i ${\$ A$^{i}$와 함께, 합리적 코호몰로지 링이 A와 이형화된 단순하게 연결된 공간 X가 있다(반대로, 위상학적 공간의 적분 또는 모드 p 코호몰로지 링에는 프라임 숫자 p에 대해 완전히 이해되지 않은 많은 제약이 있다).같은 정신으로 설리번은 푸앵카레 이중성을 ${\displaystyle \mathrm{만족}}$시키는 등급이 $매겨진{\displaystyle \mathbb{}}$ Q$${\$displaystyle$ \$mathb{Q} }-$algebra$$ A${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle A^{1}=0}$는 치수 4a를 제외하고 단순하게 연결된 일부 매끄러운 닫힌 다지체의 동족학 고리라는 것을 보여주었다. 그러한 경우, 또한 교차점을 가정할 필요가 있다.n A ${\displaystyle 2^{}}$의 페어링 a ${\$${\displaystyle {}_{}^{}}$ A$^{$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$$}}$은(는$)$display ± x i 2 ${\displaystyle \pm$ $x_{i$}^{2}}: $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$^[9]

합리적 호모토피 범주에 대한 두 가지 대수학적 설명 사이를 어떻게 통과하느냐고 물을 수도 있다.간단히 말해서, 리 대수학은 리 대수학 코호몰로지(Lie 대수학)에 의해 등급 부여 대수학(graded-commutional 대수학)을 결정하고, 증강된 정류 대수학은 안드레-퀼렌 코호몰로지(André-Quillen cohomology)를 줄임으로써 등급화된 리 대수학을 결정한다.더 일반적으로, 차등 등급의 알헤브라를 위한 이러한 구조 버전이 있다.교감 알헤브라와 리 알헤브라의 이 이중성은 코즐 이중성의 한 버전이다.

설리번 알헤브라스

각도에서 이성적 호모학이 유한한 공간을 위해 설리번 교수는 모든 이성적 호모토피 유형을 단순한 대수적 대상인 설리번 알헤브라의 관점에서 분류했다.정의상 설리반 대수학은 $이성{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$에 대한 교차 차등 등급화된 대수인데$,$ 그 기본 대수로는 등급화된 벡터 공간의 자유$$ 교차 등급 대수${\displaystyle }$⋀ ${\displaystyle (V}$) ${\displaystyle \bigwedge (V)}$이다.

${\displaystyle V=\bigoplus _{n}V^{n}}}$

satisfying the following "nilpotence condition" on its differential d: the space V is the union of an increasing series of graded subspaces, ${\displaystyle V(0)\subseteq V(1)\subseteq \cdots }$, where ${\displaystyle d=0}$ on ${\displaystyle V(0)}$ and ${\displaystyle d(V(k))$$}}$은(는) $\bigwedge {\displaystyle }$( ( (${\displaystyle }$k${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$)${\displaystyle \bigwedge (V(k-1)}$에 포함되어 있다$$$.$ 차등 등급의 알헤브라스 A의 맥락에서 "commutative"은 등급화된 커뮤티션을 의미하는데 사용된다. 즉,

${\displaystyle ab=(-1)^{ij}ba}$

a in $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ A$^{i}$ 및$$ b in A ${\displaystyle j^{}}$ ${\$에 대해$.$

The Sullivan algebra is called minimal if the image of d is contained in ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)^{2}}$, where ${\displaystyle \bigwedge ^{+}(V)}$ is the direct sum of the positive-degree subspaces of ${\displaystyle \bigwedge (V)}$.

교차적 차등대수 A의 설리반 모델은 동형성 $\bigwedge {\displaystyle }$(${\displaystyle V}$${\displaystyle }$)${\displaystyle }$$→$ A ${\displaystyle \bigwedge$($V$$)}을$$($를) $가진$ 설리반 대수학 $\bigwedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$$V$이다.If ${\displaystyle A^{0}=\mathbb {Q} }$, then A has a minimal Sullivan model which is unique up to isomorphism. (Warning: a minimal Sullivan algebra with the same cohomology algebra as A need not be a minimal Sullivan model for A: it is also necessary that the isomorphism of cohomology be induced by a homomorphism of differenti등급이 매겨진 알헤브라스이형 코호몰로지 알헤브라를 가진 비이형적 미니멀 설리반 모델의 예가 있다.)

Sullivan 최소모델의 위상학적 공간

위상학적 공간 X에 대해, 설리반은 X에 다항식 미분 형식의 대수라고 불리는 역차등분 $대수{\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle P_{}}$ L${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle A_{PL}(X)}$을 정의했다$.$이 대수학의 한 요소는 (거의) X의 각 단수형 심플렉스 위에 (거의) 다항형 형태로 구성되며, 얼굴 및 퇴행성 지도와 호환된다.이 대수학은 보통 매우 크지만(할 수 없는 차원) 훨씬 작은 대수학으로 대체될 수 있다.더$$ 정확히 말하면, 설리반 최소모델이 $A{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle L{}_{}}$( X )${\$디스플레이 $스타일 A_{PL}(X)}$과 동일한 차등 등급 대수를 공간 X의 모델이라고 한다.X가 단순히 연결되었을 때, 그러한 모델은 X의 합리적인 호모토피 타입을 결정한다.

To any simply connected CW complex X with all rational homology groups of finite dimension, there is a minimal Sullivan model ${\displaystyle \bigwedge V}$ for ${\displaystyle A_{PL}(X)}$, which has the property that ${\displaystyle V^{1}=0}$ and all the ${\displaystyle V^{k}}$ have fi진원한 치수이것은 설리반 미니멀 모델 X라고 불리며, 이소모르퍼리즘에 버금가는 독특한 것이다.^[10]이는 그러한 공간의 합리적인 호모토피 유형과 그러한 알헤브라 간에 동등성을 제공하며, 성질은 다음과 같다.

• 공간의 합리적 공동체는 설리반 미니멀 모델의 공동상호학이다.
• V에 있는 외설물의 공간은 공간 X의 이성적인 호모토피 그룹의 이중성이다.
• 합리적인 호모토피에 관한 화이트헤드 제품은 차동 d의 "양극 부분"의 이중이다.
• 두 공간은 최소한의 설리번 알헤브라가 이형인 경우에만 동일한 이성적인 호모토피 유형을 가진다.
• V ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V^{1}=0}$의 각 가능한 설리반 ${\displaystyle {대수학}^{}}$과$$유한 $치수$의 모든 V k {\$displaystyle$ V$$$^{k}$에 해당하는 단순하게 연결된 공간 X가 있다.

X가 매끄러운 다지관일 때, X(데 람 콤플렉스)의 매끄러운 미분형 미분대수는 거의 X의 모델이다. 더 정확히 말하면 그것은 Reals와 함께 X의 모델의 텐서 제품이기 때문에 실제 호모토피 타입을 결정한다.더 나아가 소수 p에 대해 p-완료된 호모토피 타입의 X를 정의할 수 있다.설리반의 "산술 사각형"은 호모토피 이론의 많은 문제들을 이성적인 호모토피 이론과 p-완료된 호모토피 이론의 조합으로, 모든 pp 동안 감소시킨다.^[11]

단순하게 연결된 공간에 대한 설리반 미니멀 모델의 구축은 영점 공간으로 확장된다.보다 일반적인 기본 그룹의 경우 사물이 더욱 복잡해진다. 예를 들어 유한 CW 복합체의 합리적 호모토피 그룹(예: $쐐기{\displaystyle {}^{}}$ S ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ S$^{1}\ve S^{2$은 무한 차원 벡터 공간이 될 수 있다.

형식 공간

A에 소멸하는 미분법을 가진 모델이 있는 경우, 역차등 대수 A는 다시 $A{\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle Q\mathbb{}}$ ${\$을$($를) 공식이라고 한다.이는 A(사소한 미분류의 미분대수로 보기)의 코호몰로지 대수학(사소한 미분수학으로 보기)이 A의 모델(최소모델일 필요는 없지만)이라고 요구하는 것과 맞먹는다.따라서 형식 공간의 합리적 호모토피 타입은 그 공동체의 고리들에 의해 완전히 결정된다.

형식 공간의 예로는 구체, H-공간, 대칭 공간 및 소형 Kahler 다지관이 있다.^[12]형식은 제품과 웨지 합계에 의해 보존된다.다지관의 경우 형식은 연결된 합계에 의해 보존된다.

반면에, 닫힌 니일마니폴드는 거의 형식적인 것이 아니다: 만약 M이 형식적인 니일마니폴드라면, 그렇다면 M은 어떤 차원의 토러스임에 틀림없다.^[13]비형식 nilmanifold의 가장 간단한 예는 하이젠베르크 다지관이며, 적분 계수를 갖는 행렬의 하위 그룹에 의해 대각선 상에 1의 값을 갖는 실제 3×3 위쪽 삼각형 행렬의 하이젠베르크 그룹의 몫이다.닫힌 심층 다지관은 형식적일 필요가 없다: 가장 간단한 예는 고다이라--이다.Thurston 매니폴드(원형 하이젠베르크 매니폴드의 제품).또한 비형식, 단순하게 연결된 복합형 폐쇄 다지관의 예도 있다.^[14]

Massey 제품은 종종 비형식을 감지할 수 있다.실제로 차등등급 대수 A가 형식이라면 매시 제품은 모두 사라져야 한다.그 반대는 사실이 아니다: 형식적인 의미, 대략적으로 말하면, 모든 매시 제품들의 "통일된" 소멸을 의미한다.보로미아 링의 보완재는 비 형식적인 공간이다. 그것은 비종교적인 트리플 매시 제품을 지원한다.

예

• X가 홀수 차원 + > ${\displaystyle$ $2n+$$1}$의 구면인 경우 최소 Sullivan $모델$은 d${\displaystyle a}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle da=0}$과$($와$)$의 원소 1, a의 기초가 되는 ${\displaystyle \mathrm{2n}}$ +${\displaystyle 1}$의 발전기를 가지고 있다.
• 심지어 2n의 만약 X는 구;0{2n>0\displaystyle}, 그것의 최소한의 설리번 모델, db=2{\displaystyle db=a^{2}}, a=0{\displaystyle da=0}을 삭제, 요소 및 1, a, b→의 기초를 두 발전기 a와 b도의 2n{2n\displaystyle}, 4n+1{4n+1\displaystyle}을 가지고 있다. 2${\displaystyle 1,a,b\to$ a$^{2$ b${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ a$^{3$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$… ${\displaystyle$ a$^{2}b\to a^{4},\ldots$ $\},$ 여기서 화살표는 d의 동작을 나타낸다.
• If X is the complex projective space ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ with ${\displaystyle n>0}$, its minimal Sullivan model has two generators u and x of degrees 2 and ${\displaystyle 2n+1}$, with ${\displaystyle du=0}$ and ${\displaystyle dx=u^{n+1}}$.$원소{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle {u\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle {}^{}}$, u 2,${\displaystyle }$…${\displaystyle u^{}}$ n ${\$1$, u, u^{2$},$$$u{\displaystyle }$$^{n},$ x${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{u}}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ x$\to u^{n+1$ $x{\displaystyle u}$ → ${\displaystyle u^{}}$ ${\displaystyle {+}^{}}$ 2,$u^\to{n+2},\dots}$의 기초를 가지고 있다$.$
• V의 a, b, x, y가 2, 3, 3 및 4이고 $차등{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$= 0 ${\displaystyle da=0$ ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle db=0$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$= 2 ${\$ $dx$$=a^{2$ ${\displaystyle \mathrm{dy}}$= $ab$라고 $가정$합시다.그렇다면 이 대수학은 형식적이지 않은 최소한의 설리번 대수다.동족학 대수학에는 a, b, x ${\displaystyle b}$ -${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xb-ay}$에 의해 각각 생성된 차원 2, 3, 6에만 비경쟁적 요소들이 있다$.$ V에서 동족학 대수학까지 모든 동족동형은 y - 0, $x$를 b의 배수로 매핑하므로 x - ${\displaysty xb-ay}$ - 0을 매핑한다$$.그래서 V는 그것의 코호몰로지 대수학의 모델이 될 수 없다.해당 위상학적 공간은 이형 이성적 동족학 링이 있지만 서로 다른 이성적 호모토피 타입이 있는 두 공간이다.${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$- ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xb-ay}$이(가) Massey 제품 $⟨{\displaystyle }$[$$[ $],$[$b]\angle }$에 있다는 점에$$ 유의하십시오$.$

타원 및 쌍곡선 공간

합리적 호모토피 이론은 유한 CW 복합체들 사이에서 예기치 않은 이분법을 밝혀냈다: 합리적인 호모토피 집단은 충분히 높은 도에서 0이거나, 아니면 기하급수적으로 성장한다.즉, ${\displaystyle X}$는 H space${\displaystyle {}_{}}$( $X{\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle Q\mathbb{}}$) ${\displaystyle H_{*}(X,\mathb {Q} )$가 유한 차원 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$-벡터$$ 공간(예: 유한 CW 복합체가 이 속성을 가지고 있음)인$$ 단순하게 연결된 공간이 되도록 한다.$\pi {\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}X}$)${\displaystyle {}_{}\otimes }$ Q ${\$도 유한 $차원{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$ -vector$$ 공간이고$$, 그렇지 않으면 합리적으로 X를 타원형으로 정의하십시오.그러자 펠릭스와 할페린은 다음과 같이 보여주었다:X가 이성적으로 쌍곡이라면, 실제 C> ${\displaystyle C>1}$과 정수 N이 있다.

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}\dim _{\mathb {Q}}\pi _{i}(X)\otimes {\mathb {Q}\geq C^{n}}}}}}$

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle$ n$\geq N}$에 대해$.$^[15]

예를 들어 구, 복잡한 투영 공간, 콤팩트한 Lie 그룹에 대한 균일한 공간은 타원형이다.반면 '대부분' 유한단지는 쌍곡선이다.예를 들면 다음과 같다.

• 타원 공간의 합리적인 코호몰로지 링이 푸앵카레 이중성을 만족시킨다.^[16]
• X가 상위 0이 아닌 이성적 동질학 그룹이 도 n인 타원형 공간인 경우, 각 베티 $번호{\displaystyle {}_{}}$ b ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle b_{i}(X)$는 최대 이항 계수$({\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{i}{}}$) ${\${n$}{i}}}}}}}}}($n-차원 토러스 동일)이다$$.^[17]
• 타원 공간 X의 오일러 특성은 음성이 아니다.오일러 특성이 양수인 경우 모든 홀수 베티 $번호{\displaystyle {}_{}}$ b ${\displaystyle {\mathrm{2i}}_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle b_{2i+1}(X)}$가 0이며$$, X의 이성적인 코호몰로지 링은 완전한 교차로 링이다.^[18]

타원형 공간의 합리적 코호몰로지 링에는 다른 많은 제약이 있다.^[19]

Bott의 추측은 단순히 연결된 모든 리만 다지관과 음이 아닌 단면 곡률로 합리적으로 타원형이어야 한다고 예측한다.비록 그것이 그러한 다지관의 모든 알려진 예를 담고 있지만, 추측에 대해서는 거의 알려져 있지 않다.^[20]

할페린의 추측에 의하면 합리적으로 타원형 섬유인 0이 아닌 오일러 특성을 가진 단순한 연결 공간의 섬유 염기서열의 합리적인 세레 스펙트럼 시퀀스는 두 번째 페이지에서 사라진다.

단순하게 연결된 유한 콤플렉스 X는 루프 공간 ${\displaystyle \Omega }$ X ${\displaystyle \Oomega X}$의 합리적 호몰로지(homology)가 최대$$ 다항식적으로 증가하는 경우에만 합리적으로 타원형이다.보다 일반적으로 X는 모든 $소수{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle p}$에 대해$Ω$ X {\$displaystyle$\Oomega X$}$의 모드 p 호몰로지(mod p homology)가 거의 다항식으로 증가하면$$ 통합 타원체라고 불린다.음이 아닌 단면 곡률을 가진 알려진 모든 리만 다지관은 사실 통합적으로 타원형이다.^[21]

참고 항목

• Mandell의 정리 – p-adic 설정에서 합리적인 호모토피 이론의 아날로그
• 색채 호모토피 이론

메모들

참조

• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (1993), "Elliptic spaces II", L'Enseignement mathématique, 39 (1–2): 25–32, doi:10.5169/seals-60412, MR 1225255
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2001), Rational Homotopy Theory, New York: Springer Nature, doi:10.1007/978-1-4613-0105-9, ISBN 0-387-95068-0, MR 1802847
• Félix, Yves; Halperin, Stephen; Thomas, Jean-Claude (2015), Rational Homotopy Theory II, Singapore: World Scientific, doi:10.1142/9473, ISBN 978-981-4651-42-4, MR 3379890
• Félix, Yves; Oprea, John; Tanré, Daniel (2008), Algebraic Models in Geometry, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-920651-3, MR 2403898
• Griffiths, Phillip A.; Morgan, John W. (1981), Rational Homotopy Theory and Differential Forms, Boston: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3041-4, MR 0641551
• Hess, Kathryn (1999), "A history of rational homotopy theory", in James, Ioan M. (ed.), History of Topology, Amsterdam: North-Holland, pp. 757–796, doi:10.1016/B978-044482375-5/50028-6, ISBN 0-444-82375-1, MR 1721122
• Hess, Kathryn (2007), "Rational homotopy theory: a brief introduction" (PDF), Interactions between Homotopy Theory and Algebra, Contemporary Mathematics, vol. 436, American Mathematical Society, pp. 175–202, arXiv:math/0604626, doi:10.1090/conm/436/08409, ISBN 9780821838143, MR 2355774
• May, J. Peter; Ponto, Kathleen (2012), More Concise Algebraic Topology. Localization, Completion, and Model Categories (PDF), University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-51178-8, MR 2884233
• Pavlov, Aleksandr V. (2002), "Estimates for the Betti numbers of rationally elliptic spaces", Siberian Mathematical Journal, 43 (6): 1080–1085, doi:10.1023/A:1021173418920, MR 1946233
• Quillen, Daniel (1969), "Rational homotopy theory", Annals of Mathematics, 90 (2): 205–295, doi:10.2307/1970725, JSTOR 1970725, MR 0258031
• Sullivan, Dennis (1977), "Infinitesimal computations in topology", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 47: 269–331, doi:10.1007/bf02684341, hdl:10338.dmlcz/128041, MR 0646078
• Sullivan, Dennis (2001) [1994], "Rational homotopy theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Sullivan, Dennis; Vigué-Poirrier, Micheline (1976), "The homology theory of the closed geodesic problem", Journal of Differential Geometry, 11 (4): 633–644, doi:10.4310/jdg/1214433729, MR 0455028