미분 등급 대수

수학, 특히 추상대수와 위상학에서, 미분등급대수는 대수 구조를 존중하는 연쇄복소구조가 추가된 등급별 연상대수이다.

정의.

미분 등급 대수(또는 줄여서 DG-대수) A는 d: $d\colon A\to A$ $d\colon A\to A$ $d\colon A\to A$ {\ $displaystyle$ d $\displaystyle$ A $\to$ A $}$ 라는 $d\colon A\to A$ 두 가지 조건을 만족하는 차수 1(동쇄 복합 규칙) 또는 차수 -1(사슬 복합 규칙)을 갖춘 등급 대수이다.

$d\circ d=0$ $d\circ d=0$ $d\circ d=0$ d $d\circ d=0$ { $displaystyle$ d \ $display$ d $d\circ d=0$ = 0 $d\circ d=0$ 。
이것은 d가 A에게 체인 복합체 또는 코체인 복합체의 구조를 제공한다고 말한다(따라서 차분이 감소 또는 상승함에 따라).
$d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ ( $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ ) $=$ ( $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ a ) $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ + $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ ( - $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ ) $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ ) $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ $displaystyle$ d $( a$ \ $cdot$ b $)=$ ( $da$ )\ $cdot$ b + ( - $1 )a$ \ $cdot$ ( $db$ ) $d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)$ 。 $\operatorname {deg}$ 서 $deg$ \ displaystyle \ $operatorname$ 요소는 균질합니다.
이것은 미분법이 평준화된 라이프니츠 규칙을 존중한다고 말한다.

같은 정의를 말하는 보다 간결한 방법은 DG-대수가 사슬 복합체의 모노이드 범주에서 모노이드 물체라고 말하는 것이다.DG-대수 간 DG 형태론은 미분 d를 존중하는 단계적 대수 동형사상이다.

차별한 대수(또한 요구하는 DGA-algebra,는 증강 DG-algebra 혹은 좀 DGA)는 DG-algebra 댄 길버트 사상으로 땅을 반지로 장착된(용어는 앙리 카르탕 예정이다)채점했어.[1]

경고:일부 소식통은 DG-algebra의 학기 DGA을 사용한다.

DG-algebras의 예

텐서 대수

그 텐서 대수는 DG-algebra는 미분과 그것이 Koszul 단지의 비슷하다.밭에 벡터 공간 V{V\displaystyle}K에게{K\displaystyle}이 채점한 벡터 공간 T(V){T(V)\displaystyle}로 정의된다.

{\displaystyle T(V)=\bigoplus_{i\geq 0}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes 나는}}.

여기에서 V⊗ 0K{\displaystyle V^{0\otimes}=K}.

V의 e1,…, en{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}기본이고{V\displaystyle}이 탄광 d{\displaystyle d}은 텐서 대수 component-wise 정의한 있다.

d:T^ᆪ(V)\to T^ᆫ(V)

에 기초 요소를 보내

{\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes{i_{k}e_})=\sum_{1\leq)k}e_{i_{1}}d(e_{i_{j}})\otimes \cdots e_{i_{k}}\otimes}\cdots \otimes \otimes.

특히 우리가 d(ei)고)나는}{\displaystyle d(e_{나는})=())^{나는}(− 1)다.

\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k})=\sum _ {1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}} e_{i_1}\times \cdotes \times \{i_{1}}

코스줄 콤플렉스

가환대수와 대수기하학에서 널리 사용되는 미분등급대수의 기본 예 중 하나는 코즐 복합체이다.이는 완전한 교차로의 평탄한 분해능을 구성하는 것을 포함한 광범위한 응용 프로그램 때문에 파생된 관점에서 파생된 임계 궤적을 나타내는 파생된 대수를 제공하기 때문이다.

드람 대수

다지관상의 차동 형태와 외부 파생 및 외부 곱이 DG-대수를 형성합니다.이것들은 파생 변형 ^[2]이론을 포함하여 광범위하게 적용된다.「de Rham cohomology」도 참조해 주세요.

특이 코호몰로지

Z $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ Z $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ \ $displaystyle \mathbb {Z}$ / $p\mathbb {Z} }$ } 에서의 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ 계수를 갖는 위상 공간의 특이 코호몰로지는 DG-대수이다. 미분 값은 짧은 정확한 $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ 0 $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ / p $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ / $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ Z →에 관련된 박스타인 동형식에 의해 주어진다. $bb {Z}$ \ $to \mathbb {Z}$ / $p^{2}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ \ $to$ 0 $0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$ 곱은 컵 곱으로 주어진다.이 미분 등급 대수는 카탄 ^[3]^[4]세미나에서 아일렌버그-맥레인 공간의 코호몰로지를 계산하는 데 사용되었다.

DG-algebras에 관한 기타 정보

DG 대수 $(A,d)$ , $d$ )의 $(A,d)$ $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ H $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ ⁡ ( $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ ) $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ / im $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ ( d ) { $display$ H _ { * } ( $A$ $(A,d)$ ) $=$ \ $ker$ ( $d$ ) / \ $operatorname {$ $im$ $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ } ( $d$ $(A,d)$ )는 $H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)$ 등급이 매겨진 $대수$ 이다.DGA 대수의 호몰로지는 증강 대수이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Cartan, Henri (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane $H(\Pi ,n)$ ". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 40 (6): 467–471. doi:10.1073/pnas.40.6.467. PMC 534072. PMID 16589508.
^ Manetti. "Differential graded Lie algebras and formal deformation theory" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 Jun 2013.
^ Cartan, H. (1954–1955). "DGA-algèbres et DGA-modules". Séminaire Henri Cartan. 7 (1): 1–9.
^ Cartan, H. (1954–1955). "DGA-modules (suite), notion de construction". Séminaire Henri Cartan. 7 (1): 1–11.

섹션 V.3 및 V.5.6을 참조해 주세요Manin, Yuri Ivanovich; Gelfand, Sergei I. (2003), Methods of Homological Algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43583-9.

[1] Cartan, Henri (1954). "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane $H(\Pi ,n)$ ". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 40 (6): 467–471. doi:10.1073/pnas.40.6.467. PMC 534072. PMID 16589508.

[2] Manetti. "Differential graded Lie algebras and formal deformation theory" (PDF). Archived (PDF) from the original on 16 Jun 2013.

[3] Cartan, H. (1954–1955). "DGA-algèbres et DGA-modules". Séminaire Henri Cartan. 7 (1): 1–9.

[4] Cartan, H. (1954–1955). "DGA-modules (suite), notion de construction". Séminaire Henri Cartan. 7 (1): 1–11.

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