기하학적 정규 링

대수 기하학 기하학에서 기하학적으로 정규 링은 베이스 필드의 어떠한 유한한 연장 후에도 정규 링으로 남아 있는 필드 위의 노메테리아 링이다.기하학적으로 규칙적인 계획은 비슷한 방식으로 정의된다.기존 용어로는 일반 국소고리가 있는 점을 단순점이라고 하고, 기하학적으로 정규 국소고리가 있는 점을 절대 단순점이라고 불렀다.특성 0 또는 대수적으로 닫힌 필드, 또는 보다 일반적으로 완벽하고 기하학적으로 정규 링은 일반 링과 동일하다.기하학적 규칙성은 클로드 체발리와 안드레 베일이 오스카 자리스키(1947)에게 완벽한 분야가 아닌 분야에 걸쳐서, 대수학적 다양성의 단순한 점에 대한 자코비안적 기준이 국소적 반지가 규칙적이라는 조건과 동등하지 않다고 지적하면서 비롯되었다.

필드 k를 포함하는 노메트리안 국부 링은 k에 대해 공식적으로 매끄러운 경우에만 기하학적으로 k에 대해 정규적이다.

예

자리스키(1947)는 규칙적이지만 기하학적으로 규칙적이지 않은 지역 고리의 두 가지 예를 다음과 같이 제시하였다.

1. k는 특성 p > 0의 장이고 a는 pth 동력이 아닌 k의 원소라고 가정해 보자.그러면^p 곡선 x + y^p = a의 모든 점이 정규 분포를 이룬다.그러나 필드 k[a^1/p]를 넘어서면 곡선의 모든 점이 단수적이다.그래서 이 곡선의 점들은 정규적이지만 기하학적으로 정규적이지 않다.
2. 앞의 예제에서 곡선을 정의하는 방정식은 기준장의 유한한 확장에 대해 환원할 수 있게 된다.이것이 이 현상의 진짜 원인은 아니다.체발리는 자리스키에게 곡선^p x + y = a² = (앞의 예시의 표기법)는 절대적으로 해석할 수 없지만, 여전히 정규적이지만 기하학적으로 정규적이지 않은 점을 가지고 있다고 지적했다.

참고 항목

• 규칙적인 계획

참조

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007/bf02684322. MR 0199181.
• Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety.", Transactions of the American Mathematical Society, 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1, JSTOR 1990628, MR 0021694