하세 원리

수학에서 헬무트 하세 원리로도 알려진 헬무트 하세의 국지적-지구적 원리는 중국인의 나머지 정리를 이용하여 각각의 프라임 숫자의 모듈로 힘을 합치면 방정식의 정수적 해답을 찾을 수 있다는 생각이다. 이것은 합리적인 숫자의 보완, 즉 실수와 p-adic 숫자의 방정식을 조사함으로써 처리된다. 하세 원리의 보다 공식적인 버전은 특정 유형의 방정식이 각 prime p에 대한 실제 숫자와 p-adic 숫자에 해결책을 가지고 있는 경우에만 합리적인 해결책을 가지고 있다고 말한다.

직감

합리적인 계수를 가진 다항식 방정식을 고려할 때, 만약 그것이 합리적인 해결책을 가지고 있다면, 이것은 또한 현실과 p-adics에 내재된 이성들처럼 실제 해결책과 p-adic 해결책을 산출한다: 글로벌 솔루션은 각각의 프라임에서 지역적 해결책을 산출한다. Hasse 원칙은 그 반대가 언제 이루어질 수 있는지, 또는 오히려 방해물이 무엇인지 묻는다: 현실과 p-adics를 통해 솔루션을 패치하여 해결책을 도출할 수 있는 시기: 지역 솔루션을 결합하여 글로벌 솔루션을 구성할 수 있는 시기.

다른 링이나 필드(예: 정수 또는 숫자 필드)에 대해 이 질문을 할 수 있다. 숫자 필드는 real과 p-adics가 아닌 복잡한 임베딩과 ${\mathfrak {p}}$ ${\$ -adics를 ${\mathfrak {p}}$ 사용하며, p ${\$ displaystyle ${\$ $mathfrak$ ${$ p} -adics는 프라임 ${\mathfrak {p}}$ p {\ $displaystystyle$ {\ $mathfak$ {p ${\mathfrak {p}}$

0을 나타내는 양식

2차 형태

Hasse-Minkowski 정리는 로컬-글로벌 원칙이 합리적인 숫자(Minkowski의 결과)에 대해 0을 2차적 형태로 나타내는 문제를 고수하고 있으며, 일반적으로는 Hasse가 입증한 대로 모든 적절한 로컬 필드 필요 조건을 사용할 때 어떤 숫자 분야에 대해서도 0을 나타내는 문제를 고수하고 있다고 기술하고 있다. 주기적 확장에 대한 하세의 정리는 국지적-지구적 원리가 수장의 주기적 확장에 대한 상대적 규범이라는 조건에 적용된다고 명시하고 있다.

입방형식

에른스트 S의 백범본. 셀머는 하세-밍코우스키 정리가 3도 형태로 확장될 수 없다는 것을 보여준다: 입방정식은 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0이며, 모든 p-adic 분야에서는 해법이 있지만, x, y, z가 모두 이성적인 숫자인 비교 해법은 없다.^[1]

Roger Heath-Brown은 최소^[2] 14개의 변수에서 정수 위에 있는 모든 입방체 형태는 0을 나타내며, Davenport의 초기 결과에서 개선되었다.^[3] 최소 10개의 변수를 가진 p-adic 숫자에 걸친 모든 입방형태는 0을 나타내기 때문에,^[2] 국지적-지구적 원리는 최소 14개의 변수에 있는 이성보다 입방형식을 사소한 것으로 유지한다.

노래 이외의 형식으로 제한하면 이보다 더 잘할 수 있다. 히스 브라운은 최소한 10개의 변수에 있는 합리적 숫자에 걸친 모든 비음속 입방체 형식이 0을 나타내고 있다는 것을 증명했고,^[4] 따라서 이 종류의 형태에 대한 하세 원리를 사소한 것으로 확립했다. 히스브라운의 결과는 0을 나타내지 않는 9개의 변수에서 이성보다 비성적 입방체 형태가 존재한다는 점에서 가장 가능한 것으로 알려져 있다.^[5] 그러나 Hooley는 Hasse 원칙이 최소 9개의 변수에 있는 합리적인 숫자에 대해 비노래 입방형식으로 0의 표현을 유지한다는 것을 보여주었다.^[6] 데이븐포트, 히스 브라운, 훌리는 모두 하디-리틀우드 서클 방식을 그들의 교정에서 사용했다. 마닌의 생각에 따르면, 입방형 형태를 유지하는 하세 원리의 장애물은 브라워 집단의 이론에 결부될 수 있다. 이것이 바로 브라워-마닌 방해인데, 이것은 하세 원리가 일부 품종의 다양성에 대해 완전히 실패한 것을 설명하는 것이다. 그러나 스코로보가토프는 브라워-마닌 방해로 하세 원리의 모든 실패를 설명할 수 없음을 보여 주었다.^[7]

상위도 형식

후지와라와 스도에 의한 백작샘플은 하세-밍코우스키 정리가 10n + 5의 형태로 확장될 수 없다는 것을 보여주는데, 여기서 n은 음이 아닌 정수다.^[8]

한편, 버치의 정리는 d가 어떤 홀수 자연수라면, N(d) 변수 이상의 어떤 형태의 도 d가 0을 나타내는 숫자 N(d)이 있다는 것을 보여준다: 하세 원리는 사소한 것을 가지고 있다.

알베르-브라워-하세-노에더 정리

알버트-브라워-하세-노에더 정리는 대수적 수 분야 K에 대한 중앙 단순 대수 A의 분할을 위한 지역-글로벌 원칙을 확립한다. A가 모든 완성 K에_v 걸쳐 분할되면 K에 대한 행렬 대수학과의 이형성이라고 기술하고 있다.

대수집단에 대한 하세 원리

대수집단에 대한 Hasse 원칙은 G가 글로벌 필드 k에 걸쳐 정의한 단순 연결 대수집단이면 그 지도는 다음과 같이 기술하고 있다.

H^{1}(k,G)\오른쪽 화살표 \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)

제품이 k의 모든 장소에 걸쳐 있는 주입식이다.

직교 그룹에 대한 Hasse 원칙은 해당 2차 형태에 대한 Hasse 원칙과 밀접하게 관련되어 있다.

크네세르(1966) 등 여러 명이 그룹별로 사례별 증명서를 통해 하세 원칙을 검증했다. 마지막 경우는 체르노우소프(1989)가 다른 사건 이후 여러 해 뒤에야 완성한 E그룹이었다₈.

대수집단에 대한 하세 원리는 다마가와 숫자에 대한 웨일 추측의 증명과 강한 근사 정리에서 사용되었다.

참고 항목

메모들

^ Ernst S. Selmer (1951). "The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³ = 0". Acta Mathematica. 85: 203–362. doi:10.1007/BF02395746.
^ ^a ^b D.R. Heath-Brown (2007). "Cubic forms in 14 variables". Invent. Math. 170 (1): 199–230. Bibcode:2007InMat.170..199H. doi:10.1007/s00222-007-0062-1.
^ H. Davenport (1963). "Cubic forms in sixteen variables". Proceedings of the Royal Society A. 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. doi:10.1098/rspa.1963.0054.
^ D. R. Heath-Brown (1983). "Cubic forms in ten variables". Proceedings of the London Mathematical Society. 47 (2): 225–257. doi:10.1112/plms/s3-47.2.225.
^ L. J. Mordell (1937). "A remark on indeterminate equations in several variables". Journal of the London Mathematical Society. 12 (2): 127–129. doi:10.1112/jlms/s1-12.1.127.
^ C. Hooley (1988). "On nonary cubic forms". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 386: 32–98.
^ Alexei N. Skorobogatov (1999). "Beyond the Manin obstruction". Invent. Math. 135 (2): 399–424. arXiv:alg-geom/9711006. Bibcode:1999InMat.135..399S. doi:10.1007/s002220050291.
^ M. Fujiwara; M. Sudo (1976). "Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails". Pacific Journal of Mathematics. 67 (1): 161–169. doi:10.2140/pjm.1976.67.161.

참조

Chernousov, V. I. (1989), "The Hasse principle for groups of type E8", Soviet Math. Dokl., 39: 592–596, MR 1014762
Kneser, Martin (1966), "Hasse principle for H¹ of simply connected groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 159–163, MR 0220736
Serge Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 250–258. ISBN 3-540-61223-8.
Alexei Skorobogatov (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics. 144. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 1–7, 112. ISBN 0-521-80237-7.

외부 링크

"Hasse principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
플래닛매트릭스 기사
Swinnerton-Dyer, Diophantine 방정식: 진행과 문제, 온라인 노트
J. 프랭클린, 글로벌 및 로컬, 수리 인텔리전서 36 (4) (2014년 12월), 4-9.

[1] Ernst S. Selmer (1951). "The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³ = 0". Acta Mathematica. 85: 203–362. doi:10.1007/BF02395746.

[HB-2] D.R. Heath-Brown (2007). "Cubic forms in 14 variables". Invent. Math. 170 (1): 199–230. Bibcode:2007InMat.170..199H. doi:10.1007/s00222-007-0062-1.

[3] H. Davenport (1963). "Cubic forms in sixteen variables". Proceedings of the Royal Society A. 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. doi:10.1098/rspa.1963.0054.

[4] D. R. Heath-Brown (1983). "Cubic forms in ten variables". Proceedings of the London Mathematical Society. 47 (2): 225–257. doi:10.1112/plms/s3-47.2.225.

[5] L. J. Mordell (1937). "A remark on indeterminate equations in several variables". Journal of the London Mathematical Society. 12 (2): 127–129. doi:10.1112/jlms/s1-12.1.127.

[6] C. Hooley (1988). "On nonary cubic forms". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 386: 32–98.

[7] Alexei N. Skorobogatov (1999). "Beyond the Manin obstruction". Invent. Math. 135 (2): 399–424. arXiv:alg-geom/9711006. Bibcode:1999InMat.135..399S. doi:10.1007/s002220050291.

[8] M. Fujiwara; M. Sudo (1976). "Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails". Pacific Journal of Mathematics. 67 (1): 161–169. doi:10.2140/pjm.1976.67.161.

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