올슈타인-울렌벡 연산자

수학에서, Ornstein–Uhlenbeck 연산자는 라플라스 연산자를 무한 차원 설정으로 일반화한 것이다.올슈타인-Uhlenbeck 연산자는 Malliavin 미적분학에서 중요한 역할을 한다.

도입: 유한차원 그림

라플라시안

스칼라 함수에 작용하는 그라데이션 연산자 ∇을ⁿ 고려한다. 스칼라 함수의 그라데이션은 벡터 필드 v = ∇f : R → R이다ⁿⁿ.스칼라 필드를 생성하기 위해 벡터 필드에 작용하는 발산 연산자 div는 ∇에 보조 연산자다.라플라스 연산자 Δ는 발산 연산자와 구배 연산자의 구성이다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$= ${\displaystyle d\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{v}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle \Delta =\mathrm {div} \circircle \nabla$ $\},$

스칼라 함수를 생성하기 위해 스칼라 함수에 작용한다.A = -Δ는 양의 연산자인 반면, Δ는 소멸 연산자라는 점에 유의한다.

스펙트럼 이론을 이용하여 조작자의 제곱근(1 - Δ)^1/2을 정의할 수 있다(1 - Δ).이 제곱근은 적절한 스칼라 함수에 대한 Sobollev H-norm¹ 및 L-norm과² 관련된 다음과 같은 관계를 만족한다.

${\displaystyle {\big \{}f{{}_{H^{1}^{1}^{1}={\big \{}{1/2}f{\big \{L^{{L^}^{2}.}$

올슈타인-울렌벡 연산자

종종 R을ⁿ 작업할 때 좋은 성질을 많이 가진 르베그 측도에 대해 일을 한다.다만 무한 차원 공간에서 일하는 것이 목적이며, 무한 차원 르베그 측정이 없는 것은 사실이다.그 대신, 어떤 분리 가능한 바나흐 공간 E를 연구하고 있다면, 이치에 맞는 것은 가우스 측정에 대한 개념이다. 특히 추상적인 위너 공간구축은 이치에 맞다.

무한 차원 설정에서 기대할 수 있는 것에 대한 직관력을 얻으려면, 표준 가우스 측정값ⁿ subsⁿ on Rⁿ: Borel이 R의 A를 하위 집합에 대해 고려한다.

${\displaystyle \gamma ^{n}(A):=\int _{A}(2\pi )^{-n/2}\exp(- x ^{2}/2)\,\mathrm {d} x.}$

이것은 (Rⁿ, B(Rⁿ), γⁿ)를 확률 공간으로 만든다; E는 γ에ⁿ 대한 기대를 나타낼 것이다.

gradient 연산자 ∇은 (차별 가능한) 함수 : : Rⁿ → R에 작용하여 벡터장 ∇ : : Rⁿ → R을ⁿ 부여한다.

발산 연산자 Δ(더 정확히 말하면 차원에 따라 다르므로 Δ_n)는 힐버트 공간 감각의 힐버트 공간 L²(Rⁿ, B(Rⁿ), γⁿ; R)에서 ∇의 부선으로 정의된다.즉 Δ는 벡터장 v : Rⁿ → R에ⁿ 작용하여 스칼라함수 Δv : R → R에ⁿ 작용하여 공식을 만족시킨다.

${\displaystyle \mathb {E} {\big [}\nabla f\cdot v{\big ]=\mathb {E} {big [}f\delta v{\big ]}.}$

왼쪽은 두 벡터장의 포인트 와이즈 유클리드 도트 제품이고 오른쪽은 두 함수의 포인트 곱셈에 불과하다.부품별 통합을 이용하여 Δ가 다음과 같이 구성 요소ⁱ v, i = 1, ..., n과 함께 벡터 필드 v에 작용하는지 확인할 수 있다.

${\displaystyle \cHB(x)=\sum_{i=1}^{n}\좌측(x_{i}v^{i})(x)-{\frac{\frac{{i}}{\\no_{i}}}{\i}}\right).}$

표기법이 "div"에서 "Δ"로 바뀌는 것은 두 가지 이유 때문인데, 첫째, Δ는 무한 차원(Malliavin 미적분학)에서 사용되는 표기법이고, 둘째, Δ는 정말로 일반적인 차이점의 음수다.

(마인드 차원) Ornstein-Uhlenbeck 연산자 L(또는 더 정확히 말하면 L_m)은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle L:=-\delta \circle \nabla ,}$

어떤 f와 g에 대해서도 모든 조건이 충분히 타당할 수 있는 유용한 공식으로,

$\delta(f\nabla g)=-\nabla f\cdot \nabla g-fLg.}$

올슈타인-Uhlenbeck 연산자 L은 다음 기준의 일반적인 Laplacian Δ와 관련이 있다.

$[\displaystyle Lf(x)=\Delta f(x)-x\cdot \nabla f(x)]}$

올슈타인-분리 가능한 바나흐 공간을 위한 Uhlenbeck 연산자

이제 Cameron-Martin Hilbert 공간 H와 Wiener 측정값 γ과 함께 추상적인 Wiener 공간 E를 생각해 보자.D는 Malliavin 파생상품을 나타내도록 하자.Malliavin 파생상품 D는 L²(E, r; R)에서 L²(E, γ; H)까지 무한 연산자로, 어떤 의미에서는 E에 대한 함수의 "임의" 정도를 측정한다.D의 영역은 L²(E, γ; R)의 전부가 아니라, 와타나베-소볼레프 공간인 밀도 높은 선형 아공간으로, 흔히 ${\displaystyle {\mathrm{},}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\$,2$}}($한 때 말리아빈의 의미로는 다르지만, L에는² 파생물이 있다).

다시 Δ는 구배 사업자의 부재로 정의된다(이 경우, Malliavin 파생상품은 구배 사업자의 역할을 하고 있다).연산자 Δ는 또한 스코로크호드 적분으로 알려져 있는데, 이것은 예측 가능한 확률적 적분이다. "스토크적 적분들은 다이버전스"라는 슬로건을 만들어 내는 것이다.Δ가 정체성을 만족시키다.

${\displaystyle \mathb {E} {\big [}\langle \mathrm {D}F,v\angle _{H}{\big ]=\mathb {E} {\big [}F\delta v{\big ]}}}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{D}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$의 모든 F에 대해,${\displaystyle {}^{}}$2 ${\$1,$2}}$및$$ Δ 도메인의 v.

그러면 오른슈타인-E에 대한 Uhlenbeck 연산자는 L에 의해 정의된다.

${\displaystyle L:=-\delta \circle \mathrm {D}.}$

참조

• Ocone, Daniel L. (1988). "A guide to the stochastic calculus of variations". Stochastic analysis and related topics (Silivri, 1986). Lecture Notes in Math. 1316. Berlin: Springer. pp. 1–79. 미스터953793
• Sanz-Solé, Marta (2008). "Applications of Malliavin Calculus to Stochastic Partial Differential Equations (Lectures given at Imperial College London, 7–11 July 2008)" (PDF). Retrieved 2008-07-09.