다항 다항식

대수학에서 다항 다항식은^[1] 다변량 다항식으로서, 그 변수 각각에서 개별적으로 선형(어느 의미)이지만, 반드시 동시에 존재하는 것은 아니다.2 이상의 검정력에 변수가 발생하지 않는 다항식, 즉 각 단항은 구별되는 변수의 곱을 일정하게 곱한 것이다.예를 들어 f(x,y,z) = 3xy + 2.5 y - 7z는 도 2의 다항식인 반면 f(x,y,z) = x² +4y는 아니다.다항 다항식의 정도는 모든 단항에서 발생하는 구별되는 변수의 최대 수입니다.

정의

다항식 다항식은 벡터[1 x], [1 y] 등에 적용되는 다항식 지도(특히 다항식)로 이해할 수 있다.일반적인 형태는 다음과 같이 텐서 수축으로 쓰여질 수 있다.

f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}

예를 들어, 두 변수:

f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}

특성.

다항식 $f$ $f$ 은 $x_{k}$ 는) 하나의 변수, $x_{k}$ $x_{k}$ ${\$ 만 변경할 때 선형(선형)임 $f$ .

f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n}=ax_{k}+b

a

서

a

및

b

b

은

a

(는) x

x_{k}

{\

에 의존하지

b

않는다

x_{k}

b

{\

displaystyle

b}은

(

는) 일반적으로 0이 아니므로

b

,

f

{\displaystystyle

f

}

은 "선처럼" 감각에서는 선형이지만

f

다중선형입니다.

반복된 두 번째 부분파생상품은 모두 0이다.

{\frac {\property ^{2}f}{\put x_{k}^{2}}=0

즉, 헤시안 행렬은 대칭적인 중공 행렬이다.

특히 라플라시안 $\nabla ^{2}f=0$ $\nabla ^{2}f=0$ $\nabla ^{2}f=0$ = 0 ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0$ 따라서 $f$ $f$ 는 조화 함수다 $f$ . $f$ 는 f $f$ 이(가) 도메인의 경계에만 maxima와 minima를 가지고 $f$ 있음을 의미한다.

보다 일반적으로는 좌표의 하위 집합에 $f$ f $f$ 의 모든 $\nabla ^{2}f=0$ 도 다중선이기 때문에, $\nabla ^{2}f=0$ 2 f = 0 $\nabla ^{2}f=0$ 은(는) 하나 이상의 변수가 고정되어도 그대로 $\nabla ^{2}f=0$ 유지된다. $,$ 좌표 축을 따라 도메인의 $모든$ " $슬라이스$ "에 f {\displaystyle f $}$ 이(가) 조화롭다 $f$ .

직사각형 도메인에서

도메인이 좌표 축(예: 하이퍼큐브)에서 직사각형인 경우, $f$ $f$ 는 도메인의 꼭지점, 즉 최소 및 최대 좌표 값을 가진 $2^{n}$ ${\$ 의 $2^{n}$ 유한 집합에 대해서만 최대값과 최소값을 갖는다 $f$ .경계 가장자리의 값은 선형 보간법으로 찾을 수 있고, 경계와 내면의 나머지 값은 라플레이스의 방정식인 $\nabla ^{2}f=0$ 2 $\nabla ^{2}f=0$ = $\nabla ^{2}f=0$ $\nabla ^{2}f=0$ 에 의해 고정되기 때문에 이들 지점의 함수 값은 기능을 완전히 결정한다 $\nabla ^{2}f=0$ ^[1]

임의 지점에서 다항식의 값은 각 좌표축을 따라 반복되는 선형 보간법으로 찾을 수 있다.동등하게, 가중치는 정점 값의 가중 평균이며, 여기서 가중치는 라그랑주 보간 다항식이다.이 가중치는 또한 고직각의 일반화된 이심 좌표 세트를 구성한다.기하학적으로 지점은 도메인을 $2^{n}$ ${\$ 2 $^{n}}}$ 작은 $2^{n}$ 하이퍼보강으로 나누며, 각 정점의 무게는 그 반대편의 하이퍼보강(수축) 볼륨이다.

대수적으로, 초직각 $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ ] i $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ = $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ ${\$ 의 다중선 보간물은 다음과 $[a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}$ 같다.

f(x)=\sum _{v}f(v)\prod _{i v_{i}=b_{i}}{\frac {x_{i}-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\prod _{i v_{i}=a_{i}}{\frac {b_{i}-x_{i}}{b_{i}-a_{i}}}

v

서 합계가 v

v

정점을 초과함

v

동등하게,

f(x)={\frac {1}{V}\sum _{v}f(v)\prod _{i}=b_{i}}(x_{i}-a_{i}}})\prod _{i}=a_{i}}}(b_{i}-x_{i}-x_{i}_{i}_{i}_{i}_{i}_{i}_}_}}}}}}}}}}_{i})}}}}}}}}

여기서 V는 초직각의 볼륨이다.

중심에 있는 값은 꼭지점 값의 산술 평균이며, 또한 도메인 경계 위의 평균이고, 내부에서의 평균이다.중심에서 구배 성분은 각 좌표 축을 따라 정점 값의 균형에 비례한다.

The vertex values and the coefficients of the polynomial are related by a linear transformation (specifically, a Möbius transform if the domain is the unit hypercube $\{0,1\}^{n}$ , and a Walsh-Hadamard-Fourier transform if the domain is the symmetric hypercube $\{-1,1\}^{n$ $}$ ).

적용들

다항식 다항식은 직사각형 그리드의 다항형 또는 n-선형 보간법, 선형 보간법, 이항 보간법 및 임의의 수의 변수에 대한 삼항 보간법이다.이것은다변량보간술의 특정한 형태로서, 부분적인 선형 보간술과 혼동해서는 안 된다.결과 다항식은 좌표의 선형 함수가 아니라(그 정도가 1보다 높을 수 있음) 적합 데이터 값의 선형 함수가 된다.

행렬의 결정체, 영구적 및 기타 임마넌트는 행렬의 원소(행 또는 열의 다중 행 형태도 포함)에 있는 동질의 다항식이다.

$n$ $n$ 변수의 $n$ 다항식은 $2^{n}$ ${\$ 2 $^{n}$ -차원 $2^{n}$ 벡터 공간을 형성하며, 이는 (pseudo-)Boolean 함수의 푸리에 분석에도 사용되는 기본이다.모든 (pseudo-)부울 함수는 다항 다항식(도메인 및 코도메인 선택까지)으로 고유하게 표현할 수 있다.

다항식 다항식들은 다항식 아이덴티티 테스트 연구에 중요하다.^[2]

참고 항목

두 개 또는 세 개의 변수가 있는 다변량 다항식을 사용하는 이선형 및 삼선형 보간법
절갈킨 다항식, F $\mathbb {F} _{2}$ ${\$ }에 대한 다항식
다중선형 및 다중선형 맵, 각 변수에서 완전히 선형(접착되지 않음)인 다중선 함수
선형 형태, 다변량 선형 함수
조화 다항식

참조

^ ^a ^b "The Interval Analysis of Multilinear Expressions". Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 267 (2): 43–53. 2010-10-01. doi:10.1016/j.entcs.2010.09.017. ISSN 1571-0661.
^ A. 지암브루노, 미하일 자이체프.다항식 ID 및 점근법.AMS서점, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7제1.3절.

[:0-1] "The Interval Analysis of Multilinear Expressions". Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 267 (2): 43–53. 2010-10-01. doi:10.1016/j.entcs.2010.09.017. ISSN 1571-0661.

[2] A. 지암브루노, 미하일 자이체프.다항식 ID 및 점근법.AMS서점, 2005 ISBN 978-0-8218-3829-7제1.3절.

[1]

[2]

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적용들

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