절갈킨다항식

절갈킨(제갈킨, 게갈킨 또는 셰갈킨^[1]) 다항식은 부울대수에서 함수의 표현이다.1927년 러시아 수학자 이반 이바노비치 제갈킨에 의해 소개된 이들은 정수모듈로 2를 넘는 다항식 고리다.^[2]결과적으로 모듈식 산술 결과의 퇴보성은 절갈킨 다항식이 일반 다항식보다 단순하여 계수나 지수를 요구하지 않는다.1은 0이 아닌 유일한 계수기 때문에 계수가 중복된다.산술모드 2에서는² x = x이기 때문에 지수가 중복된다. 따라서²⁵ 3xyz와 같은 다항식은 xyz와 일치하므로 xyz로 다시 쓸 수 있다.

부울 등가

1927년 이전까지 부울대수는 접속사, 분리, 부정 등의 논리적 연산을 가진 논리적 값의 미적분으로 여겨져 왔다.저갈킨은 모든 부울 연산을 일반 숫자 다항식으로 쓸 수 있다는 것을 보여주었는데, 이는 거짓과 참 값을 0과 1인 정수 모드 2로 나타낸다.논리 결합은 xy로, 논리 배타적 또는 산술적 덧셈모드 2, (여기서는 +를 포괄적 또는 ∨의 동의어로 사용하는 것과 혼동을 피하기 위해 x⊕y로 쓴다.)논리보완 ¬x는 x⊕1이다.∧과 ¬은 부울대수의 기초를 형성하므로 다른 모든 논리적 연산은 이러한 기본 연산의 구성이며, 따라서 일반 대수학의 다항식은 모든 부울 연산을 대표할 수 있어 부울 추론을 초등 대수학을 사용하여 수행할 수 있다.

예를 들어, 부울 2-of-3 임계값 또는 중위수 연산은 절갈킨 다항식 xy⊕yzzx로 기록된다.

형식 특성

공식적으로 절갈킨 단원형은 1로 표시된 빈 집합을 포함하여 구별되는 변수의 유한 집합(헨스 스퀘어 프리)의 산물이다.각 단수들은 각 변수의 유무에 의해 완전히 지정되기 때문에 n 변수에는 2개의ⁿ 절갈킨 단수체가 있을 수 있다.절갈킨 다항식은 절갈킨 단항 집합의 합(또는 제외)이며 빈 집합은 0으로 표시된다.다항식에서의 주어진 단항계수의 유무에 해당하는 단항계수는 각각 1 또는 0이다.절갈킨 단원형은 선형적으로 독립되어 있으며, 갈루아 필드 GF(2)(GFⁿ(2)가 아닌 NB: 곱셈이 상당히 다른 GF(2ⁿ) 위에 2차원 벡터 공간에 걸쳐 있다.이 공간의 두^2ⁿ 벡터, 즉 단수체의 단위 벡터로서의 선형 결합은 절갈킨 다항식을 구성한다.{0,1}의 n-ary 연산을 소진하는 n 변수에 대한 부울 연산 수와 정확히 일치하면 절갈킨 다항식의 완전성을 위한 직접 계수 인수가 부울 기준으로 제공된다.

이 벡터 공간은 연산으로서의 보완(비교적 논리 부정)이 결여되어 있기 때문에(동일하게, 상수로서 상위 원소가 결여되어 있기 때문에) n 발전기의 자유 부울 대수와는 동등하지 않다.이것은 공간이 요소로서 보충에 의해 닫히거나 상단(전원 벡터)이 결여되어 있지 않다는 것이 아니라, 이 공간과 유사하게 구성된 공간의 선형 변환이 보완과 상단을 보존할 필요가 없다는 것이다.이를 보존하는 것은 부울 동형성에 해당하는데, 예를 들어 하나의 변수에 대한 절갈킨 다항식의 벡터 공간으로부터 그 어떤 변수에 대한 변형이 없는 것으로 4개의 선형 변환이 있는데, 그 중 2개만이 부울 동형성이다.

계산법

절갈킨 다항식 계산에는 일반적으로 다음과 같은 다양한 알려진 방법이 있다.

불확정 계수 방법 사용
정격 이격 정규 형태를 구성함
테이블을 사용하여
파스칼법
합계법
Karnaugh 지도 사용

불확정계수법

불확실한 계수의 방법을 사용하여 함수의 모든 튜플과 그 값으로 구성된 선형 시스템이 생성된다.선형 시스템을 풀면 절갈킨 다항식의 계수가 주어진다.

예

Given the Boolean function ${\displaystyle f(A,B,C)={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}+$ $ABC},$ 절갈킨 다항식이라고 표현한다 $f(A,B,C)={\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}+{\bar {A}}B{\bar {C}}+A{\bar {B}}{\bar {C}}+ABC$ 이 함수는 열 벡터로 표현할 수 있다.

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

→

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

=

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

(

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

0

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

1

{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}

)

{\

이 벡터는 결정되지 않은 계수의 벡터를 좌-다중으로 곱한 출력이어야 한다.

{\displaystyle {\vec}={\pmatrix}c_{0}\\\c_{1}\c_{1}\c_{2}\\c_{3}\c}\c_{5}\c_\6}\c_\c_{7}\end{pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}.

A, B, C의 가능한 모든 접속사가 취할 수 있는 값을 나타내는 8x8 논리 행렬에 의해.다음과 같은 가능한 값이 다음 진실 표에 제시되어 있다.

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}A&B&C&\;\;\;\;\;\;\;\;&1&C&B&BC&A&AC&AB&ABC\\\hline 0&0&0&&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&&1&1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&&1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&0&&1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&&1&1&1&1&1&1&1&1\end{array}}

{\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}A&B&C&\;\;\;\;\;\;\;\;&1&C&B&BC&A&AC&AB&ABC\\\hline 0&0&0&&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&&1&1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&&1&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&&1&1&0&0&1&1&0&0\\1&1&0&&1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&&1&1&1&1&1&1&1&1\end{array}}

BC&A&AC&

AB&, ABC\\\hline 0&, 0&, 0&,&1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 1&,&1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 0&,&1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\0&, 1&, 1&,&1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&,&1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&.0&, 0\\1&, 0&, 1&,&1&, 1&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&,&1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0\\1&, 1&, 1&,&1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\end{배열}}}.

위의 진실 표의 정보는 다음과 같은 논리 행렬로 인코딩할 수 있다.

S_{3}={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\end{pmatrix}}

여기서 'S'는 시에르피에스키 삼각형에서와 같이 "Sierpiński"를 의미하며, 첨자 $2^{3}\times 2^{3}$ 은 그 크기의 지수를 2 $2^{3}\times 2^{3}$ $2^{3}\times 2^{3}$ 2 $2^{3}\times 2^{3}$ ${\$ 2 $^{3}\times$ 2 $^{$ 3 $3}}}}}}}}}.$

이러한 모든 "Sierpiskiski 매트릭스" $S_{n}$ $S_{n}$ {\ $displaystyle S_{n}}$ 이 자신의 역행이라는 것은 $S_{n}$ 수학적 유도와 블록 매트릭스 곱셈을 통해 증명할 수 있다.^{[nb 1]}

그러면 선형계는

S_{3}{\vec{c}}={\vec{f}}

${\vec {c}}$ → ${\$ :

{\vec {c}}=S_{3}^{-1}{\vec {f}}=S_{3}{\vec {f}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&1&1&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\\1\oplus 1\oplus 1\\1\oplus 1\oplus 1\oplus 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}

10101001))(111⊕ 11⊕ 11⊕ 11⊕ 11⊕ 1⊕ 11⊕ 1⊕ 1⊕ 1)=(11000010){\displaystyle{\vec{c}}=S_{3}^{)}{\vec{f}}=S_{3}{\vec{f}}={\begin{pmatrix}1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&.;0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 0&.0&, 0&, 0\\1&, 0&, 0&, 0&, 1&, 0&, 0&, 0\\1&, 1&, 0&, 0&, 1&, 1&, 0&, 0\\1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0&, 1&, 0\\1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1&, 1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\\1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\oplus1\\1\oplus1\\1\oplus1\\1\oplus1\\1\oplus1\oplus 1\\1\opl.우리1\oplus 1\oplus 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}},

${\vec {c}}$ c ${\vec {c}}$ → ${\$ 에 해당하는 절갈킨 다항식은 $1\oplus C\oplus AB$ $1\oplus C\oplus AB$ $1\oplus C\oplus AB$ $1\oplus C\oplus AB$ $1\oplus C\oplus AB$ $1\oplus C\oplus AB$ 입니다 ${\vec {c}}$ $1\oplus C\oplus AB$

정격 이격 정규 형식 사용

이 방법을 사용하여 정격 이격 정규 형태(완전히 확장된 이격 정규 형태)를 먼저 계산한다.그런 다음 이 식의 부정은 변수의 mod 2 합과 1을 사용한 등가 식으로 대체된다.분리 기호는 추가 mod 2로 변경되고 대괄호는 열리며 결과 부울 식은 단순화된다.이러한 단순화는 절갈킨 다항식을 초래한다.

테이블 사용

표 방법에 의한 예시함수 P의 절갈킨 다항식 계산

$c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ , $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ . $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ . . $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ , $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ - $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ ${\$ }, $...,c_{2^{n$ }- $1}$ 을 n 변수의 함수 P에 대한 진리 테이블의 출력이 되게 $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ 하여 c $c_{i}$ ${\$ s $c_{i}$ 의 인덱스가 minterms의 이진 인덱싱에 해당하도록 한다.^{[nb 2]}ζ 함수를 재귀적으로 정의한다.

\zeta(c_{i}):=c_{i}

\zeta (c_{0},...,c_{k}):=\zeta (c_{0},...,c_{k-1})\oplus \zeta (c_{1},...,c_{k})

.

참고:

\제타(c_{0},...,c_{m}=\bigoplus _{k=0}^{m}{m \선택 k}_{2}c_{k}}}}}}}

여기서 ${m \choose k}_{2}$ ( ${m \choose k}_{2}$ ${m \choose k}_{2}$ ) ${m \choose k}_{2}$ ${\$ m $\선택 k}_{2$ }}은 이항계수 감소모듈로 2이다 ${m \choose k}_{2}$ .

그러면.

g_{i}=\zeta(c_{0},...,c_{i})

음수 리터럴을 제거(또는 1로 대체)하는 것을 제외하고 i단계의^th 리터럴이 iminterm의^th 리터럴과 동일한 제갈킨 다항식의 i 계수다^th.

The ζ-transformation is its own inverse, so the same kind of table can be used to compute the coefficients $c_{0},...,c_{2^{n}-1}$ given the coefficients $g_{0},...,g_{2^{n}-1}$ . Just let

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

=

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

(

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

.

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

.

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

. . .

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

i

c_{i}=\zeta (g_{0},...,g_{i})

)

{\displaystyle c_{i}=\zeta (g_{0},

...,

g_{i

그림의 표와 관련하여, 진실 표의 출력물(P라는 열)을 삼각형 표의 맨 왼쪽 열에 복사한다.그런 다음 각 쌍의 상단 셀 오른쪽에 셀을 즉시 채우기 위해 수직으로 인접한 셀의 각 쌍에 XOR를 적용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 열을 연속적으로 계산한다.삼각형 테이블 전체를 채우면 위쪽 행은 단순화(영점 제거) 시 절갈킨 다항식을 산출하는 선형 조합의 계수를 읽는다.

절갈킨 다항식에서 진리 테이블로 가려면 삼각형의 표의 맨 윗줄에 절갈킨 다항식의 계수를 채우는 것이 가능하다(다항식이 아닌 양문자의 모든 조합에 대해 0을 입력).그런 다음 각 쌍의 가장 왼쪽 셀 하단에 셀을 즉시 채우기 위해 수평으로 인접한 셀의 각 쌍에 XOR를 적용하여 위에서 아래로 연속적으로 행을 계산한다.삼각형 테이블 전체를 채우면 그 테이블의 맨 왼쪽 열을 진리 테이블의 P열에 복사할 수 있다.

이와는 별도로, 이 계산 방법은 규칙 102라고 하는 기본적인 세포 자동화의 작동 방법과 일치한다는 점에 유의한다.예를 들어, 부울 식의 진실 표(또는 표준 이절 정규 형식의 계수) 출력값으로 설정된 8개의 셀로 그러한 셀룰러 자동화를 시작하십시오: 10101001.그런 다음 가장 왼쪽 셀의 상태를 기록하면서 7세대를 더 셀룰러 자동화를 실행하십시오.이 세포의 역사는 11000010으로 밝혀지며, 이는 해당 절갈킨 다항식의 계수를 보여준다.^[3]^[4]

파스칼 방법

Using the Pascal method to compute the Zhegalkin polynomial for the Boolean function

{\bar {a}}{\bar {b}}{\bar {c}}+{\bar {a}}b{\bar {c}}+{\bar {a}}bc+ab{\bar {c}}

.아래쪽의 러시아어 줄에는 다음과 같이 적혀 있다.

\oplus

\oplus

\oplus

– 비트 작업 "독점 OR"

제갈킨 다항식을 수동으로 구성하기 위한 계산량과 편법 면에서 가장 경제적인 것은 파스칼 방법이다.

$2^{N}$ ${\$ 열과 $2^{N}$ $N+1$ + $N+1$ $N+1$ 행으로 $N+1$ 구성된 테이블을 작성하며, 여기서 N은 함수의 변수 수입니다.표의 맨 위 행에 함수 값의 벡터, 즉 진리 표의 마지막 열을 배치한다.

결과 테이블의 각 행은 블록(그림의 검은색 선)으로 나뉜다.첫 번째 줄에서, 블록은 두 번째 줄에서, 두 번째 줄에서, 두 번째 줄에서, 네 번째 줄에서, 여덟 번째 줄에서, 한 셀을 차지한다.우리가 "하한 블록"이라고 부를 특정 라인의 각 블록은 항상 이전 라인의 정확히 두 블록에 해당한다.우리는 그들을 "좌측 상부 블록"과 "우측 상부 블록"이라고 부를 것이다.

공사는 2호선에서 시작한다.왼쪽 상단 블록의 내용은 변경 없이 하단 블록의 해당 셀(그림의 녹색 화살표)로 전송된다.그런 다음 오른쪽 상단 및 왼쪽 상단 블록에 대해 "추가 모듈로 2" 작업이 비트 방식으로 수행되고 그 결과가 하단 블록 우측의 해당 셀(그림의 빨간색 화살표)로 전달된다.이 작업은 위에서 아래로 이어지는 모든 라인과 각 라인에 있는 모든 블록으로 수행된다.공사가 완료된 후, 맨 아래 줄에는 위에 기술한 삼각법에서와 같은 순서로 쓰여진 절갈킨 다항식의 계수인 일련의 숫자가 들어 있다.

합계법

변수 개수가 다른 함수에 대한 절갈킨 다항식 계수의 그래픽 표현.

진리표에 따르면 절갈킨 다항식의 개별 계수를 계산하기 쉽다.이렇게 하려면 조합에 포함되지 않은 변수(계산되는 계수에 해당하는)가 0 값을 갖는 진리 표의 해당 행에 있는 함수 값을 modulo 2에 합친다.

예를 들어, 세 변수 $f(x,y,z)$ , y $f(x,y,z)$ , $f(x,y,z)$ )의 함수에 대해 xz 접속사의 계수를 찾을 필요가 있다고 가정하자, ${\displaystyle f(x,y,z)}.$ 이 접속사에는 변수 y가 없다.변수 y가 0 값을 갖는 입력 세트를 찾으십시오.0, 1, 4, 5 (000, 001, 100, 101) 세트 입니다.그러면 접속사 xz에서의 계수는

a_{5}=f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{1}\oplus f_{4}\oplus f_{5}=f(0,0,0)\oplus f(1,0,1)\oplus f(1,0,1)

항이 상수인 변수가 없기 때문에

a_{0}=f_{0}

a_{0}=f_{0}

=

a_{0}=f_{0}

a_{0}=f_{0}

{\

모든 변수를 포함하는 항의 경우 합계는 함수의 모든 값을 포함한다.

a_{N-1}=f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{2}\oplus...\oplus f_{{N-2}\oplus f_{N:1}

절갈킨 다항식의 계수를 특정 지점에서 함수 값의 합계 모듈로 2로 그래픽으로 나타내자.이를 위해 각 열은 점 중 하나에서 함수의 값을 나타내고 행은 절갈킨 다항식의 계수인 정사각형 표를 구성한다.일부 열과 행의 교차점에 있는 점은 이 점에서 함수 값이 주어진 다항식 계수의 합계에 포함됨을 의미한다(그림 참조).이 표를 T $T_{N}$ ${\$ 라고 하는데 여기서 N은 함수의 변수 수입니다 $T_{N}$

$N-1$ - $N-1$ $N-1$ 변수의 $N-1$ 함수 테이블을 가질 수 있는 패턴이 있다.새 테이블 $T_{N}+1$ $T_{N}+1$ + 1 ${\displaystyle T_{N}+1$ }은 $($ 는) $T_{N}$ $T_{N}$ ${\$ 테이블의 $T_{N}$ 2 × 2 행렬로 배열되며 $T_{N}+1$ , 매트릭스의 오른쪽 상단 블록이 지워진다.

격자이론적 해석

Consider the columns of a table $T_{N}$ as corresponding to elements of a Boolean lattice of size $2^{N}$ . For each column $f_{M}$ express number M as a binary number $M_{2}$ , then ${\displaystyle f_{M}\leq$ $f_{K}}($ $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ K $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ = $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ ${\$ }}: $M_{2}\vee K_{2}=K_{2}$ $\vee$ ${\displaysty \ve }}$ 이(가) 비트 OR을 나타내는 $\vee$ 경우에만 해당된다.

표 $T_{N}$ $T_{N}$ ${\$ 의 행에 0 ~ $2^{N}-1$ $2^{N}-1$ - $2^{N}-1$ ${\displaystyle$ 2 $^{N}-1}$ 사이의 번호가 위에서 아래로 번호가 $T_{N}$ 매겨진 경우, 행 번호 R의 표 형식 내용은 격자의 $f_{R}$ ${\$ 요소에 의해 생성되는 이상이다 $2^{N}-1$

우연히 T $T_{N}$ ${\$ 테이블의 전체 패턴이 논리 $T_{N}$ 행렬 Sierpiński 삼각형의 패턴이라는 점을 주목하십시오.또한, 이 패턴은 규칙 60이라는 가장 왼쪽 셀이 1로 설정되고 다른 셀이 모두 지워지는 것을 시작으로 하는 기본적인 셀룰러 오토매틱에 해당한다.

Karnaugh 지도 사용

Karnaugh 지도를 Jehgalkin 다항식으로 변환.

그림은 카노 지도로 대표되는 세 가지 변수인 P(A, B, C)의 함수를 보여주는데, 독자는 이러한 지도를 절갈킨 다항식(Zegalkin)으로 변환하는 방법의 예로서 고려할 수 있다. 일반적인 절차는 다음과 같다.

우리는 Karnaugh 지도의 모든 셀을 코드의 단위 수만큼 오름차순으로 고려한다.세 변수의 함수에서 셀 순서는 000–100–010–001–001–1101–101–011–111이 될 것이다.카노 지도의 각 셀은 코드의 위치에 따라 제갈킨 다항식의 멤버와 연관되어 있다.예를 들어, 셀 111은 멤버 ABC, 셀 101은 멤버 AC, 셀 010은 멤버 B, 셀 000은 멤버 1에 해당한다.
해당 셀이 0이면 다음 셀로 이동하십시오.
문제의 셀이 1인 경우, 해당 용어를 절갈킨 다항식(Zegalkin polyomial)에 추가한 후, 이 용어가 1인 카르노(Karnaugh map)의 모든 셀(또는 이 용어에 의해 생성된 이상에 속하는, 단항식의 부울 격자)에 속하는 셀을 반전시키고 다음 셀로 이동한다.예를 들어, 110번 셀을 검사할 때 그 안에 AB라는 용어가 나타난다면, 그 다음 절갈킨 다항식에 AB라는 용어가 추가되고 카르노 지도의 모든 셀이 반전되는데, A = 1과 B = 1. 단위가 셀 000에 있으면 1번 용어가 절갈킨 다항식에 추가되고 전체 카르노 지도가 반전된다.
다음 번 반전 후 카노 지도의 모든 세포가 0이 되거나 상관없는 상태가 될 때 변환 과정은 완전한 것으로 간주할 수 있다.

뫼비우스 변환

Möbius 반전 공식은 부울 합계 Minterms 식과 절갈킨 다항식의 계수를 연관시킨다.이것은 뫼비우스 공식의 부분 순서 버전이지 숫자 이론이 아니다.부분 주문을 위한 뫼비우스 반전 공식은 다음과 같다.

g(x)=\sum _{y:y\leq x}f(y)\leftrightarrow f(x)=\sum _{y:y\leq x}g(y)\mu (y,x)

,^[5]

여기서 $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ , x $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ ) $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ = $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ ( $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ - 1 $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ ) $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ - $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ $displaystyle \mu(y,x)=(-1)^{ x$ - y $\mu (y,x)=(-1)^{|x|-|y|}$ x는 0에서 x까지의 해밍 거리 x이다.제갈킨 $-1\equiv 1$ 에서 $-1\equiv 1$ - $-1\equiv 1$ in 1 $displaystyle -1\$ equiv 1 $}$ 이(가) $있기$ 때문에 뫼비우스 함수는 상수 1로 붕괴된다.

주어진 숫자 x의 구분자 집합은 또한 그 숫자에 의해 생성되는 이상적인 순서다: $\langle x\rangle$ x $\langle x\rangle$ { $\langle x\rangle$ {\ $displaystyle \langle$ x $\angle$ 합계가 modulo 2이므로 공식을 다음과 같이 재작성할 수 있다.

g(x)=\bigoplus _{y:y\in \langle x\rangle }f(y)\좌우타로우 f(x)=\bigoplus _{y:y\in \langle x\g(y)

예

예를 들어, 세 가지 변수의 경우를 생각해 보십시오.다음 표는 가점 관계를 보여준다.

x	x의 구분자
000	000
001	000, 001
010	000, 010
011	000, 001, 010, 011
100	000, 100
101	000, 001, 100, 101
110	000, 010, 100, 110
111	000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111

그러면

g(000)=f(000)

g(001)=f(000)\oplus f(001)

g(010)=f(000)\oplus f(010)

g(011)=f(000)\oplus f(001)\oplus f(010)\oplus f(011)

g(100)=f(000)\oplus f(100)

g(101)=f(000)\oplus f(001)\oplus f(100)\oplus(101)

g(110)=f(000)\oplus f(010)\oplus f(100)\oplus f(110)

g(f)=f(000)\oplus f(001)\oplus f(010)\oplus f(011)\oplus f(100)\oplus f(101)\oplus f(110)\oplus f(110)\oplus f(m)\oplus f(m)

위의 방정식 시스템은 f에 대해 해결할 수 있으며, 그 결과는 위의 시스템 전체에 걸쳐 g와 f를 교환함으로써 얻을 수 있는 것으로 요약할 수 있다.

아래 표는 연관된 절갈킨 단수 및 부울 문자와 함께 이진수를 보여준다.

부울 민기	ABC	절갈킨단원숭이
${\bar {A}{\bar {B}{\bar {C}$	000	1
${\bar{A}{\bar {B}C$	001	C
${\bar{A}B{\bar {C}$	010	B
${\bar {A}BC$	011	기원전
$A{\bar{B}{\bar {C}$	100	A
$A{\bar{B}C$	101	AC
$AB{\bar{C}$	110	AB
$(\displaystyle ABC}$	111	ABC

절갈킨 단원형은 자연적으로 불분명한 것에 의해 순서가 정해지는 반면, 부울민어는 자연적으로 순서가 정해지는 것이 아니다; 각각의 것은 3변수의 Ven 도표 중 독점적인 8분의 1을 나타낸다.The ordering of the monomials transfers to the bit strings as follows: given $a_{1}a_{2}a_{3}$ and $b_{1}b_{2}b_{3}$ , a pair of bit triplets, then $a_{1}a_{2}a_{3}\leq b_{1}b_{2}b_{3}\leftrightarrow a_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq b_{2}\wedge a_{3}\leq b_{3}$ $a_{1}a_{2}a_{3}\leq b_{1}b_{2}b_{3}\leftrightarrow a_{1}\leq b_{1}\wedge a_{2}\leq b_{2}\wedge a_{3}\leq b_{3}$ ${\$ 2} $a_{3}\leq b_{1}b_{2}b_{3}\왼쪽$ 화살표 $a_{1}\leq b_{1}\$ n1}\ $leq$ b_{1}\ $i1}\leput a_{3}\leq b_{3$

세 변수의 부울 합계와 절갈킨 다항식 사이의 대응은 다음과 같다.

f(000){\bar {A}}{\bar {B}}{\bar {C}}\vee f(001){\bar {A}}{\bar {B}}C\vee f(010){\bar {A}}B{\bar {C}}\vee f(011){\bar {A}}BC\vee f(100)A{\bar {B}}{\bar {C}}\vee f(101)A{\bar {B}}C\vee f(110)AB{\bar {{C}\ve f(111)ABC

{\displaystyle \qquad \qquad \equiv g(000)\oplus g(001)C\oplus g(010)B\oplus g(011)

BC\oplus g(100)A\oplus g(101)

AC\oplus g(110)

AB\oplus g(111)

ABC}

.

위의 방정식 시스템은 논리 행렬 방정식으로 요약될 수 있다.

{\displaystyle{\begin{pmatrix}(000)\\g(001)\\g(010)\\g(011)\\g(100)\\g(101)\\g(110)\\g(111)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0\\1&,&1&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0\\1&,&0&,&1&,&0&,&0&,&0&,&0&,&0\\1&,&1&,&1&,&1&,&0&,&0&,&0&,&0\\1&,&0&,&0&,&0&,&1&,&0&,&0&,&0\\1&,&1&,&0&,&0&,&1&,&1&,&0&,&0\\1&,&0&,&1&,&0&,&1&,&0&,&1&,&0\\1&,&1&&1&,&1&,&1&,&1&,&1&,&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}(000)\f(001)\\f(010)\\f(011)\\f(100)\f(101)\f(101)\f(110)\f(70)\end{pmatrix}}}}}}

N. J. Wildberger는 Boole-Möbius 변환이라고 부른다.

아래는 g ~ f 방향으로 이동하는 변환의 "XOR 스프레드시트" 형태를 나타낸다.

$f_{000}$	${\displaystyle f_{001}.$	$f_{010}$	$f_{011}$	$f_{100}$	$f_{101}$	$f_{110}$	$f_{{pair}$
$g_{000}$	$g_{000}\oplus g_{001$	$g_{000}\oplus g_{010}$	$g_{000}\oplus g_{010}\oplus g_{001}\oplus g_{011}}$	$g_{000}\oplus g_{100}$	$g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{001}\oplus g_{101}$	$g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{010}\oplus g_{110}$	$g_{000}\oplus g_{100}\oplus g_{010}\oplus g_{110}\oplus g_{001}\oplus g_{011}\oplus g_{011}\oplus g_{{merv}}}}}$
${\디스플레이 스타일 g_{001}$	$g_{001}\oplus g_{010}$	$g_{001}\oplus g_{011}$	$g_{001}\oplus g_{011}\oplus g_{010}\oplus g_{100}}$	$g_{001}\oplus g_{101}$	$g_{001}\oplus g_{101}\oplus g_{010}\oplus g_{110}}$	$g_{001}\oplus g_{101}\oplus g_{011}\oplus g_{n3}$
$g_{010}$	$g_{010}\oplus g_{011}$	$g_{010}\oplus g_{100}$	$g_{010}\oplus g_{100}\oplus g_{011}\oplus g_{101}$	$g_{010}\oplus g_{110}$	$g_{010}\oplus g_{110}\oplus g_{011}\oplus g_{mov}}$
$g_{011}$	$g_{011}\oplus g_{100}$	$g_{011}\oplus g_{101}$	$g_{011}\oplus g_{101}\oplus g_{100}\oplus g_{110}}$	$g_{011}\oplus g_{11}}$
$g_{100}$	$g_{100}\oplus g_{101}$	$g_{100}\oplus g_{110}$	$g_{100}\oplus g_{110}\oplus g_{101}\oplus g_{115}$
$g_{101}$	$g_{101}\oplus g_{110}$	$g_{101}\oplus g_{{message}$
$g_{110}$	$g_{110}\oplus g_{11}$
$g_{111}$

참고 항목

메모들

^ 기본 사례로,
$S_{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$

${\displaystyle(S_{0})^{2}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}=I_{0}}$
$I_{n}$ 서 $I_{n}$ ${\$ 는 크기 $2^{n}\times 2^{n}$ $2^{n}\times 2^{n}$ $2^{n}\times 2^{n}$ ${\$ 의 ID 매트릭스를 나타내기 위해 사용된다 $I_{n}$ .귀납적 가정은
$(S_{n})^{2}=I_{n}$ ) $(S_{n})^{2}=I_{n}$ = $(S_{n})^{2}=I_{n}$ $(S_{n})^{2}=I_{n}$ ${\$
그러면 귀납 단계는 다음과 같다.
$S_{n+1}:={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\otimes S_{n}$ ,
여기서 $\otimes$ $\otimes$ 은 $\otimes$ (는) Kronecker 제품을 의미한다.
$(S_{n+1})^{2}={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{n}S_{n}\oplus OS_{n}&S_{n}O\oplus OS_{n}\\S_{n}S_{n}\oplus S_{n}S_{n}&S_{n}O\oplus S_{n}S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{n}&O\\I_{n}\oplus I_{n}&I_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{n}&O\\O&I_{n}\end{pmatrix}}=I_{n+1}$ ${\displaystyle (S_{n+1})^{2}={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{n}S_{n}\oplus OS_{n}&S_{n}O\oplus OS_{n}\\$ $S_{n}S_{n}\oplus S_{n}S_{n}&S_{n}O\oplus S_{n}S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}}$ $I_{n}&O\\$ $I_{n}\oplus I_{n}&$ $I_{n}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}$ $I_{n}&O\\O&$ $I_{n}\end{pmatrix}}=$ $I_{n+1$
또는 Kronecker 제품 측면에서,
${\displaystyle S_{n+1}^{2}=(S_{1}\otimes S_{n})(S_{1}\otimes S_{n})=$ $S_{1}^{2}\otimes S_{n}^{2}=$ $I_{1}\otimes I_{n}=I_{n+1$ }:{n+1 $}:{$ n2}} $S_{n+1}^{2}=(S_{1}\otimes S_{n})(S_{1}\otimes S_{n})=S_{1}^{2}\otimes S_{n}^{2}=I_{1}\otimes I_{n}=I_{n+1}$ .
^ 민어는 절갈킨 단항체의 부울 상대편이다.n-변수 컨텍스트의 $2^{n}$ $2^{n}$ ${\$ 절갈킨 $2^{n}$ 모노미알과 $2^{n}$ ${\$ 부울 $2^{n}$ 민터럼도 있다.n-변수 컨텍스트의 최소 조건은 n 리터럴의 AND-제품으로 구성되며, 각 리터럴은 컨텍스트의 변수가 되거나 그러한 변수의 NOT-negation이다.더욱이, 문맥의 각 변수에 대해, 각 미니어처마다 정확히 한 번씩 해당 문자(그 변수의 주장 또는 부정)가 나타나야 한다.n 변수의 부울 함수에 대한 진실 표에는 정확히 $2^{n}$ ${\$ 행이 $2^{n}$ 있으며, 각 행의 입력은 해당 부울 함수의 독립 변수 집합인 민어에 자연스럽게 대응된다. (각 0 입력은 부정 변수에 해당하며, 각 1 입력은 주장 변수에 해당한다.)
부울 표현은 (De Morgan ID를 통해) AND 또는 OR에 대해가 아닌 OR에 대해 AND를 반복적으로 배포하고 이중 부정(cf. Normal form)을 취소한 다음, 제품 합계를 얻었을 때 누락된 리터럴로 곱하여 Minterms 형식으로 변환할 수 있다.누락된 리터럴을 포함하는 제외된 중간 법칙의 s. 마지막으로 OR에 대해 AND를 다시 배포한다.
절갈킨 단원어와 부울음 문자 사이에는 주어진 문맥에 대한 공식적인 서신이 있다는 점에 유의한다.그러나 서신은 논리적으로 동등하지 않다.예를 들어, {A, B, C} 컨텍스트의 경우 절갈킨 단항 AB와 부울 $AB{\bar {C}}$ A $AB{\bar {C}}$ 의 $AB{\bar {C}}$ {\ $displaystyle AB{\bar{C$ 사이에 공식적인 서신이 있지만, 논리적으로 동등하지는 않다. (이 예시보다 더 자세한 내용은 "뫼비우스 변환" 섹션의 두 번째 표를 참조하십시오.)동일한 비트스트링 집합을 사용하여 부울 minterms 집합과 절갈킨 monomials 집합을 모두 인덱싱한다.)

참조

^ Steinbach, Bernd; Posthoff, Christian (2009). "Preface". Written at Freiberg, Germany. Logic Functions and Equations - Examples and Exercises (1st ed.). Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media B. V. p. xv. ISBN 978-1-4020-9594-8. LCCN 2008941076.
^ ^a ^b Жега́лкин [Zhegalkin], Ива́н Ива́нович [Ivan Ivanovich] (1927). "O Tekhnyke Vychyslenyi Predlozhenyi v Symbolytscheskoi Logykye" О технике вычислений предложений в символической логике [On the technique of calculating propositions in symbolic logic (Sur le calcul des propositions dans la logique symbolique)]. Matematicheskii Sbornik (in Russian and French). Moscow, Russia. 34 (1): 9–28. Mi msb7433. Archived from the original on 2017-10-12. Retrieved 2017-10-12.
^ Suprun [Супрун], Valeriy P. [Валерий Павлович] (1987). "Tablichnyy metod polinomial'nogo razlozheniya bulevykh funktsiy" Табличный метод полиномиального разложения булевых функций [The tabular method of polynomial decomposition of Boolean functions]. Kibernetika [Кибернетика] (Cybernetics) (in Russian) (1): 116–117.
^ Suprun [Супрун], Valeriy P. [Валерий Павлович] (2017). "Osnovy teorii bulevykh funktsiy" Основы теории булевых функций [Fundamentals of the theory of Boolean functions]. М.: Lenand [Ленанд] / URSS (in Russian): 208.
^ "Möbius inversion". Encyclopedia of Mathematics. 2021-02-17 [2011-02-07]. Archived from the original on 2020-07-16. Retrieved 2021-03-27.
^ Bell, Eric Temple (1927). "Arithmetic of Logic". Transactions of the American Mathematical Society. 29 (3): 597–611. doi:10.2307/1989098. JSTOR 1989098.
^ Stone, Marshall (1936). "The Theory of Representations for Boolean Algebras". Transactions of the American Mathematical Society. 40 (1): 37–111. doi:10.2307/1989664. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989664.

추가 읽기

Gindikin [Гиндикин], Semen Grigorʹevich [Семен Г.] (1972). алгебра логики в задачах [Algebraic Logic] (in Russian) (1 ed.). Moscow, Russia: Наука [Nauka]. ISBN 0-387-96179-8. (288쪽) (NB. 번역: Springer-Verlag, 1985년).[1])
Perkowski, Marek A.; Grygiel, Stanislaw (1995-11-20). "6. Historical Overview of the Research on Decomposition". A Survey of Literature on Function Decomposition. Version IV. Functional Decomposition Group, Department of Electrical Engineering, Portland University, Portland, Oregon, USA. pp. 21–22. CiteSeerX 10.1.1.64.1129. (일반 페이지)

[NB1-3] 기본 사례로,
$S_{0}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}$

${\displaystyle(S_{0})^{2}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}=I_{0}}$
$I_{n}$ 서 $I_{n}$ ${\$ 는 크기 $2^{n}\times 2^{n}$ $2^{n}\times 2^{n}$ $2^{n}\times 2^{n}$ ${\$ 의 ID 매트릭스를 나타내기 위해 사용된다 $I_{n}$ .귀납적 가정은
$(S_{n})^{2}=I_{n}$ ) $(S_{n})^{2}=I_{n}$ = $(S_{n})^{2}=I_{n}$ $(S_{n})^{2}=I_{n}$ ${\$
그러면 귀납 단계는 다음과 같다.
$S_{n+1}:={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\otimes S_{n}$ ,
여기서 $\otimes$ $\otimes$ 은 $\otimes$ (는) Kronecker 제품을 의미한다.
$(S_{n+1})^{2}={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{n}S_{n}\oplus OS_{n}&S_{n}O\oplus OS_{n}\\S_{n}S_{n}\oplus S_{n}S_{n}&S_{n}O\oplus S_{n}S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{n}&O\\I_{n}\oplus I_{n}&I_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{n}&O\\O&I_{n}\end{pmatrix}}=I_{n+1}$ ${\displaystyle (S_{n+1})^{2}={\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S_{n}&O\\S_{n}&S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{n}S_{n}\oplus OS_{n}&S_{n}O\oplus OS_{n}\\$ $S_{n}S_{n}\oplus S_{n}S_{n}&S_{n}O\oplus S_{n}S_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}}$ $I_{n}&O\\$ $I_{n}\oplus I_{n}&$ $I_{n}\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}$ $I_{n}&O\\O&$ $I_{n}\end{pmatrix}}=$ $I_{n+1$
또는 Kronecker 제품 측면에서,
${\displaystyle S_{n+1}^{2}=(S_{1}\otimes S_{n})(S_{1}\otimes S_{n})=$ $S_{1}^{2}\otimes S_{n}^{2}=$ $I_{1}\otimes I_{n}=I_{n+1$ }:{n+1 $}:{$ n2}} $S_{n+1}^{2}=(S_{1}\otimes S_{n})(S_{1}\otimes S_{n})=S_{1}^{2}\otimes S_{n}^{2}=I_{1}\otimes I_{n}=I_{n+1}$ .

[NB2-4] 민어는 절갈킨 단항체의 부울 상대편이다.n-변수 컨텍스트의 $2^{n}$ $2^{n}$ ${\$ 절갈킨 $2^{n}$ 모노미알과 $2^{n}$ ${\$ 부울 $2^{n}$ 민터럼도 있다.n-변수 컨텍스트의 최소 조건은 n 리터럴의 AND-제품으로 구성되며, 각 리터럴은 컨텍스트의 변수가 되거나 그러한 변수의 NOT-negation이다.더욱이, 문맥의 각 변수에 대해, 각 미니어처마다 정확히 한 번씩 해당 문자(그 변수의 주장 또는 부정)가 나타나야 한다.n 변수의 부울 함수에 대한 진실 표에는 정확히 $2^{n}$ ${\$ 행이 $2^{n}$ 있으며, 각 행의 입력은 해당 부울 함수의 독립 변수 집합인 민어에 자연스럽게 대응된다. (각 0 입력은 부정 변수에 해당하며, 각 1 입력은 주장 변수에 해당한다.)
부울 표현은 (De Morgan ID를 통해) AND 또는 OR에 대해가 아닌 OR에 대해 AND를 반복적으로 배포하고 이중 부정(cf. Normal form)을 취소한 다음, 제품 합계를 얻었을 때 누락된 리터럴로 곱하여 Minterms 형식으로 변환할 수 있다.누락된 리터럴을 포함하는 제외된 중간 법칙의 s. 마지막으로 OR에 대해 AND를 다시 배포한다.
절갈킨 단원어와 부울음 문자 사이에는 주어진 문맥에 대한 공식적인 서신이 있다는 점에 유의한다.그러나 서신은 논리적으로 동등하지 않다.예를 들어, {A, B, C} 컨텍스트의 경우 절갈킨 단항 AB와 부울 $AB{\bar {C}}$ A $AB{\bar {C}}$ 의 $AB{\bar {C}}$ {\ $displaystyle AB{\bar{C$ 사이에 공식적인 서신이 있지만, 논리적으로 동등하지는 않다. (이 예시보다 더 자세한 내용은 "뫼비우스 변환" 섹션의 두 번째 표를 참조하십시오.)동일한 비트스트링 집합을 사용하여 부울 minterms 집합과 절갈킨 monomials 집합을 모두 인덱싱한다.)

[Steinbach_2009-1] Steinbach, Bernd; Posthoff, Christian (2009). "Preface". Written at Freiberg, Germany. Logic Functions and Equations - Examples and Exercises (1st ed.). Dordrecht, Netherlands: Springer Science + Business Media B. V. p. xv. ISBN 978-1-4020-9594-8. LCCN 2008941076.

[Zhegalkin_1927-2] Жега́лкин [Zhegalkin], Ива́н Ива́нович [Ivan Ivanovich] (1927). "O Tekhnyke Vychyslenyi Predlozhenyi v Symbolytscheskoi Logykye" О технике вычислений предложений в символической логике [On the technique of calculating propositions in symbolic logic (Sur le calcul des propositions dans la logique symbolique)]. Matematicheskii Sbornik (in Russian and French). Moscow, Russia. 34 (1): 9–28. Mi msb7433. Archived from the original on 2017-10-12. Retrieved 2017-10-12.

[Suprun_1987-5] Suprun [Супрун], Valeriy P. [Валерий Павлович] (1987). "Tablichnyy metod polinomial'nogo razlozheniya bulevykh funktsiy" Табличный метод полиномиального разложения булевых функций [The tabular method of polynomial decomposition of Boolean functions]. Kibernetika [Кибернетика] (Cybernetics) (in Russian) (1): 116–117.

[Suprun_2017-6] Suprun [Супрун], Valeriy P. [Валерий Павлович] (2017). "Osnovy teorii bulevykh funktsiy" Основы теории булевых функций [Fundamentals of the theory of Boolean functions]. М.: Lenand [Ленанд] / URSS (in Russian): 208.

[Möbius_2021-7] "Möbius inversion". Encyclopedia of Mathematics. 2021-02-17 [2011-02-07]. Archived from the original on 2020-07-16. Retrieved 2021-03-27.

[Bell_1927-8] Bell, Eric Temple (1927). "Arithmetic of Logic". Transactions of the American Mathematical Society. 29 (3): 597–611. doi:10.2307/1989098. JSTOR 1989098.

[Stone_1936-9] Stone, Marshall (1936). "The Theory of Representations for Boolean Algebras". Transactions of the American Mathematical Society. 40 (1): 37–111. doi:10.2307/1989664. ISSN 0002-9947. JSTOR 1989664.

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