제곱합함수

수 이론에서 제곱 함수의 합은 주어진 양의 정수 $n$ 에 대한 표현 수를 k 제곱의 합으로 주는 산술 함수로서, 여기서 합계 순서나 제곱되는 숫자의 부호에서만 다른 표현은 다른 것으로 계산되고 $r k (n$ )으로 표시된다 $.$

정의

함수는 다음과 같이 정의된다.

r_{k}(n)= \{{(a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}\mathb {Z} ^{k}\:\n=a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}

여기서 $displaystyle \,\ }$ 은(는) 집합의 카디널리티를 나타낸다 $|\,\ |$ .즉 $r k (n)$ 은 $n$ 을 $k$ 제곱의 합으로 쓸 수 있는 방법의 수입니다.

$예$ 를 들어 $r_{2}(1)=4$ $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ = $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ + $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ( $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ± $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ) 2 $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ = ( ± 1) 2 = ( $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ± $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ) $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ = ( $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ ± 1) $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ 2 $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ + 0 $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ $(\$ }=(\pm 1)^{2 $}=(\pm$ 1 $)^{2}+0^{2$ }부터 $r_{2}(1)=4$ $){$ 2 $}}:$ 각 $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ 합에 두 $r_{2}(2)=4$ 의 부호 조합이 있고, $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ = $r_{2}(2)=4$ $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ ) $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ + $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ ) $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ $r_{2}(2)=4$ 이후부터 $r_{2}(2)=4$ 2 = $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ 1 ) 2 ${\$ 1 $)^{2}+(\pm 1)^{2}}:$ 4개의 부호 조합이 $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ 있다.한편, $r_{2}(3)=0$ 을 2제곱의 합으로 나타낼 방법이 없기 때문에 $r_{2}(3)=0$ $r_{2}(3)=0$ 2 $r_{2}(3)=0$ ( $r_{2}(3)=0$ ) $r_{2}(3)=0$ = $r_{2}(3)=0$ ${\displaystyle r_{2}(3)=0}.$

포뮬라과

k = 2

두 제곱의 합으로 자연수를 쓰는 방법의 수는 $r 2 (n$ )으로 주어진다 $.$ 그것은 명백하게 에 의해 주어진다.

r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)

여기서 $d 1 (n)$ 는 1모듈로 4에 해당하는 $n$ 의 구분자 수, $d 3 (n)$ 는 3모듈로 4에 해당하는 $n$ 의 구분자 수입니다.합계를 사용하여 표현은 다음과 같이 쓸 수 있다.

r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\\,\equiv \1,3{\pmod{4}(1)^{(d-1)/2}

The prime factorization $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$ , where $p_{i}$ are the prime factors of the form ${\displaystyle p_{i}\equiv$ $1{\pmod{4},}$ 및 $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}},$ $q_{i}$ $q_{i}$ ${\$ 는 $q_{i}$ $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ 3 $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ ( $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ 4 ) ${\$ 3 ${\pmod{4}}}}}$ 형식의 $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ 주요 요인이다.

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

2

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

(

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

)

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

=

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

( f

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

+ 1

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

(

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

2

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

+

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

)

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

{\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots

모든 지수 h

h_{1},h_{2},\cdots

h_{1},h_{2},\cdots

,

h_{1},h_{2},\cdots

h_{1},h_{2},\cdots

,

h_{1},h_{2},\cdots

{\displaysty h_{1}, h_{2},\cdots}}.

하나 이상의

h_{i}

i

{\

이(가) 홀수인

h_{i}

경우 r

r_{2}(n)=0

) =

r_{2}(n)=0

{\displaystyle r_{2}(n)=0

.

k = 3

가우스는 정사각형 없는 $숫자$ n > $4$ 에 대해 증명했다.

r_{3}(n)={\case}24hn),&{\text{n}}}}}}{}n\equiv 3{\pmod{8},\0&{\text}}}}}}}}}{\pmod{8},\12hn4n)&{\case}

여기서 $h (m)$ 는 정수 $m$ 의 클래스 번호를 의미한다.

k = 4

$n$ 을 4개의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 수는 칼 구스타프 야콥 야코비 때문이었으며, 4로 나누어지지 않는 모든 칸막이의 합계의 8배이다.

r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\4\,\nmid \,d}d.

$n$ = $2m$ 를^k 나타내며, 여기서 m은 홀수 정수인 경우, $r_{4}(n)$ 4 ( $r_{4}(n)$ ) $r_{4}(n)$ {\ $displaystyle r_{4}(n)}$ 을 $r_{4}(n)$ 다음과 같이 구분 함수 단위로 표현할 수 있다.

r_{4}(n)=8\sigma(2^{\min\{k,1\}m).

k = 8

자코비는 또한 사례 $k$ = $8$ :에 대한 명시적인 공식을 발견했다.

r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n(-1)^{n+d}d^{3}.

생성함수

고정 $k$ 에 대한 $r_{k}(n)$ 시퀀스 $r_{k}(n)$ $r_{k}(n)$ ( n $r_{k}(n)$ ) $r_{k}(n)$ 의 생성 함수는 다음과 같은 자코비 세타 함수로 표현할 수 있다.^[1]

\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{n=0}^{\infit }r_{k}(n)q^{n}}}}}}}}}

어디에

\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infit }^{n^{n1}2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .

수치

$r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ ( $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ ) $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ , $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ = 1, $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ … $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ , $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ 에 대한 처음 30개 값은 아래 표에 나열되어 있다 $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ .

n	=	r₁(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)	r₅(n)	r₆(n)	r₇(n)	r₈(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2²×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×3²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2²×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	2³×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	5²	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	3³	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	2²×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

참고 항목

자코비의 4제곱 정리

참조

^ Milne, Stephen C. (2002). "Introduction". Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 1402004915.

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Sum of Squares Function". MathWorld.

[1] Milne, Stephen C. (2002). "Introduction". Infinite Families of Exact Sums of Squares Formulas, Jacobi Elliptic Functions, Continued Fractions, and Schur Functions. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 1402004915.

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