베이즈 선형 통계량
Bayes linear statistics베이즈 선형 통계는 주관적 통계 방법론과 체계다.전통적인 주관적 베이지안 분석은 필요한 세부 수준에서 지정하기 매우 어려운 완전히 지정된 확률 분포를 기반으로 한다.베이즈 선형 분석은 이론을 개발하여 이 문제를 해결하려고 시도하며 부분적으로 지정된 확률 모델을 사용하는 연습을 한다.베이즈는 현재 형태의 선형으로 주로 마이클 골드스타인에 의해 개발되었다.수학적으로 그리고 철학적으로 그것은 확률과 통계에 대한 Bruno de Finetti의 운영적 주관적 접근법을 확장한다.
동기
먼저 전통적인 베이시안 분석을 고려해 보십시오. 여기서 D를 곧 알 수 있을 것으로 예상되며 다른 관찰 가능한 B에 대해 더 자세히 알고자 할 수 있다.전통적인 베이시안 접근법에서는 가능한 모든 결과를 열거해야 한다. 즉, 가능한 모든 결과는 B와 D의 파티션 집합의 교차 결과물이다.B가 n비트와 Dm비트를 필요로 하는 컴퓨터에 표시되면 필요한 상태 수는 + 2이다이러한 분석의 첫 번째 단계는 예를 들어 각 결과에 대한 개인의 베팅 행동에 대해 질문함으로써 개인의 주관적 확률을 결정하는 것이다.우리가 D를 배울 때 B에 대한 조건부 확률은 Bayes의 법칙의 적용에 의해 결정된다.
주관적 베이지안 통계학의 실무자들은 이 집합의 크기가 D × B의 모든 요소에 대해 주관적 확률을 의미 있게 결정할 수 없을 정도로 충분히 큰 데이터 집합을 일상적으로 분석한다.이것은 보통 교환성을 가정하고 매개변수에 대한 사전 분포를 가진 매개변수화된 모델을 사용하여 이것이 D × B에 대한 유효한 운영 주관적 확률을 생산한다는 것을 정당화하기 위해 데 피네티의 정리에 호소함으로써 달성된다.그러한 접근법의 어려움은 통계적 분석의 타당성 때문에 주관적 확률은 개인의 신념을 잘 표현해야 하지만 이 방법은 D × B보다 매우 정밀한 규격을 초래하고 종종 이러한 믿음 규격을 채택하는 것이 무엇을 의미하는지 명확하게 설명하기 어렵다.s
데 피네티(De Finetti)에 이은 전통적인 베이지안 패러다임 베이즈(Bayes) 선형 통계와 대조적으로 프레비젼(Prevision)이나 주관적 기대치를 원시적으로 사용하는 것과 대조적으로, 확률은 지표 변수의 기대치로 정의된다.분석가는 파티션 D × B의 모든 요소에 대해 주관적 확률을 지정하는 대신에 그들이 관심을 가지거나 알고 있다고 느끼는 몇 가지 수량에 대한 주관적 기대를 명시한다.그런 다음, 조정된 기대치를 조건화하는 대신, 기대에 근거한 베이즈 규칙을 일반화한 규칙에 의해 계산된다.
제목에서 선형이라는 단어를 사용하는 것은 확률론이 선형 이론이라는 데 피네티의 주장을 가리킨다(de Finetti는 더 일반적인 측정 이론 접근법에 반대하여 주장).
예
베이즈 선형 통계량에서는 확률 모형이 부분적으로만 지정되며, 베이즈 규칙으로 조건부 확률을 계산할 수 없다.대신 베이즈 선형에서는 수정 기대치의 계산을 제안한다.
베이즈 선형 분석을 수행하려면 측정 D를 통해 곧 알 수 있을 것으로 예상되는 일부 값과 B를 알고 싶은 미래 값을 식별해야 한다.여기서 D는 데이터를 포함하는 벡터, B는 예측하고자 하는 양을 포함하는 벡터를 가리킨다.다음의 예에서 B와 D는 2차원 벡터(즉, 2차원 벡터)로 간주된다.
베이지스 선형 모델을 지정하기 위해서는 벡터 B와 D에 대한 기대치를 제공하고, B의 각 성분과 D의 각 성분 사이의 상관관계도 명시할 필요가 있다.
예를 들어 기대치는 다음과 같이 지정된다.
공분산 행렬은 다음과 같이 지정된다.
이 행렬의 반복은 곧 논의될 흥미로운 시사점을 가지고 있다.
수정된 기대치는 폼의 선형 추정기입니다.
서 c , 관측치에 대한 사전 예상 손실을 최소화하기 위해 선택된다. Y 1, 2 은 1{\}에 대한 것이다.
어디에
추정에서 이전 예상 손실을 최소화하기 위해 선택됨
일반적으로 조정된 기대치는 다음과 같이 계산된다.
최소화를 위해 ,… , 설정
(Goldstein and Woff 2007)에 제공된 증거에서 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.
Var(D)를 변환할 수 없는 경우에는 무어-펜로스 사이비언버스(Moore-Penrose 사이비인버스를 대신 사용해야 한다.
또한 데이터 D를 관측한 후 변수 X의 조정된 분산은 다음과 같이 주어진다.
참고 항목
외부 링크
참조
- Goldstein, M. (1981) Previsions 개정: 기하학적 해석 (토론.왕립통계학회지 시리즈 B, 43(2), 105-130
- 골드스타인, M.(2006) 주관주의 원칙과 실천.베이시안 분석[1]
- 마이클 골드스타인, 데이비드 우프(2007) 베이즈 선형통계, 이론 & 메소드, 와일리. ISBN978-0-470-01562-9
- 데 피네티, B. (1931) 에르켄티스의 "확률론: 확률론과 과학의 가치에 관한 비판적 에세이"(1931년 논문의 번역) (1989년 9월 31일자 31면)이중 이슈 전체가 데 피네티의 확률 철학에 바쳐진다.
- 디 피네티, B. (1937) "라 프레비전: ses rois lois logique, ses source ses ses ses ses source pubiques," Annales de l'Institut Henry Poincaré,
- - H. E. Kyburg와 H. E. Smokler (eds)의 1937년 기사의 번역), 주관적 확률에 관한 연구, 뉴욕: Wiley, 1964.
- 데 피네티, B. (1974) 확률론, (1970년 책의 A 마치와 AFM 스미스의 번역) 2권, 뉴욕: 와일리, 1974-5권.