방사상 기준 함수 보간

RBF(Radial basis function, RBF) 보간법은 구조화되지 않은 데이터의 고차정확한 보간물을 고차원 공간에서 구성하기 위한 근사 이론의 고급 방법이다.보간물은 예를 들어 가우스 분포와 ^[1]같이 방사상 기준 함수의 가중 합계의 형태를 취한다.^[2]RBF 보간법은 메쉬가 없는 방법으로, 노드(영역의 포인트)가 구조화된 그리드에 놓여 있을 필요가 없으며 메쉬의 형성이 필요하지 않다는 것을 의미한다.높은 치수에서도 많은 수의 노드에 대해 놀라울 정도로 정확하고^[3] 안정적이다.

많은 보간법을 선형 연산자의 근사치를 위한 알고리즘의 이론적 기초로서 사용할 수 있으며, RBF 보간법도 예외는 아니다.RBF 보간법은 미분 연산자, 적분 연산자 및 표면 미분 연산자의 근사치를 위해 사용되어 왔다.

예

Let ${\displaystyle f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))}$ and let ${\displaystyle x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14}$ be 15 equally spaced points on the interval ${\displaystyle [0,1]}$. We will form ${\displaystyle s(x)=\sum _{k=0}^{14}{w}_k\phi (\Vert x-x_{}}$${\displaystyle s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\ x-x_{k}\ )}$ where ${\displaystyle \varphi }$ is a radial basis function, and choose ${\displaystyle w_{k},k=0,1,\dots ,14}$ such that ${\displaystyle s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\do$$ts ,14}($${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s$})$은 $선택$한 지점에서$$ f ${\displaystyle f}$을(를) 보간한다$$.행렬 표기법에서 이것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

$${\displaystyle{\begin{bmatrix}\varphi()x_{0}일 경우 -x_{0}))&, \varphi()x_{1}-x_{0}))&, \dots &, \varphi()x_{14}-x_{0}))\\\varphi()x_{0}일 경우 -x_{1}))&, \varphi()x_{1}-x_{1}))&, \dots, \varphi()x_{14}-x_{1}))\\\vdots &, \vdots &, \ddots &, \vdots \\\varphi()x_{0}일 경우 -x_{14}))&, \varphi()x_{1}-x_{14}))&, \dots &, \va &.rphi()x_{14}-x_{14}))\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\\\\\w_{14}\end{bmatrix}={\\nd{bmatrix}f(x_{0})\\\\\vdots\f(x_{14})\end{bmatrix}.}$$

$\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- (${\displaystyle {\epsilon \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle r{}^{}}$) 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \varphi (r)=\exp(-(\varpilon r)^{2$ 형상 모수 $\epsilon {\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaysty \varpilon =3$을 선택하면 가중치에 대한 행렬을 풀 수 있고 내포도를 표시할 수 있다.아래의 보간 기능을 플로팅하면 왼쪽 경계 근처(런지 현상의 예)를 제외한 모든 곳에서 시각적으로 동일하다는 것을 알 수 있는데, 여기서 여전히 매우 가까운 근사치인 것이다.보다 정확히 말하면 $최대{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{오차}}$는 x${\displaystyle }$= 0.${\displaystyle 0220012}$ ${\displaystyle$ $\f-s\ _{\infit }\ 약 0.0267414$$}$에서 대략$$ f${\displaystyle }$- s${\displaystyle {}_{}\mathrm{\le }}$0.$0267414}$이다$.$

동기

The Mairhuber–Curtis theorem says that for any open set ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ with ${\displaystyle n\geq 2}$, and ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}}$ linearly independent functions on ${\displaystyle V}$, there exists a set o$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$} 도메인$의 보간$$ 행렬과 같은 지점

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}}$$

단수다.^[4]

이는 일반적인 보간 알고리즘을 가지려면 보간 지점에 의존할 기본 함수를 선택해야 한다는 것을 의미한다.In 1971, Rolland Hardy developed a method of interpolating scattered data using interpolants of the form ${\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\ \mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\ ^{2}+C}}}$. This is interpolation using a basis of shifted multiquadric functions, 이제 더 일반적으로 ${\displaystyle \phi }$( r${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}^{}}}$+ (${\displaystyle \sqrt{\epsilon }}$ r${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$) 2 ${\$ r$)^{2$}}$$로 표기되며, 방사상 기준 함수 보간법의 첫 번째 예다.^[5]결과 보간 매트릭스는 항상 비음향 매트릭스가 될 것으로 나타났다.기본 함수는 보간 지점에 따라 달라지기 때문에 이것은 Mairhuber-Curtis 정리를 위반하지 않는다.보간 행렬이 비송파적인 것처럼 방사형 커널을 선택하는 것은 엄밀히 말하면 양의 확정 함수의 정의다.이러한 이유로 가우스, 역 이차, 역 다차원을 포함한 그러한 함수는 방사상 기준 함수로 자주 사용된다.^[6]

형상 모수 튜닝

이 절은 출처를 인용하지 않는다. 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 섹션을 개선할 수 있도록 도와주십시오. 공급되지 않은 재료는 도전하여 제거할 수 있다.(2020년 5월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

많은 방사상 기준 함수는 상대적인 평탄도나 정점을 제어하는 매개변수를 가지고 있다.This parameter is usually represented by the symbol ${\displaystyle \varepsilon }$ with the function becoming increasingly flat as ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$. For example, Rolland Hardy used the formula ${\displaystyle \varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}}$ for the multiquadric, however nowadays 공식 $\phi {\displaystyle }$( ${\displaystyle r}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \sqrt{{1\mathrm{}}^{}}}$+ (${\displaystyle \sqrt{\epsilon }}$ r${\displaystyle \sqrt{{}^{}}}$) ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ r$)^{2$}}이 대신 사용된다$$.이 공식들은 축척 인자와 동등하다.기본 벡터는 동일한 스팬을 가지며 보간 가중치가 보상되기 때문에 이 인수는 중요하지 않다.관례에 따라 기본 함수는 가우스 함수와 범프 함수의 그림에서 볼 수 있듯이$$ $\phi {\displaystyle }$($0$) = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \varphi$ (0$)=1$}이$($가) 되도록 크기가 조정된다.

• 

  $\epsilon {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varepsilon }$의 여러 선택 항목에 대한 가우스 함수

• 

  형상 모수를 여러 개 선택할 수 있는 축척 범프 함수의 그림

이러한 선택의 결과, 보간 행렬은 $matrix{\displaystyle }$ →$∞$ {\$displaystyle \varepsilon \to \infit }$로 ID 행렬에 접근하여 행렬$$ 시스템을 해결할 때 안정성이 확보된다.결과 보간물은 일반적으로 함수에 대한 좋지 않은 근사치가 될 것이다. 보간점이 급격히 정점을 이루는 보간점 근처를 제외하고 모든 곳에서 거의 0에 가깝기 때문이다. 즉, 소위 "보간 보간점(bed of implementant)"이다(오른쪽 그림에서 볼 수 있다).

스펙트럼의 반대편에서 보간 매트릭스의 조건 ${\displaystyle \mathrm{번호}}$는 infinity${\displaystyle }$→ 0 ${\displaystyle \varepsilon \to 0}($으)로 무한대로 분산되어 시스템$$ 상태가 좋지 않게 된다.실제에서는 보간 행렬이 "불조화의 가장자리"가 되도록 형상 매개변수를 선택한다(예: 이중정밀 부동점의 경우$$ 조건 번호가 대략 ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\$

형상 모수를 선택할 때 고려해야 할 다른 요인들이 가끔 있다.예를 들어 범프 기능

콤팩트한 < 1 ${\$ 가 있어 보간 행렬이 드물다.

다화학적 스플라인과 같은 일부 방사상 기준 함수에는 형상 모수가 없다.

참고 항목

• 크리깅

참조