무한표현

수학에서 무한식(infinite appression)은 일부 연산자가 무한정 많은 인수를 취하거나 연산자의 보금자리가 무한정 깊이까지 이어지는 식이다.^[1]무한 표현에 대한 일반적 개념은 잘못 정의되거나 자기 일관성이 없는 구성(모든 집합의 집합과 같음)으로 이어질 수 있지만, 정의가 잘 되어 있는 무한 표현에 대한 몇 가지 사례가 있다.

예

잘 정의된 무한 표현식의 예는 다음과^[2] 같다.

• 다음과 같은 무한의 금액

${\displaystyle \sum \{n=0}^{}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{1}+a_{2}+\cdots \,}$

• 다음과 같은 무한 제품

${\displaystyle \prod _{n=0}^{}b_{n}=b_{0}\nft b_{1}\prod b_{2}\put \cdots }}$

• 다음과 같은 무한 내포된 활성산소

${\displaystyle {\sqrt {1+2{\\sqrt {1+\cdots}}}}}$

• 다음과 ^[3]같은 무한 발전탑

${\displaystyle{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}^{\cdot^{\cdot^{\cdot }}}}}}}}}}}}$

• 다음과 같은 무한 연속 분율:

${\displaystyle c_{0}+{\underset {n=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{c_{n}}}=c_{0}+{\cfrac {1}{c_{1}+{\cfrac {1}{c_{2}+{\cfrac {1}{c_{3}+{\cfrac {1}{c_{4}+\ddots }}}}}}}},}$

여기서 왼손은 가우스의 케텐브루치 표기법을 사용한다.^[4]

비위생적인 논리에서는 무한 접속사 및 무한 분리 기능을 사용할 수 있다.

잘 정의된 무한 표현식의 경우에도 무한 표현식의 값이 모호하거나 잘 정의되지 않을 수 있다. 예를 들어, 시리즈에 값을 할당하는 데 사용할 수 있는 복수의 합계 규칙이 있으며, 시리즈가 절대적으로 수렴되지 않는 경우 동일한 시리즈가 다른 합계 규칙에 따라 다른 값을 가질 수 있다.

초현실적인 관점에서 보면

From the point of view of the hyperreal numbers, such an infinite expression ${\displaystyle E_{\infty }}$ is obtained in every case from the sequence ${\displaystyle (E_{n}:n\in \mathbb {N} )}$ of finite expressions, by evaluating the sequence at a hypernatural value ${\displaystyle n=H}$ of the index n, 그리고 표준 부품을 적용하여 $E{\displaystyle {}_{\mathrm{}}\mathrm{st}{}_{}}$= st ${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$) ${\displaystyle E_{\infit }=\operatorname {st}(E_{)$$H}}$^{[citation needed]}.

참고 항목

• 반복된 이진 연산
• 무한단어
• 십진 확장
• 파워 시리즈
• 분석 기능의 무한 구성
• 오메가어

참조