호로사이클

쌍곡기하학에서, 호로사이클(horocycle, "경계원"을 의미하는 그리스어 어근에서 유래한 것)은 호로사이클의 중심이라고 불리는 하나의 이상점으로 양방향으로 점근적으로 수렴하는 일정한 곡률의 곡선입니다.궤도의 모든 점을 통과하는 수직 측지선은 제한적인 평행선이며, 또한 모두 중앙으로 점근적으로 수렴합니다.그것은 별권의 2차원적인 경우입니다.

유클리드 공간에서, 일정한 곡률의 모든 곡선은 직선(측지선) 또는 원이지만, 단면 곡률 - $-1,$ $-1,$ 의 쌍곡 공간에서는 일정한 곡률의 곡선은 곡률 κ = 0, ${\$ displaystyle \ $kappa$ = 0, $}$ $0<|\kappa |<1,$ 이 0인 $0<|\kappa |<1,$ < $0<|\kappa |<1,$ $κ$ < 1, ${\displaystyle 0$ < \kappa < 1 $,}$ $|\kappa |=1,$ 이 $κ =$ 1, ${\displaystyle \kappa$ $=$ 1,}이고 곡률이 $|\kappa |>1.$ $κ$ 인 원은 1. {\displaystyle \kappa > 1. $}$

임의의 두 개의 호로사이클은 합동이며 쌍곡면의 등각법(번역 및 회전)에 의해 중첩될 수 있습니다.

호로사이클은 반지름이 무한대인 경향이 있기 때문에 주어진 점에서 접선을 공유하는 원의 극한 또는 축으로부터 거리가 무한대인 경향이 있기 때문에 점에서 접선하는 하이퍼사이클의 극한으로 설명할 수도 있습니다.

중심이 같은 두 개의 호로사이클을 동심원이라고 합니다.개념적인 원에 관해서는, 어떤 측지선도 또한 모든 동심원에 수직입니다.

특성.

한 쌍의 점을 통해 2개의 호로사이클이 존재합니다.호로사이클의 중심은 그들 사이의 세그먼트의 수직 이등분선의 이상적인 점입니다.
어떤 점도 선, 원 또는 하이퍼사이클 위에 있지 않습니다.
모든 horocycle이 일치합니다. (심지어 동심원의 horocycle도 서로 일치함)
직선, 원, 하이퍼사이클, 또는 다른 순환 고리는 대부분의 두 점으로 고리를 자릅니다.
호로사이클의 코드의 수직 이등분선은 그 호로사이클의 법선이고 이등분선은 코드에 의해 지배되는 호를 이등분하고 그 호로사이클의 대칭축입니다.
두 점 사이의 호 순환의 길이는 다음과 같습니다.

두 점 사이의 선분의 길이보다 더 길게,

그 두 점 사이에 있는 하이퍼사이클의 호의 길이보다 더 깁니다.

두 점 사이의 원호 길이보다 짧습니다.

별자리에서 중심까지의 거리는 무한하며, 쌍곡 기하학의 일부 모델에서는 별자리의 두 "끝"이 점점 더 가까워지고 중심에 가까워지는 것처럼 보이지만, 이것은 사실이 아닙니다; 별자리의 두 "끝"은 서로 점점 더 멀어집니다.
일반적인 아페리오곤은 고리나 하이퍼사이클에 의해 제한됩니다.
C가 호로사이클의 중심이고 A와 B가 호로사이클의 점이라면 CAB와 CBA의 각도는 같습니다.^[1]
호로사이클의 섹터(두 반지름과 호로사이클 사이의 영역)의 면적은 유한합니다.^[2]

표준화 가우스 곡률

쌍곡선 평면이 -1의 표준 가우스 곡률 K를 가질 때:

두 점 사이의 호 순환의 길이는 다음과 같습니다. $s=2\sinh \left ({\frac {1}{2}}d\right)={\sqrt {2(\cosh d-1)}$ 여기서 d는 두 점 사이의 거리이고, sinh와 cosh는 쌍곡함수입니다.^[3]
한쪽 끝의 접선이 다른 쪽 끝을 지나는 반지름과 평행하게 제한되는 원호의 길이는 1입니다.^[4] 이 원호와 반지름 사이에 둘러싸인 면적은 1입니다.^[5]
두 동심원의 두 반지름 사이의 호 길이의 비(horocycle이 1만큼 떨어져 있는 경우):^[6] 1.

쌍곡 기하학 모형에서의 표현

푸앵카레 원반 모형

쌍곡면의 푸앵카레 원반 모형에서, 호로사이클은 경계원과 접하는 원으로 표현되며, 호로사이클의 중심은 호로사이클이 경계원과 접하는 이상적인 지점입니다.

두 점을 통과하는 두 개의 호로사이클의 나침반과 직선형 구조는 두 점이 모두 원 안에 있는 아폴로니우스 문제의 특수한 경우에 대한 CPP 구조와 동일한 구조입니다.

푸앵카레 반평면 모형

푸앵카레 반평면 모형에서, 호로사이클은 경계선에 접하는 원으로 표현되며, 이 경우 중심은 원이 경계선에 접하는 이상적인 점입니다.

horocycle의 중심이 $y$ = ∞ ${\$ displaystyle y =\infty}의 이상적인 점일 때, horocycle은 경계선과 평행한 선이 됩니다.

첫 번째 사례의 나침반과 직선형 구조는 아폴로니우스 문제의 특수 사례를 위한 LPP 구조와 동일한 구조입니다.

쌍곡선 모형

하이퍼볼로이드 모델에서 그들은 점근 원뿔에 있는 정상면(즉, 3차원 민코프스키 공간의 널 벡터)과 하이퍼볼로이드의 교차점으로 표현됩니다.

미터법

메트릭이 가우스 곡률 -1로 정규화되면, 호로사이클은 모든 점에서 측지선 곡률 1의 곡선입니다.

호로사이클류

모든 순환은 쌍곡면에서 PSL(2,R)의 무능한 부분군의 궤도입니다.또한 주어진 단위 접선 벡터에 접하는 호로사이클을 따라 단위 속도에서 변위는 쌍곡면의 단위 접선 다발에 흐름을 유도합니다.이 흐름을 쌍곡면의 순환 흐름이라고 합니다.

PSL(2,R) 그룹과 단위 접다발을 식별하면, 호로사이클 흐름은 무능 부분군 $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ = $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ { $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ $U=\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}$ ∈ R} {\displaystyle U =\{u_{t},\,t\in \mathbb {R} \}의 우작용으로 주어지며, 여기서:

u_{t}=\pm \left ({\begin{array}{cc}1&t\0&1\end{array}}\right).

즉,

g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )

∈

g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )

2

g\in \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )

(R)

{\displaystyle

g\

in \mathrm {PSL}

_{

2}(\mathbb {

R})}로 표시되는 벡터에서 시작하는 시간

t

t

의 흐름은

gut

{\

displaystyle

gu_{t}와

gu_{t}

.

$S$ $S$ 이 $S$ (가) 쌍곡면인 경우 해당 단위 접선 번들도 호로사이클 흐름을 지원합니다.If $S$ is uniformised as $S=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ the unit tangent bundle is identified with $\Gamma \backslash \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ and the flow starting at $\Gamma g$ is given $t\mapsto \Gamma gu_{t}$ ↦ γ $t\mapsto \Gamma gu_{t}$ γ는 {\ $displaystyle$ t\maps to \Gammagu_{t}}. S {\displaystyle S}가 콤팩트한 경우, 또는 일반적으로 γ {\displaystyle \Gamma}가 격자인 경우, 이 흐름은 (정규화된 Liouville 측도에 대해) 에르고딕합니다.게다가 이 환경에서 래트너의 정리는 궤도에 대한 가능한 폐쇄를 매우 정확하게 설명합니다.^[7]

참고 항목

참고문헌

^ Sossinsky, A.B. (2012). Geometries. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 141–2. ISBN 9780821875711.
^ Coxeter, H.S.M. (1998). Non-Euclidean geometry (6. ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. pp. 243–244. ISBN 978-0-88385-522-5.
^ Smogorzhevsky (1976). Lobachevskian Geometry. Moscow: Mir. p. 65.
^ Sommerville, D.M.Y. (2005). The elements of non-Euclidean geometry (Unabr. and unaltered republ. ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.
^ Coxeter, H.S.M. (1998). Non-Euclidean geometry (6. ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.
^ Sommerville, D.M.Y. (2005). The elements of non-Euclidean geometry (Unabr. and unaltered republ. ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.
^ Morris, Dave Witte (2005). Ratner's Theorems on Unipotent Flows. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv:math/0310402. ISBN 978-0-226-53984-3. MR 2158954.

H. S. M. 콕서터(1961) 기하학 개론, §16.6: "원, 순환, 등거리 곡선", 300페이지, 1, John Wiley & Sons.
기하학의 네 기둥 p. 198

[1] Sossinsky, A.B. (2012). Geometries. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 141–2. ISBN 9780821875711.

[2] Coxeter, H.S.M. (1998). Non-Euclidean geometry (6. ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. pp. 243–244. ISBN 978-0-88385-522-5.

[3] Smogorzhevsky (1976). Lobachevskian Geometry. Moscow: Mir. p. 65.

[4] Sommerville, D.M.Y. (2005). The elements of non-Euclidean geometry (Unabr. and unaltered republ. ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[5] Coxeter, H.S.M. (1998). Non-Euclidean geometry (6. ed.). Washington, DC: Mathematical Assoc. of America. p. 250. ISBN 978-0-88385-522-5.

[6] Sommerville, D.M.Y. (2005). The elements of non-Euclidean geometry (Unabr. and unaltered republ. ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. p. 58. ISBN 0-486-44222-5.

[7] Morris, Dave Witte (2005). Ratner's Theorems on Unipotent Flows. Chicago Lectures in Mathematics. Chicago, IL: University of Chicago Press. arXiv:math/0310402. ISBN 978-0-226-53984-3. MR 2158954.

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