후지카와법

물리학에서 후지카와 방법은 양자장 이론에서 키랄 이상을 도출하는 방법이다.그것은 아티야-가수 지수 정리를 효과적으로 이용하면서 함수 결정 요인과 분할 함수 사이의 대응 관계를 사용한다.

파생

콤팩트한 Lie 그룹 G의 $표현 {\(\style\$rho$$)에 따라 변환되는 Dirac $필드{\displaystyle }${\(\$displaystyle\psi)$가 주어지고 Lie $대수{\displaystyle \mathfrak{}}$g의 값을 취득하는 백그라운드 연결 형식이 있다고 가정합니다$.\displaystyle(\mathfrak$ {g$},$ ) Dirac 연산자(Feyman 슬래시 표기법)입니다.

$디스플레이 스타일 D!!\!/\ stackrel { mathrm { def } { = } \ \ \! \ !\!/+iA\!\!\!/}$

페르미온 작용이 주어지는 것은

$\displaystyle\int d^{d}x,\오버라인\psi }iD\!\!\!/\psi }$

파티션 함수는

${\displaystyle Z[A]=\int {D}{\mathcal {D}}{\psi}}{\mathcal {D}}\psi}, e^{-\int d^{d}x,{\overline {psi }iD\!!\!/,\psi }.}$

축 대칭 변환은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \psi \to e^{i\displays _{d+1}\alpha (x)}\psi \,}$

$(*displaystyle {d+1}\alpha(x)}에 대해 (* e^{i\line_{d+1}\alpha(x)}$

$\displaystyle S+\int d^{d}x,\alpha(x)\partial_{\mu}\left({\overline {psi}}\gamma ^{\mu}\gamma _{d+1}\psi \right})$

$이$는 일반적으로 키랄 전류 $j{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle d_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ μ${\displaystyle {}_{}^{}}$μ μ μ${\displaystyle \stackrel{}{}\mu \stackrel{}{}}$ μ μ ${\displaystyle {\mu }^{}{\mathrm{\mu }}_{}}$ d + ${\displaystyle 1_{}^{}}$$$ { $displaystyle$ ${\displaystyle {j\_}_{}^{}}$${d+1}^{\mu }\equiv${\$mu }\display$ 1 $=$ ${\displaystyle 0_{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$ $display$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$$$μ$$ $style$을 보존하고 $있음$을 의미합니다.

양자역학적으로 키랄 전류는 보존되지 않는다: Jackiw는 삼각형 다이어그램이 사라지지 않기 때문에 이것을 발견했다.후지카와씨는 이를 키랄 변환에 따른 칸막이 함수 측정의 변화로 재해석했다.키랄 변환에서 측정값의 변화를 계산하려면 먼저 Dirac 연산자의 고유 벡터를 기준으로 Dirac 페르미온을 고려하십시오.

${\displaystyle \psi =\sum \sum _{i}\psi _{i}a^{i}}$

$(\displaystyle\overline\psi}=\sum_{i}\psi_{i}b^{i}$

${\displaystyle {}^{}}$서 $\{{\displaystyle {}^{}{a}^{}}$ , ${\displaystyle b^{}}$ i $}$ { $display$\ { $a$^ {$i$ , b ^ { $i$} \} 은$$ Grassmann 값 계수이며${\displaystyle }${ ${\displaystyle i_{}}$ i$$ { $display$ style \ { \ $psi$_ { $i$} \} 은$$ Dirac 연산자의 고유 벡터입니다.

$디스플레이 스타일 D!!\!\/\psi _{i}=-\sqda _{i}\psi _{i}.}$

고유 함수는 d차원 공간에서의 적분에 관해 직교 정규 함수로 간주된다.

$\displaystyle _{i}^{j}=\int {frac {d^{d}x}{(2\pi)^{\pi j}(x)\psi _{i}(x)}$

경로 적분의 측정값은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle {D} \psi {D} {\mathcal {D} {\overline {psi } =\display \da^{i}db^{i}}$

극소 키랄 변환에서 다음과 같이 적습니다.

$\displaystyle \psi \to \psi ^{\prime}=(1+i\alpha \alpha _{d+1})\psi =\sum \sum _{i}\psi _{i}a^{\prime i},$

$(*displaystyle_{psi}_{prime}={psi}}(1+i\alpha_{d+1})=\sum \sum _{i}\psi _{i}b^{\primei}에 오버라인합니다.}$

변환의 야코비안은 이제 고유 벡터의 직교 정규성을 사용하여 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle C_{j}^{i}\equiv \leftfrac {\frac a^{\prime }_{j}^{i}=\int d^{d}x,\psi ^{\fsi i}(x)[1-i(x)\fsi_{d+1}\pi{j}_fracequota}_{j}}$

계수${\displaystyle }${${\displaystyle b_{}}$ i $}$ {$displaystyle \{b_{i}\}}$의 변환도 같은 방법으로 계산됩니다.마지막으로, 양자 측정치는 다음과 같이 변화합니다.

$({displaystyle {d}\psi {D}}{\overline {psi }=\display \da^{i}db^{i}=\display \det }^{-2}(C_{j^i}),$

여기서 야코비안은 통합 변수가 그래스만식이기 때문에 결정식의 역수이고, a와 b가 동등하게 기여하기 때문에 2가 나타난다.우리는 표준 기법으로 결정 요인을 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\det }^{-2)(C_{j}^{i})&=exp \left [-2sqrm {tr}\ln(\display_{j}^i}-i\int d^{d}x,\alpha(x)\psi ^{\si}(x)\detrict_d+1\psi)_j}_x)\&=\exp \left [2i\int d^{d}x,\alpha (x)\alpha (x)\alpha i}(x)\si _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}}$

α(x)로 첫 번째 순서를 정합니다.

α가 상수인 경우에 특화된 야코비안은 적분이 쓰여진 대로 잘못 정의되었기 때문에 정규화되어야 한다.후지카와는 열-커널 정규화를 채용했다.

${\displaystyle {tr}-2displayrm {tr}\ln C_{j}^{i}&=2i\lim \lim _{M\to\infty}\alpha \int d^{d}x,\psi ^{d+1}e^{-\displayda _{i}{i}/{i}{{i}}{{i}}{{i}}}}{i}}_si}_si}_si}_si}_si}_si}_si}_{\!/,}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\end{aligned}}$

${\displaystyle {(}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ /$$ ({$Displaystyle {D\\\}!)$$\!\/}^{2}}$는 ${\displaystyle {D2\mathrm{}}^{}}$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$4 [ ${\displaystyle {\mu \mu }^{}}$ , ${\displaystyle {}^{}}$ , ]${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ${\$ { \ $displaystyle D^$ {2} + { \ $tfrac {$ } { $4$} { \ $gamma$^ { \ nu } , \ $gamma$^ { \ $nu$ } F _ { \ $mu$ 로 다시 쓸 수 있습니다.

$({displaystyle = 2i\lim \infty }\alpha \int d^{d}x\int {frac {d^{d}k}}\int {frac {d}k^{\prime}}}}{{{\pi }}\psi ^{prime} ^{prime})$

${\displaystyle =-{\frac {-2\alpha}{(2\pi)^{d/2}({\frac {d}{2}})!}}({\tfrac {1}{2}}F)^{d/2}})$

고유 벡터에 대한 완전성 관계를 적용한 후 δ-매트릭스에 대한 트레이스를 수행하고 M의 한계를 취한다.결과는 필드 강도 $2-형식{\displaystyle }$ F ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle F_{}}$ ${\displaystyle \mu {}_{}}$ } ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {\mu }^{}}$ } d x ${\displaystyle .{}^{}}$ .$${ $displaystyle$F\$equiv F_{\mu$ \$nu$}, $dx^{\mu$}\$wedge$ dx$^{\nu$}, 로 표현됩니다.

${\displaystyle 이\frac{}{}}$ 결과는 (${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{}}$ 2)${\displaystyle {}^{\mathrm{t}}}$ $h$displaystyle ${\tfrac {d$$}$ {$2}}^{\$$rm$$${th}} g$\display$의 체른 클래스와 동등하며$,{\displaystyle }$ 키랄 전류 비보존의 원인이 되는 키랄 이상을 나타냅니다.

레퍼런스

• K.후지카와와 H.스즈키(2004년 5월).경로 적분 및 양자 이상.클라렌든 프레스 ISBN0-19-852913-9.
• S. 와인버그(2001).양자장 이론.제2권: 최신 어플리케이션..케임브리지 대학 출판부ISBN 0-521-55002-5.