레슬리 매트릭스

응용 수학에서 레슬리 매트릭스는 인구 생태계에서 매우 인기 있는 이산형, 연령 구조화된 인구 증가 모델이다. 그것은 패트릭 H. 레슬리의 이름을 따서 발명되었다. 레슬리 매트릭스(Leslie matrix라고도 함)는 인구 증가(그리고 그들의 예상 연령 분포)를 묘사하는 가장 잘 알려진 방법 중 하나로, 인구는 이주할 수 없고, 무제한적인 환경에서 성장하며, 보통 암컷인 단 하나의 성별만 고려된다.

레슬리 매트릭스는 일정 기간 동안 유기체 집단의 변화를 모형화하기 위해 생태계에 사용된다. 레슬리 모델에서, 인구는 연령층에 따라 그룹으로 나뉜다. 연령계급을 존재론적 단계로 대체하는 유사한 모델을 레프코비치 매트릭스라고 하는데,^[1] 이 매트릭스는 개인들이 동일한 단계계급을 유지하거나 다음 단계로 넘어갈 수 있다. 각 시간 단계에서 모집단은 각 연령 계층에 대한 요소를 가진 벡터로 표시되며, 각 요소는 현재 해당 계층에 있는 개인의 수를 나타낸다.

레슬리 행렬은 모집단 벡터가 원소를 갖는 것과 같은 수의 행과 열을 갖는 제곱 행렬이다. 행렬의 (i,j)번째 셀은 j단계의 각 개인에 대해 다음 시간 단계에서 나이의 나이의 몇 명의 개인이 될 것인지를 나타낸다. 각 시간 단계에서 모집단 벡터에 레슬리 행렬을 곱하여 후속 시간 단계에 대한 모집단 벡터를 생성한다.

행렬을 작성하려면 모집단에서 다음 정보를 알아야 한다.

• ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ 각 연령 등급의 개인 수(n)
• ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\$ x 등급에서 x+1까지 생존하는 개인 비율$,$
• ${\displaystyle f_{}}$ ${\$$displaystyle$ $f_{$$x$$\}\},$ 전위, 1인당 평균 여성 자손 수 n ${\$$}$에 도달함. 보다 정확하게는 다음 연령 $등급{\displaystyle {}_{}}$ b $x$+ ${\displaystyle 1_{}}$에서 생성된 자손의 숫자로 볼 수 있다$$$.$ 다음 연령층에 도달하는 것. 따라서 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$= s ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$. ${\displaystyle f_{x}=s_{x}b_{x+1}.$$}$

t+1 시간의 $n$ ${\$은 단순히 이전 시간 단계에서 태어난 모든 자손의 합이고 t+1까지 생존하는 유기체는 확률 $s{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle s_{x}}$에서 생존하는 시간 t의 유기체라는$$$관찰로$부터${\displaystyle {}_{}}$n ${\displaystyle x_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ x ${\displaystyle x_{}}$ x ${\$를 얻는다.$s_{x}n_{x$ 이것은 다음과 같은 행렬 표현을 암시한다.

${\displaystyle{\begin{bmatrix}n_{0}\\n_{1}\\\vdots \\n_{\omega)}\\\end{bmatrix}}_{t+1}={\begin{bmatrix}f_{0}&, f_{1}&, f_{2}&, \ldots &, f_{\omega-2}&, f_{\omega)}\\s_{0}&, 0&, 0&, \ldots &, 0&, 0\\0&, s_{1}&, 0&, \ldots &, 0&, 0\\0&, 0&, s_{2}&, \ldots &, 0&, 0\\\vdots, \vdots &, \vdots &, \ddo &.술,&\vdots, \vdots \\0& &, 0&, 0&, \ldots &, s_{\omega-2}&, 0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{0}\\n_{1}.\\\vdots \\n_{\omega -1}\end{bmatrix}_{t}}$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은 모집단에서 달성할 수 있는 최대 연령이다.

이것은 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {n} _{t+1}=\mathbf {L} \mathbf {n} _{t}}$

또는:

${\displaystyle \mathbf {n} _{t}=\mathbf {L}^{t}\mathbf {n} _{0}}}}$

${\displaystyle {}_{}}$서 $n{\displaystyle {\mathbf{}}_{}}$ ${\$는 시간 t의 모집단 벡터$$, $L{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 레슬리 행렬이다. $\lambda {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle \mathbf {L$$}$로 표시된 $L$${\$$displaystyle \lambda$ $}$의 지배적인 고유값은 모집단의 점증적 증가율(안정적 연령 분포에서의 성장 속도)을 제공한다$.$ 해당 고유 벡터는 인구 내에서 각 연령의 개개인의 비율인 안정적인 연령 분포를 제공하며, 이는 이 시점의 무증상 성장이 유효율의 변화를 배제한 채 일정하게 유지된다.^[2] $일단$ 안정적인 연령 분포에 도달하면, 인구는 기하급수적인 증가율을 $보인다.$

행렬의 특성 다항식은 오일러-로트카 방정식으로 주어진다.

레슬리 모델은 이산 시간 마코프 체인과 매우 비슷하다. 주요 차이점은 Markov 모델에서 각 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $f_{x}+s_{x}=1}$가 각 x $\{\backslash$displaystyle $x}$에 대해 f ${\displaystyle x_{}}$+ ${\displaystyle s_{}}$= ${\displaystyle 1}$이 될 수 있다는 점이다.

안정연령구조

이러한 연령 구조 성장 모델은 안정된 상태, 즉 안정적인 연령 구조와 성장률을 제시한다. 초기 모집단 크기, $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 또는 연령 분포와 관계없이 모집단은 이러한 연령 구조와 성장 속도에 대해 점증적으로 경향을 보인다. 그것은 또한 동요 이후 이 상태로 되돌아간다. 오일러-로트카 방정식은 내적 성장률을 식별하는 수단을 제공한다. 안정적인 연령 구조는 성장률과 생존 함수(즉 레슬리 매트릭스)에 의해 결정된다. 예를 들어, 본질적인 성장률이 큰 인구는 불균형적으로 "젊은" 연령 구조를 가질 것이다. 모든 연령에서 사망률이 높은 인구(즉, 생존율이 낮은 인구)는 유사한 연령 구조를 가질 것이다. Charlesworth(1980)는 안정적인 연령 구조에 대한 수렴 비율과 형태에 대한 자세한 정보를 제공한다.

무작위 레슬리 사건

레슬리 매트릭스가 상관관계가 있을 수 있는 무작위 요소를 가지고 있을 때 까지 인구 증가율이 일반화된다. 중요한 매개변수의 장애 또는 불확실성을 특성화할 때, 섭동 형식주의는 선형 비 음의 무작위 행렬 차이 방정식을 다루기 위해 사용되어야 한다. 그런 다음 평균값 모집단 상태 벡터의 장기 무증상 역학을 정의하는 비경쟁적이고 효과적인 고유값을 유효성장률로 표시할 수 있다. 이 고유값과 관련 평균값 불변 상태 벡터는 세속적 다항식의 최소 양의 근과 평균값 녹색 함수의 잔류물로 계산할 수 있다. 따라서 정확하고 동요적인 결과는 여러 가지 장애 모델에 대해 분석될 수 있다.

참조

원천

• Krebs CJ(2001) 생태학 : 분포와 풍요의 실험적 분석(5판) 샌프란시스코 벤자민 커밍스
• 찰스워스, B. (1980) 연령 구조화된 인구의 진화. 케임브리지. 케임브리지 대학교 출판부
• 레슬리, P.H. (1945) "특정 모집단 수학에서 행렬의 사용" 바이오메트리카, 33(3), 183–212.
• 레슬리, P.H. (1948) "인구 수학에서 행렬의 사용에 대한 몇 가지 추가 참고 사항" 바이오메트리카, 35(3–4), 213–245.
• 로트카, A.J. (1956) 수학 생물학의 요소들. 뉴욕 도버 출판사
• Kot, M. (2001) 케임브리지의 수학 생태학 요소들 케임브리지 대학 출판부.