자유상품

수학, 구체적으로는 집단 이론에서 자유생산은 G와 H의 두 그룹을 취하여 새로운 그룹 G ∗ H를 구성하는 연산이다. 결과는 G와 H를 모두 하위그룹으로 포함하고, 이들 하위그룹 원소에 의해 생성되며, G와 H의 어떤 두 동형성이라도 a로 이루어진다는 점에서 이러한 성질을 갖는 "범용적" 그룹이다.G ∗ H에서 K까지의 동형성을 통해 K 인자를 고유하게 그룹화한다.G, H 그룹 중 하나가 사소한 것이 아닌 한, 무료 제품은 항상 무한하다.프리 제품 건설은 프리 그룹(주어진 발전기 세트를 가진 유니버설 그룹)의 건설과 비슷한 정신이다.

무료 제품은 그룹 카테고리의 공동 생산물이다.즉, 자유상품은 해체조합이 세트이론에서 하는 집단이론이나, 직접합이 모듈 이론에서 하는 것과 같은 역할을 한다.두 그룹 중 한 그룹이 사소한 그룹이 아니라면, 그 그룹이 상호 교환적이더라도 그들의 무료 제품은 그렇지 않다.따라서, 무료 제품은 아벨리아 그룹의 범주에 있는 공동효과는 아니다.

자유 산출물은 반 캄펜의 정리 때문에 대수적 위상에서 중요한데, 이 정리에서는 교차점 역시 경로로 연결된 두 경로로 연결된 위상학적 공간의 결합의 기본 집단은 항상 공간의 기본 집단의 혼합된 자유 생산물이라고 기술하고 있다.특히 두 공간의 쐐기 합(즉, 한 지점에서 두 공간을 함께 결합하여 얻은 공간)의 기본 집단은 그야말로 공간의 기본 집단의 자유로운 산물이다.

나무에서 자동화에 의해 행동하는 집단의 연구인 Bass-Serre 이론에서도 자유 생산물은 중요하다.특히, 나무에 유한 정점 안정제로 작용하는 모든 그룹은 혼합된 자유 제품과 HNN 확장을 사용하여 유한 그룹으로 구성될 수 있다.쌍곡면의 특정 다듬기에서 모듈 그룹의 작용을 이용하여, 모듈 그룹이 이형화 되어 순서 2의 순환 그룹에 걸쳐 혼합된 주문 4와 6의 순환 그룹의 자유 생산물이라는 이론에 따른다.

건설

G와 H가 집단이라면 G와 H의 단어는 형태의 산물이다.

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n}}$

각 s가_i G의 요소 또는 H의 요소 중 하나일 경우. 그러한 단어는 다음 연산을 사용하여 줄일 수 있다.

• ID 요소(G 또는 H)의 인스턴스를 제거하십시오.
• 양식 gg의₁₂ 한 쌍을 해당 제품(G)으로, 또는 제품(H)으로 한 쌍 hh를₁₂ 대체한다.

모든 감소된 단어는 G의 원소와 H의 원소의 교대로 이루어진 산물이다.

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

무료 제품 G ∗ H는 연결 동작에 따른 G와 H의 줄임말 요소인 그룹이다.

예를 들어 G가 무한순환 그룹 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle x\rangle }$이고$,$ H가 무한순환 그룹 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$⟨ y {$${ {\$displaystyle \langle$ }이라면 G le$$H의 모든 원소는 y의 힘으로 x의 힘을 교대하는 산물이다$.$이 경우 G ∗ H는 x와 y에 의해 생성된 자유 그룹에 이형성을 가진다.

프리젠테이션

라고 가정해 보자.

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\angle }$

G에 대한 프레젠테이션이다(여기서_G S는 발전기 집합이고_G R은 관계 집합이다).

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\angle }$

H를 위한 프레젠테이션이다.그러면

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\컵 S_{H}\컵 중간 R_{G}\컵 R_{H}\랑글 .}$

즉, G ∗ H는 G의 발전기와 H의 발전기에 의해 생성되며, G로부터의 관계와 H의 관계로 구성된다(여기서는 명목상의 충돌이 없으므로 사실상 해체된 연합이라고 가정한다).

예

예를 들어, G가 순서 4의 순환 그룹이라고 가정하면,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\angle ,}$

그리고 H는 순서 5의 순환 그룹이다.

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\angle .}$

그러면 G ∗ H는 무한대 그룹이다.

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\angle .}$

자유집단에 관계가 없기 때문에 자유집단의 자유상품은 항상 자유집단이다.특히.

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n}}}$

여기서 F는_n 발전기 n개의 자유 그룹을 의미한다.

또 다른 예는 모듈 그룹 P $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle Z\mathbf{}}$) ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$이다$.$그것은 두 개의 주기적^[1] 그룹의 자유 생산물과 이형성이다.

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast(\mathbf {Z} /3\mathbf {Z}).}$

일반화:합병을 포함한 무료 제품

합병을 통한 무료 제품의 보다 일반적인 구조는 이에 상응하여 같은 범주의 특별한 종류의 푸시아웃이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및 $H$ ${\displaystyle H}$이(가) 단모형(즉, 주입 그룹 동모형)과 함께 제공된다고$$ 가정하자.

$displaystyle \varphi$$$${\displaystyle F}$$\rightarrow G\,}$ 및$$ ${\displaystyle \psi }$: F${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle \,\psi$:$F\rightarrow H,}$

여기서 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$은(는) 임의 그룹이다.무료 $제품{\displaystyle }$ G ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G*H}$부터 시작하여 관계 맺기

${\displaystyle \varphi(f)\pair(f)^{-1$

$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 모든 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 대해$.$ 다시 말하면, 포함 장치를 사용하여 G elements H {\$displaystyle$ G$*H$$}$에서 암묵적으로 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ H ${\displaystyle G*H$}에서 모든$$ 요소를 포함하는$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle H}$의 최소$$ $부분군{\displaystyle }$ N ${\displaystylease N}$을 취한다.ns의$$ $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ 및$$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}.$$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$과$($$와{\displaystyle }$)$display$ {\displaystyle \$psi }$에 $대해{\displaystyle }$ G {\displaystyle $G}$과(와$)$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystystyle H}$이(가) 결합된 자유 제품은 지수 그룹이다.

$(G*H)/N.\,}$

합병으로 $인해{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$의 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle F}$${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (F)}$과(와${\displaystyle )}$ $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H$의 $\psi (F)$ 사이의 요소별 식별이 불가피해졌다.이것은 경로로 연결된 서브 스페이스를 따라 결합된 두 개의 연결된 공간의 기본 그룹을 계산하는 데 필요한 구조로, $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$이 서브 스페이스의 기본 그룹 역할을 한다$$.참조: Seifert-van Kampen 정리.

Kuplus와 Solitar는 합병과 함께 무료 제품의 하위 그룹에 대한 설명을 제공했다.^[2]For example, the homomorphisms from ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle H}$ to the quotient group ${\displaystyle (G*H)/N}$ that are induced by ${\displaystyle \varphi }$ and ${\displaystyle \psi }$ are both injective, as is the induced homomorphism from ${\displaystyle F}$.

HNN 확장에 대한 합병과 밀접하게 관련된 개념을 가진 무료 제품들은 나무에 작용하는 집단의 Bass-Serre 이론에서 기본적인 구성 요소들이다.

다른 가지에서는

어떤 사람은 필드 위에 있는 알헤브라를 포함하여 그룹보다 다른 대수적 구조의 자유 산출물을 유사하게 정의할 수 있다.무작위 변수의 알헤브라의 자유 생산물은 카트리지안 제품이 고전적 확률 이론에서 통계적 독립성을 정의하는 데 있어 자유도 이론에서 "자유도"를 정의하는 데 동일한 역할을 한다.

참고 항목

• 그룹 직접 생산
• 코프로덕트
• 그룹 그래프
• 쿠로시 부분군 정리
• 그룹의 무료 그룹 및 무료 제품을 위한 일반 양식
• 보편적 재산

메모들

참조

• "Free product". PlanetMath.
• "Free product with amalgamated subgroup". PlanetMath.
• 필립 히긴스의 카테고리 및 그로이드