쿠로시 부분군 정리

집단 이론의 수학 분야에서는 쿠로쉬 부분군 정리가 집단의 자유생산의 부분군의 대수적 구조를 기술하고 있다.정리는 러시아 수학자인 알렉산더 쿠로쉬가 1934년에 입수했다.^[1]비공식적으로, 이 정리는 자유 제품의 모든 하위 그룹 자체가 자유 그룹의 자유 생산물이며, 원래의 자유 제품의 요소들의 결합체와의 교차점이라고 말한다.

기록 및 일반화

쿠로슈에 대한 최초의 1934년 증명 이후, 해롤드 W. 쿤(1952년),^[2] 손더스 맥 레인(1958년)^[3] 등의 증명서를 비롯해 쿠로슈 하위그룹 정리에 대한 후속 증명이 많았다.또한 이 정리는 혼합된 자유 제품 및 HNN 확장의 하위 그룹을 설명하기 위해 일반화되었다.^[4][5]다른 일반화에는 자유 친마인산물의^[6] 하위그룹과 위상학적 집단을 위한 쿠로슈 하위그룹 정리 버전을 고려하는 것이 포함된다.^[7]

현대적인 관점에서 쿠로쉬 부분군 정리는 나무에 작용하는 집단에 관한 베이스-세레 이론의 기본적인 구조적 결과의 직접적인 상관관계다.^[8]

정리명세서

Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ast }$ B ${\displaystyle G=A*B}$은(는) 그룹 A와 B의 자유로운 산물이며, $H{\displaystyle }$g ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle$ H$\leq$ G$}$은(는) G의 하위 그룹이다.Then there exist a family ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ of subgroups ${\displaystyle A_{i}\leq A}$, a family ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$ of subgroups ${\displaystyle B_{j}\leq B}$, families ${\displaystyle g_{i},i\in I}$ and $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f_{j}j$$\in J}$ 및 다음과 같은$$ 부분 $집합{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \subseteq }$ G ${\displaystyle X\subseteq G}$

${\displaystyle H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i})A_{i}g_{i}^{-1}*(*_{j\in J}f_{j}B_{j}f_{j}^{j}-1}).}$

이는 X가 자유 기준 X로 자유 그룹 F(X)에 G 이형 하위 그룹을 자유롭게 생성하며, 더욱이 gAg_iii⁻¹, fBf_jjj⁻¹, X는 위 형식의 자유 상품으로 G에 H를 생성한다는 것을 의미한다.

임의로 여러 가지 요인을 가진 무료 상품의 경우, 이를 일반화한다.^[9]그 공식은 다음과 같다.

H가 ∗_i∈IG_i = G의 부분군이라면,

${\displaystyle H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}}H_{j}g_{j}^{-1}),}$

여기서 X ⊆ G와 J는 일부 인덱스 집합과_j g ∈ G이며 각 H는_j 일부 G의_i 하위 그룹이다.

베이스-세레 이론을 이용한 증명

쿠로쉬 부분군 정리는 예를 들어 코헨(1987년)에서 설명한 바와 같이 바스-세레 이론의 기본적인 구조적 결과로부터 쉽게 따르게 된다.^[8]

G = A∗B로 하고 G를 정점 그룹 A와 B와 사소한 가장자리 그룹이 있는 단일 비루프 가장자리로 구성된 그룹 Y의 기본 그룹으로 간주한다.그룹 Y의 그래프를 위해 X를 Bass-Serre 범용 커버 트리가 되게 하라.H ≤ G는 X에도 작용하므로 X에 대한 H의 작용에 대한 Z 그룹의 몫 그래프를 고려한다.Z의 꼭지점 그룹은 X의 꼭지점 G-안정제의 부분군이다. 즉, 그것들은 A와 B의 부분군에서 G의 결합이다.Z의 가장자리 그룹은 X의 가장자리의 G-안정제가 사소한 것이었기 때문에 사소한 것이다.Bass-Serre 이론의 기본 정리에 의해 H는 그룹 Z의 그래프의 기본 그룹에 대해 표준적으로 이형성이 있다.Z의 가장자리 그룹은 사소한 것이므로, H는 Z의 꼭지점 그룹의 자유 생성물과 Z의 기초 그래프 Z의 기초 그룹(표준 위상학적 의미)인 자유 그룹 F(X)의 자유 생성물과 동일하다는 것을 따른다.이는 쿠로슈 부분군 정리의 결론을 암시한다.

확장

결과는 H가 식별 요소에서만 C의 모든 결합을 충족한다는 조건 하에서 G가 공통 서브그룹 C를 따라 혼합된 제품인 경우까지 확장된다.^[10]

참고 항목

• HNN 확장
• 기하군 이론
• 닐슨-슈레이어 정리

참조