코테스 나선

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코테스의 나선(Cotes' spiral)은 물리학과 평면 곡선의 수학에서 로저 코테스에 의해 분류된 나선의 한 종류입니다.

묘사

코테스는 이 곡선들에 대한 그의 분석을 다음과 같이 소개합니다. "구심력에 의해 작용할 때 물체가 이동할 수 있는 다른 유형의 궤적을 거리의 정육면체의 역비로 나열하는 것이 제안됩니다. (N. b. 그는 그들을 나선형이라고 설명하지 않습니다.)^[1]

패밀리의 나선형 모양은 매개변수에 따라 다릅니다. 극좌표, (r, θ), r > 0의 곡선은 다음의 다섯 가지 방정식 중 하나로 정의됩니다.

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\begin{case}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon)\\\\end{case}}$

A >0, k > 0, ε는 임의의 실수 상수입니다. A는 크기를, k는 모양을, ε는 나선의 각도 위치를 결정합니다.

코테스는 다른 형태를 "사례"라고 불렀습니다. 위의 곡선들의 방정식들은 각각 그의 5가지 경우에 해당합니다.^[2]

다이어그램은 다양한 곡선의 대표적인 예를 보여줍니다. 중심은 'O'로 표시되고 O에서 곡선까지의 반지름은 θ이 0일 때 표시됩니다. 표시되지 않는 한 ε 값은 0입니다.

첫 번째와 세 번째 형태는 포인소트의 나선형, 두 번째는 등각 나선형, 네 번째는 쌍곡 나선형, 다섯 번째는 에피 나선형입니다.

속성에 대한 자세한 내용은 개별 곡선을 참조해야 합니다.

고전역학

코테스의 나선은 역-큐브 중심 힘 아래에서 움직이는 입자의 운동에 대한 해의 계열로서 고전 역학에서 나타납니다. 중심 힘을 생각해보세요.

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu}{r^{3}}{\hat {\boldsymbol {r}}}$

여기서 μ는 인력의 세기입니다. 중심력의 영향을 받아 움직이는 입자를 생각해보면, h를 그것의 특정 각운동량이라고 하면, 입자는 다음에 의해 주어진 나선의 상수 k와 함께 코테스의 나선을 따라 이동합니다.

${\displaystyle k={\sqrt {1-{\frac {\mu}{h^{2}}}}$

μ² < h (나선의 코사인 형태), 또는

${\displaystyle k={\sqrt{\frac {\mu}{h^{2}}-1}}$

μ > h일² 때, 나선의 포인소트 형태. μ = h 일 때 입자는 쌍곡 나선을 따릅니다. 파생물은 참고 문헌에서 찾을 수 있습니다.^[3][4]

역사

Roger Cotes는 Harmonia Mensurarum (1722)에서 많은 나선형과 리투우스와 같은 다른 곡선들을 분석했습니다. 그는 코테스의 나선형인 역-큐브 중심 힘장에서 입자의 가능한 궤적을 설명했습니다. 분석은 Principia Book 1, Proposition 42의 방법을 기반으로 하며, 여기서 임의의 중심 힘, 초기 속도 및 방향으로 물체의 경로가 결정됩니다.

그는 초기 속도와 방향에 따라 5가지 다른 "경우"가 있다고 판단합니다(사소한 경우는 제외하고, 원과 중앙을 지나는 직선).

그는 5개 중 "첫 번째와 마지막은 뉴턴에 의해 쌍곡선과 타원의 직교(즉, 적분)에 의해 기술된다"고 언급합니다.

Case 2는 등각 나선형으로 나선형 파 수월성입니다. 이것은 프린키피아 1권의 명제 9에서 뉴턴은 물체가 중심 힘의 작용 아래 등각 나선형을 따라 움직일 때 그 힘은 반지름의 세제곱의 역수여야 한다는 것을 증명합니다(그의 증명이 있기 전에도 명제 11에서, 초점을 향하는 타원에서의 운동은 역제곱 힘을 필요로 합니다.

모든 곡선이 나선형의 일반적인 정의에 부합하지 않는다는 것을 인정해야 합니다. 예를 들어, 역-큐브 힘이 원심력(외부 방향)이므로 μ < 0이 되면 곡선은 중심을 기준으로 한 번도 회전하지 않습니다. 이 경우 k > 1로 위에 표시된 극 방정식 중 첫 번째인 case 5로 표시됩니다.

새뮤얼 언쇼는 1826년에 출판된 책에서 "코츠의 나선"이라는 용어를 사용했기 때문에 그 당시에는 이 용어가 사용되고 있었습니다.^[5]

Earnshaw는 Cotes의 5가지 경우를 명확하게 설명하고 불필요하게 힘이 원심력(반발력)인 6번째 경우를 추가합니다. 위에서 언급한 바와 같이, Cotes는 이를 case 5에 포함시켰습니다.

코테스의 나선이 3개뿐이라는 잘못된 견해는 E.T.에서 비롯된 것으로 보입니다. 1904년에 처음 출판된 휘태커의 입자와 강체의 해석적 역학에 관한 논문.^{[citation needed]}

휘태커의 "상호 나선형"에는 코테스의 "Harmonia Mensurarum"과 뉴턴의 명제 9를 언급하는 각주가 있습니다. 그러나 명제 9의 나선은 코테스의 나선이라고 전혀 인식하지 못하는 등각 나선이기 때문에 오해의 소지가 있습니다.

불행하게도, 후속 저자들은 휘태커의 정확성을 검증하기 위해 수고하지 않고 그의 선례를 따라왔습니다.

참고 항목

참고문헌

서지학

• Whittaker ET (1937). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies (4th ed.). New York: Dover Publications. pp. 80–83. ISBN 978-0-521-35883-5.
• Roger Cotes (1722) Harmonia Mensuarum, pp. 31, 98.
• 아이작 뉴턴(1687) 철학 æ 자연주의 원리 수학, 제1권, §2, 명제 9, §8, 명제 42, 따름정리 3, §9, 명제 43, 따름정리 6
• Danby JM (1988). "The Case ƒ(r) = μ/r ³ — Cotes' Spiral (§4.7)". Fundamentals of Celestial Mechanics (2nd ed., rev. ed.). Richmond, VA: Willmann-Bell. pp. 69–71. ISBN 978-0-943396-20-0.
• Symon KR (1971). Mechanics (3rd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. p. 154. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Samuel Earnshaw (1832). Dynamics, Or an Elementary Treatise on Motion and a Short Treatise on Attractions (1st ed.). J. & J. J. Deighton; and Whittaker, Treacher & Arnot. p. 47.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Cotes's spiral". MathWorld.