심메디아누스

Symmedian
중위수(검은색), 각도 이등분자(점), 계면체(빨간색)가 있는 삼각형. symmedians는 symmedian point L에서 교차하고, intervider I의 angle bisector와 centroid G의 medians에서 교차한다.

기하학에서 symmedians는 모든 삼각형과 연관된 세 개의 특정한 기하학적 선이다. 그것들은 삼각형의 중앙값(정점과 반대편의 중간점을 연결하는 선)을 취하여 해당 각도 이등분자(거기 각도를 반으로 나누는 동일한 정점을 통과하는 선) 위에 선을 반사함으로써 구성된다. symmedian과 angle bisector에 의해 형성된 각도는 중위수와 angle bisector 사이의 각도와 같은 측도를 가지지만 angle bisector의 반대편에 있다.

세 명의 symmedians는 Lemoine point라고 불리는 삼각형 중심에서 만난다. 로스 혼스버거는 그 존재를 "현대 기하학의 왕관 보석 중 하나"[1]라고 불렀다.

이소곤성

기하학에서 여러 번, 만약 우리가 삼각형, 즉 세비안의 정점을 통하여 세 개의 특별한 선을 취한다면, 이등분선이라고 불리는 해당 각 이등분선에 대한 그들의 반사도 흥미로운 성질을 갖게 될 것이다. 예를 들어, 삼각형의 세 개의 세비안이 P 지점에서 교차하는 경우, 이들의 이등변선도 P의 이등변환이라고 불리는 지점에서 교차한다.

symmedians는 이 사실을 설명한다.

  • 도표에서 중위수(검은색)는 중심 G에서 교차한다.
  • symmedians(빨간색)는 중위수와 등각적이므로 symmedians는 또한 단일점 L에서 교차한다.

이 점을 삼각형의 symmedian point, 또는 대안적으로 Lemoine point 또는 Grebe point라고 한다.

점선은 앵글 이등분자이고, symmedian과 median은 앵글 이등분자에 대칭이다('symmedian'이라는 이름을 사용함).

시메디안 건설

AD는 A를 통한 symmedian이다.

ABC를 삼각형으로 하자. B와 C에서 원곡선까지 접선을 교차시켜 점 D를 생성한다. 그렇다면 AD는 ABC 삼각형의 symmedian이다.[2]

첫 번째 증거 ∠BAC의 각도 이등분선을 가로지르는 AD의 반사가 M'에서 BC를 만나도록 한다. 그 다음:

제2의 교정쇄 D'를 D의 등각결합으로 정의한다. 이등분자에 대한 CD의 반영은 AB에 평행한 C를 통과하는 선임을 쉽게 알 수 있다. BD도 마찬가지여서 ABD'C는 평행사변형이다. 'AD'는 분명히 중위수인데, 왜냐하면 평행사변형의 대각선이 서로 이등분하기 때문이다. 그리고 AD는 이등분자에 대한 그것의 반영이다.

제3의 교정쇄 중심 D가 B와 C를 통과하는 원을 Ω으로 하고, O를 ABC의 중심, Say 선 AB와 AC가 각각 P와 Q에서 Ω을 교차하도록 한다. ∠ABC = ∠AQP이기 때문에 ABC와 AQP의 삼각형이 비슷하다. ∠PBQ = ∠BQC+∠BAC = 1/2(∠BDC+∠BOC) = 90이므로◦ PQ가 Ω의 지름이므로 D를 통과한다는 것을 알 수 있다. M을 BC의 중간점이 되게 하라. D는 QP의 중간점이기 때문에 유사성은 impliesBAM=∠QAD를 의미하며, 그 결과는 다음과 같다.

네 번째 교정쇄 S를 호 BC의 중간점이 되게 하라. BS=SC, 그러니까 AS는 ∠BAC의 각도 이등분자. M을 BC의 중간점이 되게 하고, D가 원주에 관한 M의 역점이라는 것을 따른다. 그 것으로부터 우리는 원주가 M과 D에 포커스를 둔 아폴로니아 원이라는 것을 알고 있다. 그래서 AS는 각도 ∠DAM의 이등분자인데, 우리는 우리가 원하는 결과를 얻었다.

테트라헤드라속

symmedian point의 개념은 (비정규적인) 사방면체까지 확장된다. 사면체 ABCD에 주어지는 두 평면 P와 Q ~ AB는 ABC 및 ABD 면과 동일한 각도를 형성하는 경우 등각 접합이다. M을 사이드 CD의 중간점이 되게 하라. 평면 ABM에 등각되는 측면 AB를 포함하는 평면을 사면체의 시메디언 평면이라고 한다. symmedian 평면은 한 점, 즉 symmedian 점에서 교차하는 것을 보여줄 수 있다. 이 역시 사면체 면과의 제곱 거리를 최소화하는 포인트다.[3]

참조

  1. ^ Honsberger, Ross (1995), "Chapter 7: The Symmedian Point", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: Mathematical Association of America.
  2. ^ Yufei, Zhao (2010). Three Lemmas in Geometry (PDF). p. 5.
  3. ^ Sadek, Jawad; Bani-Yaghoub, Majid; Rhee, Noah (2016), "Isogonal Conjugates in a Tetrahedron" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 43–50.

외부 링크