위상 K이론

수학에서 위상학 K이론은 대수학 위상의 한 분야다. 알렉산더 그로텐디크가 소개한 (일반) K 이론으로 인식된 아이디어에 의해 위상학 공간에서 벡터 번들을 연구하기 위해 설립되었다. 위상학 K 이론에 대한 초기 연구는 마이클 아티야와 프리드리히 히르제브루치 덕분이다.

정의들

Let X be a compact Hausdorff space and ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Then ${\displaystyle K_{k}(X)}$ is defined to be the Grothendieck group of the commutative monoid of isomorphism classes of finite-dimensional k-vector bundles over X under Whitney sum. 묶음의 텐서 제품은 K이론에게 서로 교환되는 고리 구조를 준다. 첨자가 ${\displaystyle \mathrm{없으면}}$ $K{\displaystyle (}$ X${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(X)}$은(는) 일반적으로$$ 복잡한 K-이론을 나타내는 반면 실제 ${\displaystyle \mathrm{K-이론}}$은 K $O{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle KO(X)}$로 쓰이기도 한다$.$ 남은 논의는 복잡한 K이론에 초점이 맞춰져 있다.

첫 번째 예로서 점의 K-이론이 정수라는 점에 유의한다. 한 점에 걸친 벡터 묶음은 사소한 것이어서 그 등급에 따라 분류되며 자연수의 그로텐디크 집단이 정수기 때문이다.

또한 X에 대해 정의된 축소판 $K{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\widetilde {K}($X$)}$도 있다$.$ 이 축소된 이론은 직관적으로 K(X)모듈로 사소한 묶음이다. 안정적 등가 등급의 묶음으로 정의된다. Two bundles E and F are said to be stably isomorphic if there are trivial bundles ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ and ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$, so that ${\displaystyle E\oplus \varepsilon _{1}\cong F\oplus \varepsilon _{2}}$. This equivalence relation results in a group since 모든 벡터 번들은 직교보완물로 합쳐서 사소한 번들로 완성될 수 있다. $또는{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \mathrm{기준점}}$을 X에₀ 포함함으로써 유도된$$ K (${\displaystyle \stackrel{}{}}$$X{\displaystyle }$)${\displaystyle {\widetilde{$${\displaystyle K}$$}}}$ →${\displaystyle }$K (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$의 커널로 정의할 수 있다$$.

K-이론은 다음과 같이 승법(일반화된) 코호몰로지 이론을 형성한다. 한 쌍의 뾰족한 공간의 짧은 정확한 순서(X, A)

${\displaystyle {\widetilde {K}(X/A)\to {\widetilde {K}(X)\to {\widetilde {K}(A)}$

긴 정확한 순서에 달하다.

${\displaystyle \cdots \to {\widetilde{K}(SX)\to {\widetilde{K}(SA)\to {\widetilde{K}(X/A)\to {\widetilde{K}}(A)\\widetild}.}$

S를ⁿ 공간의 n번째 축소된 서스펜션이 되도록 한 다음 정의

${\displaystyle {\widetilde{K}^{-n}(X):={\widetilde{K}}(S^{n}X),\qquad n\geq 0.}$

음수 지수를 선택하여 공동 경계 지도가 차원을 증가시킨다.

단순히 다음을 정의함으로써 이러한 그룹의 축소되지 않은 버전을 갖는 것이 종종 유용하다.

${\displaystyle K^{-n}(X)={\widetilde{K}^{-n}(X_{+})}}$

여기서 $X{\displaystyle {}_{}}$+ ${\$은(는$)$ X {\$displaystyle X}$이며, '+'라는 레이블이 붙은 분리형 기준점이 붙어 있다.^[1]

마지막으로, 아래에 공식화된 Bott의 주기성 정리는 이론들을 양의 정수로 확장시킨다.

특성.

• ${\displaystyle K^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$${\displaystyle {존경적}^{}}$으로 K${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$~ n ${\$는 호모토피 공간 범주에서 역류 링 범주에 이르는 반대편 펑터다. 따라서 예를 들어, 계약 가능한 공간에 대한 K 이론은 항상 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$. ${\displaystyle \mathb {Z} .}$이다.
• The spectrum of K-theory is ${\displaystyle BU\times \mathbb {Z} }$ (with the discrete topology on ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), i.e. ${\displaystyle K(X)\cong \left[X^{+},\mathbb {Z} \times BU\right],}$ where [ , ] denotes pointed homotopy classes and BU is the colimit of t그는 단일 그룹의 공간을 분류한다: ${\displaystyle B}$ $U{\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{Gr}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle BU(n)\cong \operatorname {Gr} \reft(n,\mathb {C} ^{\infty }\rig).$$}}$ 이와$$ 유사하게,
  $${\displaystyle {\widetilde{K}(X)\cong [X,\mathb {Z} \time BU]}$$

  
  진짜 K-이론은 BO를 사용해.
• There is a natural ring homomorphism ${\displaystyle K^{0}(X)\to H^{2*}(X,\mathbb {Q} ),}$ the Chern character, such that ${\displaystyle K^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{2*}(X,\mathbb {Q} )}$ is an isomorphism.
• K 이론의 Steenrod 작전과 동등한 것은 아담스 작전이다. 위상학 K 이론에서 특성 클래스를 정의하는 데 사용할 수 있다.
• 위상학 K 이론의 분할 원리는 임의 벡터 번들에 대한 진술을 선다발의 합계에 대한 진술로 줄일 수 있도록 한다.
• 위상학 K 이론의 톰 이소모르프주의 정리는
  $${\displaystyle K(X)\cong {\widetilde{K}(T(E)),}$$

  
  여기서 T(E)는 X에 대한 벡터 번들 E의 Thom 공간이다. 이것은 E가 스핀 번들일 때마다 유지된다.
• Atiyah-Hirzebruch 스펙트럼 시퀀스를 통해 일반 코호몰로지 그룹의 K-그룹을 계산할 수 있다.
• 위상학 K 이론은 C*알게브라의 functor에게 광범위하게 일반화될 수 있다. 조작자 K 이론과 KK 이론을 참조하라.

병정 주기성

라울 보트의 이름을 딴 주기성 현상(보트 주기성 정리 참조)은 다음과 같이 공식화할 수 있다.

• ${\displaystyle K(X\times \mathbb {S} ^{2})=K(X)\otimes K(\mathbb {S} ^{2}),}$ and ${\displaystyle K(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z} [H]/(H-1)^{2}}$ where H is the class of the tautological bundle on ${\di$$splaystyle \mathb {S} ^{2}=\mathb {P} ^{1}(\mathb {C} ),},$ 즉$$ 리만 구체.
• ${\displaystyle {\widetilde{K}^{n+2}(X)={\widetilde{K}^{n}(X).}$
• ${\displaystyle \Oomega ^{2}BU\cong BU\times \mathb {Z} .}$

실제로 K 이론은 비슷한 주기가 있지만, 모둘로 8이 있다.

적용들

위상학 K 이론의 가장 유명한 두 가지 적용은 둘 다 프랭크 아담스 때문이다. 먼저 그는 아담스 작전으로 계산을 해 홉프 불변한 하나의 문제를 해결했다. 그리고 그는 구에 있는 선형 독립 벡터 장의 수에 대한 상한선을 증명했다.

체른 문자

마이클 아티야와 프리드리히 히르제브루치는 유한 CW 콤플렉스 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ X$}$의 위상학적 K-이론과 그 합리적 코호몰리학을 연관시킨 정리를 증명했다. 특히 동형성이 존재한다는 것을 보여주었다.

$[\displaystyle ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathb {Q} \to H^{*}(X;\mathb {Q} )}$

그런

${\displaystyle {\begin}K_{\text{top}^{0}(X)\otimes \mathb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k}(X;\mathb {Q} )\\K_{\text{top}}^{1}(X)\otimes \mathb {Q} &\cong \bigoplus _{k}H^{2k+1}(X;\mathb {Q} )\end{aigned}}}$

Grotendieck 그룹과 부드러운 투사 $버라이어티{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ X$}$의 차우 링과 관련된 대수적 아날로그가 있다$.$

참고 항목

• 아티야-히르제브루흐 스펙트럼 시퀀스(K 이론 그룹을 찾기 위한 계산 도구)
• KR-이론
• 아티야-싱어 지수 정리
• 스네르스의 정리
• 대수 K이론

참조

• Atiyah, Michael Francis (1989). K-theory. Advanced Book Classics (2nd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-09394-0. MR 1043170.
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, eds. (2005). Handbook of K-Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. MR 2182598.
• Karoubi, Max (1978). K-theory: an introduction. Classics in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2.
• Karoubi, Max (2006). "K-theory. An elementary introduction". arXiv:math/0602082.
• Hatcher, Allen (2003). "Vector Bundles & K-Theory".
• Stykow, Maxim (2013). "Connections of K-Theory to Geometry and Topology".