표준기준

수학에서 좌표 벡터 공간(${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}$ 또는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 등)의 표준기준(자연근거 또는 표준근거라고도 함$)$은 1과 같은 것을 제외하고 성분이 모두 0인 벡터의 집합이다. 예를 들어, 유클리드 평면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$}}개의 경우, 실수의 쌍(x, y)에 의해 형성된$$ 표준기준은 벡터에 의해 형성된다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0)\mathbf {e} _{y}=(0,1).}$

마찬가지로 3차원 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 표준근거도 벡터에 의해 형성된다$$.

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\modes \mathbf {e} _{y}=(0,10),\mathbf {e} _{z}=(0,0,1)}$

여기서 벡터 e는_x x 방향을 가리키고, 벡터 e는_y y 방향을 가리키며, 벡터 e는_z z 방향을 가리킨다. 표준 기준 벡터에는 {e_x, e_y, e_z}, {e₁, e, e₂₃}, {i, j, k} 및 {x, y, z}을(를) 포함한 몇 가지 일반적인 명칭이 있다. 이러한 벡터는 때로 단위 벡터(표준 단위 벡터)로서의 지위를 강조하기 위해 모자로 쓰이기도 한다.

이러한 벡터는 어떤 다른 벡터도 이것들의 선형 결합으로서 고유하게 표현될 수 있다는 점에서 기초가 된다. 예를 들어, 3차원 공간의 모든 벡터 v는 다음과 같이 고유하게 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}\,\mathbf {e},}$

벡터_yz v의 스칼라 구성_x 요소인 스칼라 v, v.

n차원 유클리드 공간 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ {${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$R} ^{n}}$에서 표준 기준은 n개의 구별 벡터로 구성된다$.$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i:1\leq i\leq n\}}$

여기서 e는_i ith 좌표에 1이 있고 0이 다른 곳에 있는 벡터를 나타낸다.

표준 베이스는 다항식 및 행렬과 같은 계수를 포함하는 다른 벡터 공간에 대해 정의할 수 있다. 두 경우 모두 하나의 계수를 제외한 모든 계수가 0이고 0이 아닌 계수가 1인 공간의 요소로 구성된다. 다항식의 경우, 따라서 표준기준은 단항기준으로 구성되며 일반적으로 단항기준이라고 불린다. 행렬 $M{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$× ${\displaystyle n_{}}${\$displaystyle${\$mathcal{M}_{m\times$ n$\}\}$의 경우 표준 기준은 0이 아닌 항목이 정확히 1인 m×n-matrix로 구성된다. 예를 들어, 2×2 행렬에 대한 표준 기준은 4 행렬에 의해 형성된다.

${\displaystyle \mathbf {e} _{11}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{12}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{21}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {e} _{22}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

특성.

정의상 표준기준은 직교 단위 벡터의 시퀀스다. 다시 말해, 그것은 질서정연하고 정형화된 기본이다.

그러나 순서가 정해진 정형외과적 기초가 반드시 표준적인 기초는 아니다. 예를 들어 위에서 설명한 2D 표준 기준의 30° 회전을 나타내는 두 벡터.

${\displaystyle v_{1}=\left{\sqrt{3}}{{1 \over 2}\오른쪽)\,}$

${\displaystyle v_{2}=\left1 \over 2}{-{\sqrt{3}} \over 2}\,}$

직교 단위 벡터도 있지만, 그것들은 데카르트 좌표계의 축과 정렬되지 않기 때문에, 이 벡터들을 가진 기본은 표준 기준의 정의를 충족시키지 못한다.

일반화

또한 필드 위에 독립된 다항식 링, 즉 단항식 링에 대한 표준 기준이 있다.

앞의 모든 것은 가족의 특별한 경우들이다.

${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I}_{i\in I}}}}$

여기서 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 임의의 집합이고 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j ${\$는 Kronecker 델타로서, ∆ j 때마다 0이고 i = j이면 1이다. 이 패밀리는 R-모듈(자유 모듈)의 표준 기반이다.

${\displaystyle R^{(I)}}$

모든 가족 중에서

${\displaystyle f=(f_{i}})}$

1을 1로_R 해석하면 1을 1로 해석하면 1에서 1로 한정된 지수를 제외하고 0인 링 R으로 바뀐다.

기타 사용법

다른 '표준'기반의 존재는 1943년부터 그라스만인에 대한 호지(Hodge)의 작업을 시작으로 대수 기하학에서 관심의 대상이 되었다. 그것은 이제 표준 단원론이라 불리는 표현 이론의 한 부분이다. 리 대수학의 보편적 포락 대수학에서 표준기반의 개념은 푸앵카레-비르크호프-위트 정리에 의해 확립된다.

그뢰브너 베이스는 표준 베이스라고도 불린다.

물리학에서 주어진 유클리드 공간에 대한 표준 기반 벡터를 해당 데카르트 좌표계의 축의 버시버라고 부르기도 한다.

참고 항목

• 표준 단위
• 벡터 공간의 예 § 일반화 좌표 공간

참조

• Ryan, Patrick J. (2000). Euclidean and non-Euclidean geometry: an analytical approach. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-27635-7. (198쪽)

• Schneider, Philip J.; Eberly, David H. (2003). Geometric tools for computer graphics. Amsterdam; Boston: Morgan Kaufmann Publishers. ISBN 1-55860-594-0. (112쪽)