클라크-오콘 정리

수학에서 클라크-오콘 정리(Clark-Ocone-Haussmann 정리 또는 공식이라고도 한다)는 확률적 분석의 정리다.그것은 출발지에서 출발하는 연속 경로의 고전적인 Wiener 공간에 정의된 일부 함수 F의 값을 평균값의 합과 그 경로에 대한 Itô의 통합으로 표현한다.수학자 J.M.C. 클라크(1970), 다니엘 오코네(1984), U.G. 하스만(1978)의 공헌을 따서 이름 지어졌다.

정리명세서

C₀([0, T]; R) (또는 간단히 말하면 C₀)를 Wiener 측정값 γ과 함께 고전적인 Wiener 공간으로 하자.F₀ : C → R을 BC¹ 함수로 한다.F는 경계가 있고 Frechet은 경계가 있는 파생상품 DF와 구별된다₀ : C → Lin₀(C; R).그러면

${\displaystyle F(\sigma )=\int _{C_{0}F(p)\,\mathrm {d} \gamma(p)+\int _{0}^{0}^T}\mathbf {E} \왼쪽[\왼쪽]{\frac {\partial t}{\partial t}\nabla _{H}F(-)\오른쪽 \Sigma _{t}\\mathrm {d}\sigma _{t}}$

상기에서

• F(F)는 특정 관심 경로인 σ에서 함수 F의 값이다.
• 첫 번째 적분자,

${\displaystyle \int_{C_{0}F(p)\,\mathrm {d} \gamma(p)=\mathbf {E}[F]}$

Wiener 공간 C 전체에서₀ F의 기대값이다.

• 두 번째 적분,

${\displaystyle \int _{0}^{T}\cdots \,\mathrm {d} \sigma(t)}$

Itô의 일체형이다.

• σ은_∗ 브라운 운동 B의 자연 여과물이다 : [0, T] × Ω → R: σ은_t 시간 0 ≤ s ≤ t 동안 모든 B_s⁻¹(A)를 포함하는 가장 작은 σ-알게브라이며, 보렐은 A ⊆ R을 설정한다.
• E[· σ_t]는 시그마 대수 Ⅱ에_t 관한 조건부 기대치를 나타낸다.
• ^∂/_∂t는 시간 t에 대한 분화를 나타내며, ∇_H은 H-gradient를 나타내며, 따라서 /∇_∂tH은 Malliavin 파생 모델이다.

좀 더 일반적으로, 결론은 말리아빈의 관점에서 다른 어떤 L²(C₀; R)의 F에 대해서도 적용된다.

Wiener 공간의 부품별 통합

Clark-Ocone 정리는 고전적인 Wiener 공간에 대한 부품 공식에 의한 통합을 발생시키고 Itô 통합을 다이버전스로 쓰도록 한다.

B를 표준 브라운 운동으로 하고, L을₀^2,1 C를₀ 위한 카메론-마틴 공간으로 하자(추상적인 Wiener 공간 참조).V₀ : C → L을₀^2,1 벡터장이 되도록 한다.

${\dot스타일 {\v}={\frac {\partial V}{\partial t}:[0,T]\time C_{0}\to \mathb {R}}}}}$

L²(B)에 있다(즉, Ito 통합 가능하므로, 조정된 프로세스임).위와 같이₀ F : C → R을 BC로¹ 한다.그러면

${\displaystyle \int_{C_{0}}\mathrm {D}F(\sigma )(V(\sigma ))\\\\mathrm {d}\gamma(\sigma )=\int_{C_{0}F(\sigma)\왼쪽(\{0}^{0}^{0})T}{{\dot{V}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm {d} \gamma(\sigma ),}$

즉

${\displaystyle \int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}}\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\operatorname {div} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )}$

또는₀ C에 대한 통합을 예상대로 작성:

${\displaystyle \mathb {E} {\big [}\big [}\langle \nabla _{H}F,V\angle {\\big ]=-\mathb {E} {\big [}F\operatorname {div}V{\big ]},},},},$

여기서 "분산" div(V) : C₀ → R은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {div}(V)(\sigma ):=-\int _{0}^{T}{{\dot{V}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}.}$

확률적 통합을 다이버전스로 해석하면 스코로크호드 적분 및 말리아빈 미적분학의 도구와 같은 개념으로 이어진다.

참고 항목

• Clark-Ocone 정리를 교정에서 사용하는 고전적인 Wiener 공간의 적분 표현 정리
• 부품 사업자에 의한 통합
• 말리아빈 미적분학

참조

• Nualart, David (2006). The Malliavin calculus and related topics. Probability and its Applications (New York) (Second ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7.

외부 링크

• Friz, Peter K. (2005-04-10). "An Introduction to Malliavin Calculus" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2007-04-17. Retrieved 2007-07-23.