마티게일 표현 정리

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확률론에서, 마티게일 표현 정리는 브라운 운동에 의해 생성된 여과와 관련하여 측정 가능한 랜덤 변수는 브라운 운동에 대하여 이토 적분이라는 관점에서 쓰여질 수 있다고 말한다.

이 정리는 표현의 존재만을 주장할 뿐 명시적으로 그것을 찾는 데 도움이 되지 않는다; 많은 경우 말리아빈 미적분을 사용하여 표현의 형태를 결정하는 것이 가능하다.

마르코프 연쇄와 같은 점프 과정에 의해 유도된 여과물에 대한 마르팅갈레스에 대해서도 유사한 이론이 존재한다.

진술

${\displaystyle B_{}}$t {$displaystyle B_{t}$를 표준 필터된 확률 공간$,$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{F}_{}}$ ${\displaystyle t,}$ P$)$의 브라운 운동으로 $하고{\displaystyle {}_{}}$$,$ $G${\$style$ {\$mathcal$${F}$$_{$$t$}, P$}$을(를$)$ 증강한다.G ${\$ \ $displaystyle$\ $mathcal { G$ } $_${ \ $infty }$} $are{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ able able able able able ableable able ableable able ableable able ableable ableable ableable able c c c able able C가 존재하며 G$$\ $displaystyle$ \ $mathcal${ $G$}$$} {\ {\ {\ $with{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with with

${\displaystyle X=E(X)+\int _{0}^{\infty }C_{s},dB_{s}.}$

그 결과,

$({displaystyle E(X {mathcal {G}}_{t})=E(X)+\int _{0}^{t}C_{s},dB_{s}).}$

재무 분야에서의 응용

마티게일 표현정리는 위험회피전략의 존재를 확립하기 위해 사용될 수 있다.( ) t < {$displaystyle \ left$ ( M$_$ { $t$} \ right $)_{$0 \$leq$ t < \ $infty$이 Q-martale 프로세스이며, 그 valability ${\displaystyle t_{}}$t \ $displaystyle \sigma$_ { $t}$는 항상 0이 아닙니다.그리고 0(Nt)≤ t<>∞{\displaystyle \left(N_{t}\right)_{0\leq t<,\infty}}은 다른 Q-martingale,}F{\displaystyle{{F\mathcal}존재하}-previsible 과정 φ{\displaystyle \varphi}, 측정 0의 세트들로 독특한 것처럼∫ 0Tt2dt<>σ, ∞{\displ t 2φ.aystyle $\int _{0}^{$$T}\varphi$ _${t}^{2}\sigma$_{$t}^2},dt$<\$infty$}(확률 1), N은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle N_{t}=N_{0}+\int _{0}^{t}\varphi _{s},dM_{s}.}$

복제 전략은 다음과 같이 정의됩니다.

• t시점의 재고 ${\displaystyle t_{}}$t \ $displaystyle$\ $varphi _$ { $t}$유닛을$$ 보유하고 있습니다.
• 결합의 ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ B ${\displaystyle t_{}}$ $=$ ${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ - ${\displaystyle t_{}}$ t ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ t \$displaystyle$ \$psi _{t}B_${t}=$C_{$t}-\$varphi _{t}Z_{$t$$$}$ 단위를 유지합니다.

${\displaystyle {여기}_{}}$서 Z$$t {\$displaystyle$ Z_${t$}는$$ 시간$t{\displaystyle }$ {\$displaystyle$c_$$${$t$}$에 대한 채권가격 할인된 주가이며, ${\displaystyle C_{}}$t {\$displaystyle C_{t$}}는$$ $시간{\displaystyle }$t {\$displaystyle$t$\}\}$에 대한 옵션의 예상 보상입니다.

만기일 T에 포트폴리오의 가치는 다음과 같습니다.

$\displaystyle V_{T}=\varphi _{T}S_{T}+\psi _{T}B_{T}=C_{T}=X}$

또한 전략이 자체 조정되었음을 쉽게 확인할 수 있습니다. 포트폴리오 값의 변경은 자산${\displaystyle }$가격의 변경에만 의존합니다( ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V_{}}$ t $=$ ${\displaystyle t_{}}$t d S ${\displaystyle t{}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{t}_{}}$ t d ${\displaystyle B_{}}$) {$display style$ \left ( $dV _$ { t } = \$varphi$_ { $t$} 、$dS$ _ t } + $psi _$ t } { t _ t _ t$）$

레퍼런스

• 몽탱, 베누아(2002) 「금융에 적용되는 엄격한 프로세스」^{[full citation needed]}
• 엘리엇, 로버트(1976) "점프 시간 부분 접근 가능한 점프 프로세스의 마팅게일즈를 위한 강력한 적분", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstherie und verwandte Gebiete, 36, 213–226