분석 집합

기술 집합 이론의 수학적 분야에서 폴란드 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 부분 집합은 폴란드 공간의 연속 이미지인 경우 분석 집합이다.이 세트들은 처음에 루진(1917)과 그의 제자 수슬린(1917)이 정의했다.

정의

분석 집합에는 몇 가지 동등한 정의가 있다.폴란드 공간 X의 하위 공간 A에 대한 다음 조건은 동일하다.

• A는 분석적인 것이다.
• A는 비어 있거나 Baire 공간의 연속 영상 Ω이다^ω.
• A는 서슬린 공간이고, 다시 말해 A는 연속적인 매핑 아래 폴란드 공간의 이미지인 것이다.
• A는 폴란드 공간에 설정된 보렐의 연속 이미지다.
• A는 서슬린 작전의 이미지인 서슬린 세트다.
• $폴란드{\displaystyle }$ $공간{\displaystyle }$ Y ${\displaystyle Y}$과(와) Borel 세트 $B{\displaystyle }$⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X\time Y}$이(가) 있으므로 A ${\displaystyle$ A$}$은(는) B ${\displaystystyle B$의 투영법이다.

$(\displaystyle A=\{x\in X(\exists y\in Y)\langle x,y\angle \in B\}).}$

• A는 바이어 공간과 함께 X의 데카르트 제품에서 클로즈드 세트를 투영한 것이다.
• A는 칸토어 공간과 함께 X의_δ 데카르트 제품에 있는 G 세트의 투영이다.

대안의 성격 묘사, 중요한 구체적인 사건은 X{X\displaystyle}은Baire 공간 ωω에, 나무의ω×ω{\displaystyle\omega \times \omega}에 분석적 집합이 바로 돌출부. 나무의 2×ω{\dis에 마찬가지로, 칸토어 공간 2ω의 분석적 하위 집합이 바로 돌출부이다.복수$aystyle 2\cHB \omega$

특성.

폴란드 공간의 분석적 하위 집합은 계산 가능한 조합과 교차점, 연속 영상 및 역 영상 아래에서 닫힌다.분석 집합의 보완은 분석할 필요가 없다.Suslin은 분석 세트의 보완이 분석적이라면 세트는 Borel이라는 것을 증명했다. (반대로 모든 Borel 세트는 분석적이고 Borel 세트는 보완하에서 닫힌다.)루진은 일반적으로 두 개의 불연속 분석 세트가 보렐 세트로 분리된다는 것을 증명했다. 즉, 한 세트는 보렐 세트와 다른 세트는 분리되어 있다는 것이다.이것을 '루진 분리 가능성 원리'(수슬린의 정리 증명에 함축되어 있었지만)라고 부르기도 한다.

분석 집합은 항상 르베그(사실, 보편적으로 측정 가능)이며, 바이얼의 특성과 완벽한 집합 특성을 가지고 있다.

투영 계층

분석 세트는 $\sigma {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\$ {\\$Sigma }}{1}^{$1}:{1}:{1$}}$라고도 한다($$투영 계층 참조).이 기호의 굵은 글꼴은 위키백과 관례가 아니라, 라이트페이스 상대편 $counterpart{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}:{1}:{1}:{1$}}$와는 구별되게 사용된다는 점에 유의하십시오.$$분석 세트의 보완을 코알리틱 세트라고 하며, 코알리틱 세트 세트는 $\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1}:{1}:{1$}}$에 의해 표시된다$.$The intersection ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{1}^{1}={\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}\cap {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ is the set of Borel sets.

참고 항목

• 투영(측정 이론)

참조

• El'kin, A.G. (2001) [1994], "Analytic set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Efimov, B.A. (2001) [1994], "Luzin separability principles", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kechris, A. S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94374-9
• Luzin, N.N. (1917), "Sur la classification de M. Baire", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 164: 91–94
• N.N. Lusin, "Lesons sur les sur les encels et leurs et leurs et application", Gautier-Villars(1930)
• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Descriptive Set Theory, North Holland, ISBN 0-444-70199-0
• 마틴, 도널드 A:측정 가능한 추기경 및 분석 게임."Fundamenta Mathematicae" 66(1969/1970), 페이지 287-291.
• Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 164: 88–91