형식함수에 대한 정리

대수 기하학에서 형식함수에 대한 정리는 다음과 같이 명시한다.^[1]

$렛{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to S}$은(는) X에 일관성 있는 sheaf $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 가진 노메테리아식 계획의 적절한 형태론이다.Let ${\displaystyle S_{0}}$ be a closed subscheme of S defined by ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ and ${\displaystyle {\widehat {X}},{\widehat {S}}}$formal completions with respect to ${\displaystyle X_{0}=f^{-1}(S_{0})}$ and ${\displaystyle S$$_{0}}$.그런 다음 각 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p\geq$ 0$}$에 대해 표준(연속) 맵:

${\displaystyle (R^{p}f_{*}{\mathcal {F})^{\wedge }\to \varprojlim _{k^{p}f_{*}{\mathcal {F}_{}}}}{\mathcal}}}}}}}}}}$

(위상학) $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{\stackrel{}{}}}$^$${\$displaystyle${\$mathcal{O}_{\widehat{S}}$ -modules의$$ 이형성이며, 여기서

• The left term is ${\displaystyle \varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}}_{S}/{{\mathcal {I}}^{k+1}}}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}_{k}={\mathcal {F}\}\otimes _{{\mathcal {O}_{S}/{\mathcal {I}^{k+1}}}}}}$
• 표준 지도는 통로로 얻은 것이다.

이 정리는 몇 가지 다른 중요한 이론들을 추론하기 위해 사용된다.스타인 인수화와 정상적인 품종으로의 적절한 생식 형태주의는 이소모르프리즘이라고 말하는 자리스키의 주요 정리의 한 버전이다.그 밖의 다른 산호관(위의 표기 포함)은 다음과 같다.

코롤러리:^[2]$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$의 경우$,$ 토폴로지적으로,

${\displaystyle ((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))}$

여기서 왼쪽의 완성은 $m{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$에 관한 것이다$.$

Corolarary:^[3] $모든{\displaystyle }$ s${\displaystyle {}^{}}$ S $displaystyle \operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq$r}이(가) 되도록 ${\displaystyle r}$을 두십시오$.$ 그러면 s ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaysty s\in$ S$}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F}=0,\quad i>r.}$

코롤레이:^[4]각 $s{\displaystyle }$for ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$에 대해$,$ 다음과 같은 의 열린 근린 U가 존재한다.

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {F} _{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}s.}$

Corolary:^[5] $만약{\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle {\ast }_{}}$ ${\displaystyle O_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $f_{*}{\mathcal{O}={\X}={\mathcal{$${\displaystyle O}$$}_{S$${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$ - $1{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle }$s $){\displaystyle f^{-1}s}$$이$ $s$에 대해 연결된다$.$

그 정리는 또한 그로텐디크 존재 정리로 이어지며, 이것은 어떤 체계에 대한 일관성 있는 피복의 범주와 그 형식적인 완성에 대한 일관성 있는 피복의 범주 사이에 동등성을 부여한다(특히, 그것은 알체추상성을 산출한다).

마지막으로 정리, cf에서 가설을 약화시키는 것이 가능하다.일루시.일루시(pg 204)에 따르면 EGA III에 제시된 증명은 세레 때문이다.(그로텐디크 때문에) 원본 증거는 발표되지 않았다.

표준지도 건설

설정을 레드와 같이 두십시오.그 증명에서 표준지도의 다음과 같은 대체 정의를 사용한다.

Let $i{\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle X\stackrel{}{}{}^{}\stackrel{}{^}}$→ ${\displaystyle X}$, i${\displaystyle }$: ${\displaystyle S\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$→ S ${\displaystyle i':$${\widehat{X}\to X,i:{\widehat{S}\to S}$가 표준 지도가 된다$$.그러면 $O{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle S_{\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\$ -modules의$$ 기본 변경 맵이 있다.

${\displaystyle i^{\ast }}$ ${\displaystyle {Rq}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ (${\displaystyle {}^{\ast }}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle F^{}\mathcal{}}$ $){\displaystyle i^{*}{q}f_{*}{\mathcal{F}{\widehat{f}{p}{\widehat{f$

where ${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}}$ is induced by ${\displaystyle f:X\to S}$. Since ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ is coherent, we can identify ${\displaystyle i'^{*}{\mathcal {F}}}$ with ${\displaystyle$${\widehat{\mathcal{F$ $R{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}${ ${\displaystyle {}_{}\mathcal{}}${\$displaystyle R$^{$q}f_{*}{\mathcal{F}}}$도 일관성이 있어$$(f가 적절하므로) 동일한 식별을 수행하므로 위의 내용은 다음과 같다.

${\displaystyle ({Rq}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}\mathcal{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}{\wedge }^{}}$ → ${\displaystyle R^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle {^}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\stackrel{}{\mathcal{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$widehat${f}{*}{\widehat {\mathcal{F$

Using ${\displaystyle f:X_{n}\to S_{n}}$ where ${\displaystyle X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})}$ and ${\displaystyle S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})}$, one는 또한 다음을 얻는다(한계에 통과한 후):

${\displaystyle R^{{q}{\widehat{f}_{*}{\widehat{f}}{\widehat {\mathcal {F}}\varprojlim R^{p_{*}{\mathcal{F}_{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$은(는) 이전과 같다.지도 2개의 구성이 지도에서 동일한 지도인지 확인할 수 있다.(cf. EGA III-1, 섹션 4)

메모들

참조

• Luc Illusie, 대수 기하학 주제
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007/bf02684274. MR 0217085.
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157