란킨-셀베르크 방법

수학에서 L-기능의 적분표현 이론으로 알려진 (랭킨 1939년)과 셀버그(1940년)에 의해 도입된 랭킨-셀버그 방법은 자동형 L-기능의 몇 가지 중요한 예를 직접 구성하고 분석적으로 계속하기 위한 기법이다.일부 저자들은 에이젠슈타인 시리즈와 관련된 특별한 유형의 적분 표현을 위한 용어를 유보한다.그것은 랭글랜드 프로그램을 연구하는 가장 강력한 기술 중 하나이다.

역사

어떤 의미에서 이 이론은 베른하르트 리만으로 거슬러 올라간다. 그는 그의 제타 기능을 자코비의 세타 함수의 멜린 변형으로 구성했다.Riemann은 분석적 연속성을 얻기 위해 세타함수의 점증하지 않는 약물들을 사용했고, 기능 방정식을 증명하기 위해 세타함수의 자동 피리를 사용했다.에리히 헤케(Erich Heeck), 그리고 후에 한스 마아스가 상반면에 있는 모듈형 형태에 같은 멜린 변환 방식을 적용했고, 그 후 리만의 예는 특수한 경우로 볼 수 있다.

로버트 알렉산더 랭킨과 앳 셀버그는 독립적으로 그들의 콘볼루션 L 기능을 구성했으며, 현재 GL(2)의 표준 표현 텐서 제품과 연관된 랭글랜드 L 기능으로 생각되고 있다.Riemann처럼, 그들은 모듈형의 일체형을 사용했지만, 다른 타입의 하나를 사용했다: 그들은 두 무게의 k 모듈형 형태 f, 그리고 위 반면에 작용하는 모듈형 그룹 SL₂(Z)의 기본 영역 D에 걸쳐서 G의 실제 분석적 시리즈 E(s)를 통합했다.

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle D_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$ ($$ )${\displaystyle {\displaystyle \stackrel{}{}}}$g${\displaystyle {\displaystyle \stackrel{}{}}}$( ${\displaystyle {\displaystyle \tau }}$ ,${\displaystyle {\displaystyle s}}$)의 E${\displaystyle {\displaystyle }}$( ( ) y k${\displaystyle {\displaystyle {}^{}}}$- 2 ${\displaystyle {\displaystyle d^{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle x}}$ ${\displaystyle {\displaystyle y}}$ ${\$ \$int$_{$D}f(\tau$ ){\overline {$g(\tau )}}{k-2}dy$

두 가지 형태 중 하나가 중단될 경우 본질은 절대적으로 수렴된다. 그렇지 않으면 리만처럼 무증상 연속성을 얻기 위해 무증상 약물들을 사용해야 한다.그 다음 분석적 연속성과 기능 방정식은 아이젠슈타인 시리즈의 그것들로 요약된다.적분은 아이젠슈타인 시리즈의 정의와 통합범위를 더 쉽게 디리클레트 시리즈로서 L-기능을 보다 쉽게 보여주는 단순한 표현으로 변환하는 "언폴딩"이라는 기법으로 경련 L-기능과 동일시되었다.해석적 특성에 대한 글로벌 제어와 함께 펼쳐지는 것의 동시 조합은 특별하며 기술을 성공시키는 것은 무엇인가.

현대 아델릭 이론

에르베 자켓과 로버트 랭글랜즈는 후에 표준에 대한 아델릭적 통합 표현과 리만, 헤케, 마아스, 랭킨, 셀버그가 이전에 획득한 텐서 제품 L-기능을 제공했다.그들은 모든 국부적 요인에 대한 공식을 설명하고, 기능 방정식을 정확한 형태로 기술하며, 날카로운 분석 연속성을 제공했다는 점에서 매우 완전한 이론을 제시하였다.

일반화 및 제한

오늘날에는 두 가지 불만스러운 주의사항과 함께 많은 수의 자동형 L-기능을 나타내는 것이 필수적이다.첫째는 어떤 L-기능이 통합적 표현을 할 수 있는지 또는 어떻게 찾을 수 있는지 전혀 명확하지 않다는 것이다; 비록 시간이 지나고 또 다시 교묘한 주장을 통해 새로운 예가 발견되기는 하지만, 그 방법이 거의 고갈될 것으로 우려된다.두 번째는 일반적으로 전개 단계 이후 로컬 통합 계산이 어렵거나 불가능할 수 있다는 점이다.이는 통합이 원하는 분석적 특성을 가질 수 있다는 것을 의미하며, L-함수를 나타내지 않을 수 있다는 것(대신 L-함수에 가까운 것)

따라서 L-함수에 대한 적분표현을 갖는 것은 결코 L-함수의 분석적 특성이 해결되었음을 의미하지 않는다. 심각한 분석적 문제가 남아 있을 수 있다.그러나 최소한 자동형식의 적분인 공식적 조작을 통해 L-기능이 대수적 구조를 갖도록 하고, 한정된 개수를 제외하고는 특정 L-기능의 오일러 제품을 추측할 수 있도록 한다.많은 상황에서 랭글랜즈-샤히디 방법은 보완적인 정보를 준다.

주목할 만한 예

• GL(n)의 표준 L 기능(고데이션-자크켓).그 이론은 원고를 통해 완전히 해결되었다.
• 클래식 그룹의 표준 L 기능(Piatetski-Shapiro-Rallis).이 건축은 비일반적인 표현을 위한 2배법으로 알려져 있다.
• Tensor 제품은 Jacquet, Piatetski-Shapiro, Shalika로 인해 GL(n) × GL(m) (m = 1)에 표준 L 기능 포함)이 이론은 모글린-발즈퍼거에 의해 완전히 해결되었고, 역설계되어 "반복 정리"를 확립하였다.
• 시무라로 인한 GL(n)의 대칭 사각형, 겔바트-자크케트(n = 2), 피아테츠키-샤피로와 패터슨(n = 3), 범프-긴츠부르크(n > 3).
• Jacquet-Shalika 및 Bump-Ginzburg로 인해 GL(n)의 외부 사각형.
• GL(2) × GL(2) × GL(2) × GL(2) (게럿뿐만 아니라 해리스, 이케다, 피아테츠키샤피로, 랄리스, 라마크리슈난, 오를로프 등)에 트리플 제품.
• GL(2)의 대칭 큐브(범프-긴츠부르크-호프슈타인)
• GL(2)(Ginzburg-Rallis)의 대칭 4번째 전원.
• E₆ 및 E₇(Ginzburg)의 표준 L 기능.
• G의₂ 표준 L-기능(긴츠부르크-훈들리, 구레비치-세갈)

참조

• Bump, Daniel (1989), "The Rankin-Selberg method: a survey", Number theory, trace formulas and discrete groups (Oslo, 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 49–109, MR 0993311
• Bump, Daniel (2005), "The Rankin-Selberg method: an introduction and survey", in Cogdell, James W.; Jiang, Dihua; Kudla, Stephen S.; Soudry, David; Stanton, Robert (eds.), Automorphic representations, L-functions and applications: progress and prospects, Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ., vol. 11, Berlin: de Gruyter, pp. 41–73, ISBN 978-3-11-017939-2, MR 2192819
• Rankin, Robert A. (1939), "Contributions to the theory of Ramanujan's function τ(n) and similar arithmetical functions. I. The zeros of the function Σ_n=1^∞τ(n)/n^s on the line R s=13/2. II. The order of the Fourier coefficients of integral modular forms", Proc. Cambridge Philos. Soc., 35: 351–372, doi:10.1017/S0305004100021095, MR 0000411
• Selberg, Atle (1940), "Bemerkungen über eine Dirichletsche Reihe, die mit der Theorie der Modulformen nahe verbunden ist", Arch. Math. Naturvid., 43: 47–50, MR 0002626