점근해석

수학적 분석에서 점근법 분석은 점근법이라고도 하며 제한 행동을 제한하는 방법을 기술하는 방법이다.

예를 들어, $n$ 이 매우 커짐에 따라 함수 $f (n)$ 의 속성에 관심이 있다고 가정해 보자. $f 2 (n)$ = n + $3n이면$ $n$ 이 매우 커짐에 따라 $n$ 에² 비해 $3n$ 이라는 용어가 대수롭지 않게 된다. $f (n)$ 함수는 " $n$ → ∞"로서 " $n$ 과² 비증상적으로 등가"라고 한다. 이것은 종종 $f$ ( $n)$ ~ $n$ 으로² 상징적으로 쓰여지는데, " $f (n)$ 는 $n$ 에² 점증하지 않는다"로 읽힌다.

중요한 무증상 결과의 예는 소수 정리다. $렛츠(x)$ 는 prime-counting 함수(상수 pi와 직접 관련되지 않음), 즉, $e(x)$ 는 x보다 작거나 같은 prime-counting 함수다. 그러자 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.

점증적 분석은 알고리즘 분석의 일환으로 컴퓨터 공학에서 흔히 사용되며, 거기서 종종 빅 O 표기법으로 표현된다.

정의

공식적으로 $f (x)$ 와 $g (x$ ) 함수가 주어진 경우 $,$ 우리는 이항 관계를 정의한다.

f(x)\sim g(x)\property({\text{as }}}

만일 (de Bruijn 1981, §1.4)

\lim_{x\to \inflt }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.

$~$ 의 기호는 tilde이다. 관계는 $x$ 의 함수 집합에 대한 동등성 관계로서 $f$ 와 g $함수$ 는 점증상 등가라고 한다. $f$ 와 $g$ 의 영역은 한계가 정의되는 임의의 집합일 수 있다. 예를 들어, 실수, 복잡한 수, 양의 정수.

$또한$ x → $0,$ $x$ ↓ $0$ , $x$ ↓ 0, x → $0$ 과 같은 다른 한계점 통과 방법에도 동일한 표기법이 사용된다. 문맥상으로는 명확하다면 한계에 통과하는 방법이 명시적으로 명시되지 않는 경우가 많다.

위의 정의는 문헌에서 흔히 볼 수 있지만, $x$ 가 한계값으로 가면서 $g (x)$ 가 무한히 0이면 문제가 된다. 그런 이유로 일부 저자들은 대체 정의를 사용한다. 다른 정의는, little-o 표기법으로, $f$ ~ $g$ if and only who.

f(x)=g(x)(1+o(1))

$이$ 정의는 g $(x)$ 가 제한 값의 일부 인접 지역에서 0이 아닌 경우 이전 정의와 동일하다.^[1]^[2]

특성.

$f\sim g$ ~ $f\sim g$ $f\sim g$ 및 $a\sim b$ ~ b $a\sim b$ 이(가 $a\sim b$ 있는 경우, 약간의 가벼운 조건에서는 다음을 보류하십시오.^{[further explanation needed]}

$f^{r}\sim g^{r}$ $f^{r}\sim g^{r}$ ~ $f^{r}\sim g^{r}$ $f^{r}\sim g^{r}$ ${\$ 모든 실제 $r$ 에 대해
$\log(f)\sim \log(g)$ $\lim g\neq 1$ $\lim g\neq 1$ $\log(f)\sim \log(g)$ ( $\log(f)\sim \log(g)$ ) $\log(f)\sim \log(g)$ ~ $\log(f)\sim \log(g)$ $\log(f)\sim \log(g)$ ( g $\log(f)\sim \log(g)$ ) ${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)},$ $\lim g\neq 1$ $\lim g\neq 1$ ${\displaystyle \lim g\neq$ 1 $}$ 인 $\log(f)\sim \log(g)$ 경우
$A\sim g\sim b}$
$(\displaystyle f/a\sim g/b)$

그러한 성질은 많은 대수적 표현에서 점증적으로 등가함수를 자유롭게 교환할 수 있게 한다.

점근 공식 예제

요인 $n!\sim {2\pi n}}\frac {n}{e}\오른쪽)^{n}}$ —이것은 스털링의 근사치 입니다.
파티션 함수
양의 정수 n의 경우, 파티션 함수 p(n)는 양의 정수의 합으로 정수 n을 쓰는 방법의 수를 제공하며, 여기서 덧셈의 순서는 고려되지 않는다. $p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt{3}}e^{\pi {\sqrt{2n}{3}}}}}$
에어리 함수
에어리함수인 Ai(x)는 $미분방정식$ y $x$ - $xy$ = 0의 솔루션으로 물리학에 응용이 많다. $\operatorname {Ai}(x)\sim {e^{-{\frac {2}{3}x^{3}{3}}}:{2}{\sqrt{\pi }{1/4}}}}{2}{\sqritrt{}}}}}}}}}}}}}:{1/4}}}}}}}$
행클 함수 ${\reasoned}H_{\\alpha }^{1}(z)&\심 {\sqrt {2}{\pi z}}e^{i\왼쪽(z-{\pi \2\pi \alpha -}}}{4}\\\\\\\\\\\\\frac}H_{\\alpha }^{{}^{{}}(z)&\심 {\sqrt {2}{\pi z}}e^{-i\좌(z-{\pi \2\pi \alpha -}}}}}{4}\pi \end{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

건설

일반

고려 사항:

h(x)=f(x)(1-F(x))+g(x)F(x)

여기서

f(x)

(

f(x)

)

f(x)

g(x)

g

g(x)

(

g(x)

)

g(x)

은 실제 값 분석 함수이고

g(x)

,

F(x)

(

F(x)

)

F(x)

은 누적 분포 함수다

F(x)

.

그러면 $h(x)$ ( $h(x)$ ) $h(x)$ 은 $($ 는) $f(x)$ ( x $x\to (-\infty )$ ) $displaystyle$ $f$ $(x$ $)}$ 은(는 $)$ $x\to (-\infty )$ → ( $x\to (+\infty )$ $x\to (-\infty )$ 로 $f(x)$ $,$ $g(x)$ ( x $g(x)$ ) ${\displaystystyle g($ x $x\to (+\infty )$ 은 $x\to (+\infty )$ as $g(x)$ )로 점증상 $(+\displaysty$ )이다 $h(x)$ $x\to (+\infty )$

두 개의 서로 다른 다항식에 대한 점근법

Suppose we want a real-valued function that is asymptotic to $(a_{0}+a_{1}x)$ as $x\to (-\infty )$ and is asymptotic to $(b_{0}+b_{1}x)$ as $x\to (+\infty )$ . 그러면

h(x)=(a_{0}+a_{1}x)(1-F(x)+(b_{0}+b_{1}x)F(x)

이렇게 할 거야

점근팽창

함수 $f (x)$ 의 점증적 팽창은 실제로 일련의 측면에서 해당 함수의 표현이며, 이 함수의 부분 합은 반드시 수렴되는 것은 아니지만, 초기 부분 합을 취하는 것이 $f$ 에 점증적 공식을 제공하는 것이다. 연이은 용어가 $f$ 의 성장 순서를 점점 더 정확하게 설명해 준다는 생각이다.

In symbols, it means we have $f\sim g_{1},$ but also $f-g_{1}\sim g_{2}$ and $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ for each fixed k. In view of the definition of the $\sim$ symbol, the last equation means $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ in the little o notation, i.e., $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ is much smaller than ${\$ $디스플레이 스타일 g_{k}.$ $}$

The relation $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ takes its full meaning if $g_{k+1}=o(g_{k})$ for all k, which means the $g_{k}$ form an asymptotic scale. 이 $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ 경우, 일부 $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ 는 $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ f - ( $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ 1 + $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ ⋯ + $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ + $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ k + g $k)$ $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ 의 f $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ - ( g $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ 1 + $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ + $+$ + $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ ) = $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ ( $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ ) $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ {\ $displaysty f-(g_$ {1 $}+\cdots + k_{k})=o($ g_ ${$ $}).$ $}$ 그러나 이는 $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ $\sim$ ~ $\sim$ 기호의 $\sim$ 표준 용도가 아니며, § Definition에 제시된 정의와 일치하지 않는다는 점에 주의해야 한다.

In the present situation, this relation $g_{k}=o(g_{k-1})$ actually follows from combining steps k and k−1; by subtracting $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})$ from $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),$ $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),$ one gets $g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),$ i.e. ${\displaystyle g_{k}=o(g_{k-1}).$ $}$

점근법 확장이 수렴되지 않는 경우, 인수의 특정 값에 대해 가장 좋은 근사치를 제공하는 특정 부분 합이 있을 것이고 용어를 추가하면 정확도가 떨어진다. 이 최적의 부분 합은 일반적으로 인수가 한계값에 근접할수록 더 많은 항을 가질 것이다.

점근 확장 예제

감마함수 ${\frac{e^}{x^{x}{x^}{\sqrt{2\pi x}}\감마(x+1)\심 1+{1}{12x}}}{\frac {1}{1}{288x^{2}}-{\frac {139}{51840x^{3}{3}}}}-\cdots \(x\to \inflt )$
지수적분 $xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\inflt }{\frac {(1)^{n}n!}}{x^{n}}\(x\to \inflt )$
오류 함수 ${\sqrt {\pi }x^{2}}\\messname {erfc}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{n(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}}{n!(2x^{2})^{n}\(x\to \inflt )}$ $여기$ 서 m $!!$ 이중 요인이다.

작업 예제

점증적 팽창은 종종 일반적인 연속이 그것의 수렴 영역 밖에서 값을 강제로 취하도록 하는 공식 표현에서 사용될 때 발생한다. 예를 들어, 우리는 보통 시리즈로 시작할 수 있다.

{\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\inflit }w^{n}}}}

왼쪽의 표현은 $w\neq 1$ 1 {\ $displaystyle w\neq$ 1 $w\neq 1$ 이(가) 있는 전체 복합 평면에서 유효하며, 오른쪽은 $e^{-w/t}$ $|w|<1$ < 1 ${\displaystyle$ w $<1$ $e^{-w/t}$ - w $e^{-w/t}$ / $e^{-w/t}$ ${\$ 로 곱하고 양쪽 $e^{-w/t}$ 수율을 통합하는 경우에만 수렴된다.

\int_{0}^{0}^{\inflac{-{\frac{w}}}{1-w}}}\{n-w}}}\,\sum_{n=0}^{n+1}\int _{0}^{{0}e^{-u}u}}},du}}}}}}},du}}}}}}}

왼쪽의 적분은 지수 적분으로 표현할 수 있다. 치환 $u=w/t$ = $u=w/t$ / $u=w/t$ ${\displaystyle u=w/t$ 다음에 오른쪽에 있는 적분은 감마 함수로 인식될 수 있다. 둘 다 평가하면 증상이 없는 확장이 된다.

e^{-{\frac {1}{t}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}1

여기서, 오른손은 분명히 어떤 0이 아닌 t 값에 대해서도 수렴하지 않는다. However, by keeping t small, and truncating the series on the right to a finite number of terms, one may obtain a fairly good approximation to the value of $\operatorname {Ei} (1/t)$ . Substituting $x=-1/t$ and noting that ${\displaystyle$ $\operatorname {Ei}(x)=-E_{1}(-x)}$ 은 $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ (는) 이 문서 앞부분에서 제공된 점근 확장 증상을 유발한다.

점근 분포

수학 통계학에서 점근 분포는 어떤 의미에서 일련의 분포의 "제한적" 분포인 가상 분포다. $분포$ 는 $일부$ 양의 정수 $n$ 에 대한 랜덤 변수 $Z$ 의_i 순서 집합이다 $.$ 점근 분포를 사용하면 $한계$ 없이 범위가 넓어지는데, 즉 $n$ 은 무한하다.

점근 분포의 특별한 경우는 늦게 입력된 항목이 0이 될 때 즉, $Z$ 가_i $무한대$ 로 이동할 때 0이 되는 것이다. "증상 분포"의 일부 사례는 이 특별한 사례만을 언급한다.

이는 독립 변수가 무한대로 가면서 상수 값(무증점)에 깨끗하게 접근하는 점증함수의 개념에 근거한다. 이러한 의미에서 "깨끗하다"는 의미는 원하는 근접성 엡실론에 대해 함수가 엡실보다 많이 상수와 결코 차이가 나지 않는 독립변수의 값이 있다는 것이다.에 관하여

점근은 곡선이 접근하지만 결코 만나거나 교차하지 않는 직선이다. 비공식적으로, 이것이 정확한 정의는 아니지만, 어떤 사람은 "무한도"에서 점증하지 않는 것을 충족시키는 곡선을 말할 수 있다. $y={\frac {1}{x}},$ = $y={\frac {1}{x}},$ $y={\frac {1}{x}},$ , $y={\frac {1}{x$ 등식에서 $y={\frac {1}{x}},$ 는 $y={\frac {1}{x}},$ x가 증가함에 따라 임의로 크기가 작아진다.

적용들

점증적 분석은 여러 수학 과학에서 사용된다. 통계에서 점근법 이론은 우도비 통계량과 이탈도의 기대값과 같은 표본 통계량의 확률 분포에 대한 제한 근사를 제공한다. 그러나 점근 이론은 표본 통계량의 유한 표본 분포를 평가하는 방법을 제공하지 않는다. 근사 이론의 방법에 의해 비아세토틱 한계가 제공된다.

신청의 예는 다음과 같다.

응용 수학에서는 점근법 분석을 사용하여 방정식 해법에 근접한 수치적 방법을 만든다.
수학적 통계와 확률론에서 점증법학은 무작위 변수 및 추정기의 장기 또는 큰 표본 행동 분석에 사용된다.
알고리즘 분석의 컴퓨터 과학에서 알고리즘의 성능을 고려한다.
물리적 시스템의 동작, 예를 들면 통계 역학이다.
주어진 시간과 공간에서 많은 수의 충돌 카운트를 가진 카운트 모델링을 통해 충돌의 인과관계를 확인할 때 사고 분석에서.

무증상 분석은 실제 현상의 수학적 모델링에서 발생하는 일반적 및 부분적 미분 방정식을 탐구하는 핵심 도구다.^[3] 예로는 유체 흐름을 지배하는 전체 Navier-Stokes 방정식에서 경계층 방정식을 도출하는 것이 있다. 많은 경우에 점근팽창은 작은 매개변수인 $ε$ : 경계층 사례에서 이것은 문제의 일반적인 길이 척도에 대한 경계층 두께의 비차원적인 비율이다. 실제로 수학적 모델링에서 점증적 분석의 적용은 흔히^[3] 당면한 문제의 척도를 고려함으로써 작거나 가정된 비차원적 매개변수를 중심으로 한다.

점증적 팽창은 일반적으로 특정 통합의 근사치(Laplace의 방법, 안장 지점 방법, 가장 가파른 하강 방법) 또는 확률 분포의 근사치(Edgeworth 시리즈)에서 발생한다. 양자장 이론의 파인만 그래프는 종종 수렴되지 않는 점증적 팽창의 또 다른 예다.

참고 항목

메모들

^ "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
^ 에스트라다 & 칸왈(2002년, §1.2)
^ ^a ^b Howison, S. (2005) Cambridge University Press, 실용 응용 수학

참조

Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions, Springer-Verlag, ISBN 9783540485940
de Bruijn, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis, Dover Publications, ISBN 9780486642215
Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics, Birkhäuser, ISBN 9780817681302
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788
Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis, Springer, ISBN 9781461211228
Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press

외부 링크

점근법 분석 —IOS Press에서 발행하는 저널의 홈 페이지
점근 분포를 이용한 시계열 분석에 관한 연구

[1] "Asymptotic equality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[2] 에스트라다 & 칸왈(2002년, §1.2)

[Howison-3] Howison, S. (2005) Cambridge University Press, 실용 응용 수학

[1]

[2]

[3]

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