아벨 2그룹

수학에서 아벨리안 2그룹(Abelian 2-group)은 아벨리안 품종과 피카르 그룹을 둘러싼 추상적인 구조를 연구하면서 알렉산더 그로텐디크가 원래 도입했던 ^[1]고등대수라는 의미에서 아벨리안 그룹의 고차원 아날로그다.^[2]구체적으로는, 공식적으로 아벨리아 그룹을 추가하는 것과 같은 ${\displaystyle 역할}$을 하는$$ Bifunctor${\displaystyle }$+${\displaystyle }$: ${\displaystyle A\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle A\mathbb{}}$→ A ${\$ {$A} \to$ \$mathb {$A}}을$($를) 가진 $groupids{\displaystyle \mathbb{}}$ A ${\$ sty $\mathb {A}$에 의해 주어진다.즉, 분기점${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$은(는) 공통성, 연관성, 정체성 구조의 개념을 가지고$$ 있다.이것이 다소 고상하고 추상적인 구조처럼 보이지만, 아벨리아 2그룹에 대한 몇 가지 (매우 구체적) 예가 있다.사실, 그들 중 일부는 아벨리안 n-그룹과 같은 더 높은 대수 구조의 더 복잡한 예에 대한 프로토타입을 제공한다.

정의

Abelian 2-group은 분기자 + : A $\times {\displaystyle }$ A${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A\mathbb{}}$ ${\$ {A$} \to \mathb {A}}$과(와) 자연 변환을 가진 $그룹형{\displaystyle \mathbb{}}$ A ${\$이다$.$

${\displaystyle {\begin{aigned}\tau :&X+Y\오른쪽 화살표 Y+X\\\sigma :&(X+Y)+Z\오른쪽 화살표 X+(Y+Z)\end{arged}}$

이는 이러한 변환이 아벨리아 그룹에$$ 대한 공통성(${\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$ 및 연관성${\displaystyle (\sigma }$)$${\$displaystyle$(\$sigma )}$과 유사하게 동작하도록 하는 공리들을 충족시킨다.그러한 범주의 동기 부여 사례 중 하나는 피카르 범주(아래 참조)의 한 줄 바꿈에서 비롯된다.

예

피카르 범주

구성표 또는 품종 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 경우$,$ Abelian 2-그룹 ${\displaystyle \mathbf{\text{Pic}}(X}$) ${\displaystyle {\textbf {Pic}(X)$이 있으며, 개체는 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이고, 형태는 라인 번들의 이형성에 의해 주어진다.주어진 선다발 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 대한 주의사항

${\displaystyle {\text{End}({\mathcal {L})={\text{자동}}({\mathcal{L})\cong {\mathcal {O}_{X}^{*}}}}$

선다발의 유일한 자동형은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 비바니싱 함수에 의해 주어지기 때문에$.$적층 구조${\displaystyle }$+ ${\displaystyle +}$은(는) 라인 번들에 있는$$ 텐서 제품 $\otimes {\displaystyle }$ ${\displaystyle \otimes }$에 의해 주어진다$$.이것은 왜 펑커의 평등 대신에 자연적인 변형이 있어야 하는지를 더 명확하게 한다.예를 들어, 우리는 선다발의 이형성만을 가지고 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}\otimes {\mathcal {L}\mathcal {\mathcal}\otimes {\mathcal {L}}}$

그러나 직접적인 평등은 아니다.이 이형성(異形性)은 선택된 선다발과 독립적이며, functorial이기 때문에 자연적인 변환을 준다.

${\displaystyle \tau :(-\time -)\to(-\time -)}$

구성 요소 교체.선다발의 텐서 생산물의 연관성에서도 유사하게 연관성이 나타난다.

두 가지 용어 체인 복합체

피카르 범주의 또 다른 출처는 아벨리아 그룹의 2선 체인 콤플렉스다.

${\displaystyle A^{-1}\x오른쪽 화살표 {d}A^{0}}$

그것들과 연관된 표준적인 그룹형 구조를 가지고 있다.객체 집합은 아벨 그룹 $A{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{0},$ 화살표$$ 집합은 $A{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$로 쓸 수 있다$.$그러면 화살표$({\displaystyle }$ -${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}{0\mathrm{}}_{}}$)의$$ 소스 형태론 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle(a_{-1},a_{0})$이 투영 맵이다.

${\displaystyle s(a_{-1}+a_{0}=a_{0}}}$

대상 $형태론{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$은(는)

${\displaystyle t(a_{-1}+a_{0})=d(a_{-1}+a_{0})$

이 정의에 따르면 ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle a_{0}$은$($는) ${\displaystyle \text{Ker}}$ ${\displaystyle (}$) {\$displaystyle {\text{$Ker}($d)}$입니다$.$ $사이트{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$X}($$또는 위상학적 공간)를 통해 아벨리아 그룹 덩어리에 대해 이 구조를 반복하면 아벨리안 2-그룹 덩어리가 생성된다는 점에 유의하십시오.이 모든 범주를 구성하는 데 이것이 이용될 수 있다면 추측할 수 있겠지만, 이것은 그렇지 않다.사실, 이 구조는 정확한^[3] 일반화를 위해 스펙트럼으로 일반화되어야 한다.

대수 기하학의 아벨리안 2그룹 예

예를 들어, 2차 복합체가 제공하는 로컬$$ 전체 교차로 구성표 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에 대한 Cotangent 단지가 있다.

${\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }=i^{*}I/I^{2}\to i^{*}\Oomega _{Y}}}}$

임베딩 $i{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ $[\displaystyle$ i$:X\to Y}.$ 이 아벨리안 2-그룹에 대한 직접적인 범주형 해석은 Exalcomm 범주를 이용한 변형 이론에서 나온다$.$^[4]

2기 체인 콤플렉스를 사용하는 것 외에 체인 $콤플렉스{\displaystyle {}^{}}$ A ${\displaystyle {\bullet }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\le }^{}}$ ${\displaystyle 0^{}}$(${\displaystyle \text{Ab}}$) ${\displaystyle$ A$^{\bullet }\in Ch^{\leq$ 0$}({\text{Ab})}$을(또는 무한대 그룹)을 대신 고려할 수 있다는 점에 유의하십시오.

아벨리아어 2군 형태론

한 쌍의 $아벨리안{\displaystyle \mathbb{}}$ 2-그룹${\displaystyle }$A , $display$ {\$displaystyle \mathb {$A} $,\mathb$ {A}에$$연관된 아벨리안 2-그룹 모피즘이 있다$$.

${\displaystyle {\text{홈}}(\mathb {A},\mathb {A} ')}$

그들의 물체는 이 두 범주 사이의 functor에 의해 주어지고 화살은 자연적 변환에 의해 주어진다.더욱이 $A{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$A}'}$의 분기자 + ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은 이 그룹형에서 분기자 구조를 유도하여$$ 아벨레 2그룹 구조를 부여한다.

아벨리안 2그룹 분류

아벨리안 2그룹을 분류하기 위해서는 2선 체인단지를 이용한 엄격한 피카르드 카테고리가 부족하다.한 가지 접근방식은 두 개의 비종교 호모토피 그룹만 있는 스펙트럼을 이용한 안정적인 호모토피 이론이다.임의의 피카르 범주를 연구하면서 범주의 구조를 분류하는 데 사용되는 추가 데이터가 있다는 것이 분명해지며, 이는 Postnikov 불변제가 부여한다.Postnikov invariant)에 의해 주어진다.

포스트니코프 불변성

For an Abelian 2-group ${\displaystyle \mathbb {A} }$ and a fixed object ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(\mathbb {A} )}$ the isomorphisms of the functors ${\displaystyle x+(-)}$ and ${\displaystyle (-)+x}$ given by the commutativity arrow

${\displaystyle \tau :x+x\오른쪽 화살표 x+x}$

자동 유형 그룹 Auto ${\displaystyle {\text{A}}_{(}}$ ${\displaystyle x}$)의 요소 제공$({\displaystyle {\text}{$$Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$ which squares to ${\displaystyle 1}$, hence is contained in some ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$. Sometimes this is suggestively written as ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )}$. We can call this element ${\displaystyle \varepsilon }$ and this invariant induces a m${\displaystyle {A\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 있는 개체의 이형성 클래스에서 고아성은 $orph{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}A\mathbb{}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathb {A} )$을$($를) ${\displaystyle {\text{자동}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}(x}$ ) ${\displaystystyle {\text{)$로 표시했다.$Aut}}_{\mathb {A}{}}}(x$ 즉 형태론을 부여한다.

${\displaystyle \varepsilon :\pi _{0}(\mathb {A} )\otimes \mathb {Z} /2\to \pi _{1}(\mathb {A} )={\text{\text}자동}_{\mathb {A} }(x)}$

포스트니코프 불변성에 해당된다.특히 2선 체인 단지로 주어진 모든 피카르 범주에는 ${\displaystyle \mathrm{\epsilon }}$= 0 ${\displaystyle \varepsilon =0}$이(가) 있는데, 이는 에일렌베르크-Maclane 공간의 산물로서 위상학적 실현을 가진 단순 아벨리아 집단에 대한 돌드칸 대응 하에 대응이기 때문이다$$.

${\displaystyle K(H^{-1}(A^{\bullet }),1)\time K(H^{0}(A^{\bullet }),0)}$

For example, if we have a Picard category with ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} /2}$ and ${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} }$, there is no chain complex of Abelian groups giving these homology groups since ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$$$ 오직 투영에 의해서만 주어질 수 있다.

${\displaystyle \mathb {Z} \xrightarrow {\cdot 2} \mathb {Z} \to \mathb {Z} /2}$

대신에 이 Picard 범주는 스펙트럼의$$ ${\displaystyle {}_{}\mathbb{}}$ 스펙트럼${\displaystyle {}_{}}\tau {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$S[\$displaystyle \tau _{\leq$ 1$}\mathb {S}}$에 대한 범주형 실현으로 이해할 수 있다$.$ 여기서 스펙트럼의 유일한 비종속적 호모토피 그룹은 $[\displaystyle$0} $및$ 1}에 있다.

참고 항목

• ∞-groupoid
• N-그룹(범주론)
• 게르베

참조

• 호앙쉰신(Gr Categories)의 논문
• Abelian 2-범주 및 파생 2-기능자
• Picard 범주 스택에 계수가 있는 코호몰로지
• 사이트에 걸쳐 교차된 그룹의 피복에 값이 있는 코호몰로지 - 교차 모듈 또는 피카르 범주에 있는 계수로 피카르 코호몰리를 정의하는 기법을 제공한다.
• 안정적인 단일 유형 모델링 - 피카르 범주와의 관계를 포함하는 안정적인 1 유형 설명
• Picard 2개 범주의 안정적 Postnikov 데이터